《二叉搜索树》

news2024/12/28 19:48:33

文章目录

  • 一、二叉搜索树的概念
  • 二、二叉搜索树的实现
    • 2.1 插入
      • 迭代插入
      • 递归插入
    • 2.2 查找
      • 迭代查找
      • 递归查找
    • 2.3 删除
      • 迭代删除
      • 递归删除
    • 2.4 中序遍历
  • 三、二叉搜索树的应用
    • 1、K模型
    • 2、KV模型
  • 四、二叉树的性能分析

一、二叉搜索树的概念

二叉搜索树又叫做二叉排序树。

  • 左子树的结点值都小于根
  • 右子树的结点值都大于根
  • 左右子树分别是二叉搜索树

因为在二叉搜索树中，每个结点左子树上所有结点的值都小于该结点的值，右子树上所有结点的值都大于该结点的值，因此对二叉搜索树进行中序遍历后，得到的是升序序列。
在这里插入图片描述

二、二叉搜索树的实现

2.1 插入

迭代插入

思想：插入数据仍然保持它是搜索二叉树
为什么要有返回值呢？
因为搜索二叉树要减少数据的冗余，遇到重复的数字是插入不了的

图解:
在这里插入图片描述
所以我们在插入过程中必须要记录一下上一个结点的位置，然后再迭代着往后走，不然我们是无法链接起来的。

// 插入数据保持继续是二叉搜索树
bool Insert(const K& key)
{
//如果是空树，直接插入即可
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key);
		return true;
	}
	
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		// 往右边走
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		// 往左边走
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		// _key==key
		else
		{
			return false;
		}
	}

	// 这里说明走到合适的空位置了，需要链接起来，
	//但是还是要判断要插入的数比parent大还是小，这决定插在哪边
	cur = new Node(key);
	if (key > parent->_key)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	return true;
}

递归插入

图解
这里的指针引用非常细节，这样就能保证链接起来，C语言中就要使用二级指针了。
在这里插入图片描述

bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
{
	if (root == nullptr)
	{
		//开始插入
		//因为是引用，root就是上一层的左或者右的别名，所以修改root就是修改上一层的左或者右
		root = new Node(key);
		return true;
	}

	if (key > root->_key)
		return _InsertR(root->_right, key);
	else if (key < root->_key)
		return _InsertR(root->_left, key);
	else// 相等不允许插入
		return false;
}

2.2 查找

迭代查找

// 查找
bool Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	// 从根开始遍历
	while (cur)
	{
		if (key > cur->_key)
			cur=cur->_right
		else if(key < cur->_key)
			cur = cur->_left;
		else 
			return true;	
	}
	return false;
}

递归查找

Node* _FindR( Node* root,const K& key)
{
	if (root == nullptr)
		return nullptr;
	if (key > root->_key)
		return _FindR(root->_right, key);
	else if (key < root->_left)
		return _FindR(root->_left, key);
	else// 相等就是找到了，返回节点
		return root;
}

2.3 删除

删除是重头戏，这是面试很爱考察的！

删除的节点分类(1,2可以归结为同一类)：
1、叶子节点
2、只有一个孩子的节点
3、有两个孩子节点

情况1：删除叶子节点
在这里插入图片描述
情况2：删除只有一个孩子的节点
在这里插入图片描述
分析：
1️⃣第一种和第二种都是直接删除，其实可以归类为同一种：

  1. 被删除节点，左为空，让父亲指向被删除节点的右；
  2. 右为空，让父亲指向被删除节点的左，

注意：

  1. 要注意特殊情况，被删除的节点是父亲的什么，此处需要特判断一下。
  2. 当出现父亲节点为空时，就又会出问题，我们需要更新_root
    在这里插入图片描述

情况3：删除有两个孩子的节点（找保姆）
替换法：找寻左子树的最大节点，或者右子树的最小节点进行替换删除
在这里插入图片描述
分析：

  1. cur的右子树的左不为空，此时将最小节点min的值和要删除节点的值互换，然后将min节点的父亲连接min的右边（左边不能有节点，因为左边的节点一定比min小），删除min即可
    在这里插入图片描述
  2. cur的右子树的左为空，那么cur的右子树就是最小节点。
    这里删除8在这里插入图片描述

迭代删除

// 删除
bool Erase(const K& key)
{
	//先找到我们要删除的那个节点和它的父亲节点
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;

	while (cur)
	{
		if (key > cur->_key)
		{
			cur = cur->_right;
			parent = cur;
		}
		else if (key < cur->_left)
		{
			cur = cur->_left;
			parent = cur;
		}
		else
		{
			// 找到了 准备开始删除
			if (cur->_left == nullptr)
			{
				// 当父亲为空时，也需要特殊处理一下
				if (parent == nullptr)
				{
					_root = cur->_right;
				}
				else
				{
					// 需要特判一下，被删除节点是父亲的哪个节点
					if (cur == parent->_left)
						parent->_left = cur->_right;
					else
						parent->_right = cur->_right;
				}
				delete cur;
			}
			else if (cur->_right == nullptr)
			{
				// 当父亲为空时，也需要特殊处理一下
				if (parent == nullptr)
				{
					_root = cur->_left;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_left)
						parent->_left = cur->_left;
					else
						parent->_right = cur->_left;
				}
				
				delete cur;
			}
			else
			{
				// 替换法删除
				Node* minParent = cur;
				Node* min = cur->_right;//右树的最小节点
				while (min->_left)
				{
					minParent = min;
					min = min->_left;
				}

				// 覆盖cur节点
				cur->_key = min->_key;
				//转换成删除替代节点min

				if (minParent->_left==min)
					minParent->_left = min->_right;
				else
					minParent->_right = min->_right;

				delete min;
			}
			return true;
		}
	}
	return false;
}

递归删除

bool _EraseR(Node* &root, const K& key)
{
	if (root == nullptr)
		return false;
	if (key > root->_key)
		return _EraseR(root->_right, key);
	else if (key < root->_key)
		return _EraseR(root->_left, key);
	else// 开始删除
	{
		Node* del = root;// 记录一下要删除的节点
		if (root->_left == nullptr)
			root = root -> _right;
		else if (root->_right == nullptr)
			root = root->_left;
		else
		{
			//替代法删除
			//左右都不为空
			Node* min = root->_right;
			while (min->_left)
			{
				min = min->_left;

			}
			std::swap(min->_key, root->_key);
			// 递归到右子树去删除
			return _EraseR(root->_right, key);
		}
		delete del;
		return true;
	}
}

2.4 中序遍历

public:
void InOrder()
{
	_InOrder(_root);
}
// 中序遍历
void _InOrder(Node * root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	_InOrder(root->_left);
	std::cout << root->_key << " ";
	_InOrder(root->_right);
}

三、二叉搜索树的应用

1、K模型

K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。

主要用于解决在不在问题:
比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
以单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。

namespace K 
{
	template<class K>
	struct BSTreeNode
	{
		BSTreeNode<K>* _left;
		BSTreeNode<K>* _right;
		K _key;
		BSTreeNode(const K& key) :_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key) {}
	};

	template<class K>
	struct BSTree
	{
		typedef BSTreeNode<K> Node;
	public:
		BSTree() :_root(nullptr) {}
		~BSTree() {}

		// 递归版本
		// 因为递归都需要根，但是我们在类外穿参数时，都拿不到根，所以要嵌套一个子函数
		bool InsertR(const K& key)
		{
			return _InsertR(_root, key);
		}

		Node* FindR(const K& key)
		{
			return _FindR(_root, key);
		}

		bool EraseR(const K& key)
		{
			return _EraseR(_root, key);
		}


		// 插入数据保持继续是二叉搜索树
		bool Insert(const K& key)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key);
				return true;
			}

			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				// 往右边走
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				// 往左边走
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				// _key==key
				else
				{
					return false;
				}
			}

			// 这里说明走到合适的空位置了，需要链接起来
			cur = new Node(key);
			if (key > parent->_key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}
			return true;
		}

		// 查找
		bool Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			// 从根开始遍历
			while (cur)
			{
				if (key > cur->_key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (key < cur->_key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return true;
				}

			}
			return false;
		}

		bool Erase(const K& key)
		{
			//先找到我们要删除的那个节点和它的父亲节点
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;

			while (cur)
			{
				if (key > cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;

				}
				else if (key < cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;

				}
				else
				{
					// 找到了 准备开始删除
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						// 当父亲为空时，也需要特殊处理一下
						if (parent == nullptr)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							// 需要特判一下，被删除节点是父亲的哪个节点
							if (cur == parent->_left)
								parent->_left = cur->_right;
							else
								parent->_right = cur->_right;
						}
						delete cur;
					}
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						// 当父亲为空时，也需要特殊处理一下
						if (parent == nullptr)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							if (cur == parent->_left)
								parent->_left = cur->_left;
							else
								parent->_right = cur->_left;
						}

						delete cur;
					}
					else
					{
						// 替换法删除
						Node* minParent = cur;
						Node* min = cur->_right;//右树的最小节点
						while (min->_left)
						{
							minParent = min;
							min = min->_left;
						}

						// 覆盖cur节点
						cur->_key = min->_key;
						//转换成删除替代节点min

						if (minParent->_left == min)
							minParent->_left = min->_right;
						else
							minParent->_right = min->_right;

						delete min;
					}
					return true;
				}
			}
			return false;
		}
		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			std::cout << std::endl;
		}
		// 中序遍历
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}
			_InOrder(root->_left);
			std::cout << root->_key << " ";
			_InOrder(root->_right);
		}
	private:
		Node* _FindR(Node* root, const K& key)
		{
			if (root == nullptr)
				return nullptr;
			if (key > root->_key)
				return _FindR(root->_right, key);
			else if (key < root->_left)
				return _FindR(root->_left, key);
			else// 相等就是找到了，返回节点
				return root;
		}
		bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
		{
			if (root == nullptr) {
				root = new Node(key);
				return true;
			}

			if (key > root->_key)
				return _InsertR(root->_right, key);
			else if (key < root->_key)
				return _InsertR(root->_left, key);
			else// 相等不允许插入
				return false;
		}
		bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
		{
			if (root == nullptr)
				return false;
			if (key > root->_key)
				return _EraseR(root->_right, key);
			else if (key < root->_key)
				return _EraseR(root->_left, key);
			else// 开始删除
			{
				Node* del = root;// 记录一下要删除的节点
				if (root->_left == nullptr)
					root = root->_right;
				else if (root->_right == nullptr)
					root = root->_left;
				else
				{
					//替代法删除
					//左右都不为空
					Node* min = root->_right;
					while (min->_left)
					{
						min = min->_left;

					}
					std::swap(min->_key, root->_key);
					// 递归到右子树去删除
					return _EraseR(root->_right, key);
				}
				delete del;
				return true;
			}
		}
	private:
		Node* _root;
	};

	void TestBSTree()
	{
		BSTree<int> t;
		int a[] = { 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 };
		for (auto e : a)
		{
			t.InsertR(e);
		}
		t.InOrder();
		t.EraseR(5);
		t.InOrder();
		t.EraseR(7);
		t.InOrder();
	}
}

2、KV模型

KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。
主要解决给一个值查找另外一个值

该种方式在现实生活中非常常见：比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。

比如：实现一个简单的英汉词典dict，可以通过英文找到与其对应的中文，具体实现方式如下：

  • <单词，中文含义>为键值对构造二叉搜索树，注意：二叉搜索树需要比较，键值对比较时只比较Key
  • 查询英文单词时，只需给出英文单词，就可快速找到与其对应的key
namespace KV
{
	template<class K, class V>
	struct BSTreeNode
	{
		BSTreeNode<K, V>* _left;
		BSTreeNode<K, V>* _right;
		K _key;
		V _value;
		BSTreeNode(const K& key, const V& value)
			:_left(nullptr),
			_right(nullptr),
			_key(key),
			_value(value)
		{}
	};

	template<class K, class V>
	struct BSTree
	{
		typedef BSTreeNode<K, V> Node;
	public:
		BSTree() :_root(nullptr) {}
		~BSTree() {}

		// 插入数据保持继续是二叉搜索树
		bool Insert(const K& key, const V& value)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key, value);
				return true;
			}

			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				// 往右边走
				if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				// 往左边走
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				// _key==key
				else
				{
					return false;
				}
			}

			// 这里说明走到合适的空位置了，需要链接起来
			cur = new Node(key, value);
			if (key > parent->_key)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}
			return true;
		}

		// 查找
		Node* Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			// 从根开始遍历
			while (cur)
			{
				if (key > cur->_key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else if (key < cur->_key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return cur;
				}

			}
			return nullptr;
		}

		bool Erase(const K& key)
		{
			//先找到我们要删除的那个节点和它的父亲节点
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;

			while (cur)
			{
				if (key > cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;

				}
				else if (key < cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;

				}
				else
				{
					// 找到了 准备开始删除
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						// 当父亲为空时，也需要特殊处理一下
						if (parent == nullptr)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							// 需要特判一下，被删除节点是父亲的哪个节点
							if (cur == parent->_left)
								parent->_left = cur->_right;
							else
								parent->_right = cur->_right;
						}
						delete cur;
					}
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						// 当父亲为空时，也需要特殊处理一下
						if (parent == nullptr)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							if (cur == parent->_left)
								parent->_left = cur->_left;
							else
								parent->_right = cur->_left;
						}

						delete cur;
					}
					else
					{
						// 替换法删除
						Node* minParent = cur;
						Node* min = cur->_right;//右树的最小节点
						while (min->_left)
						{
							minParent = min;
							min = min->_left;
						}

						// 覆盖cur节点
						cur->_key = min->_key;
						cur->_value = min->_value;
						//转换成删除替代节点min

						if (minParent->_left == min)
							minParent->_left = min->_right;
						else
							minParent->_right = min->_right;

						delete min;
					}
					return true;
				}
			}
			return false;
		}
		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			std::cout << std::endl;
		}
		// 中序遍历
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}

			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
			_InOrder(root->_right);
		}
private:
	Node* _root;
	};

//测试如下
	void TestBSTree_KV1()
	{
		// 字典模型KV
		BSTree<std::string, std::string> dict;
		dict.Insert("sort", "排序");
		dict.Insert("study", "学习");
		dict.Insert("C++", "C加加");
		
		dict.InOrder();

		std::string str;
		while (std::cin >> str)
		{
			
			BSTreeNode<std::string, std::string>* ret = dict.Find(str);
			if (ret)
			{
				std::cout << "对应的中文解释为: " << ret->_value << std::endl;
			}
			else
			{
				std::cout << "词库无此单词！！" << std::endl;
			}
		}
	}

	void TestBSTree_KV2()
	{
		//统计水果出现的次数
		string fruits[] = { "香蕉","香蕉","香蕉","香蕉","橘子","苹果","橘子","西瓜","橘子" ,"橘子" ,"橘子","苹果","苹果","苹果","苹果" };
		BSTree <string, int> countTree;

		for (auto& str : fruits)
		{
			//BSTreeNode<std::string, int>* ret = countTree.Find(e);
			auto ret = countTree.Find(str);
			if (ret != nullptr)
			{
				ret->_value++;
			}
			else
			{
				countTree.Insert(str,1);
			}
		}
		countTree.InOrder();
	}
}

四、二叉树的性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：

在这里插入图片描述

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为：logN
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树，其平均比较次数为：N/2
​

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JDBC 1&#xff0c;JDBC概述 在开发中我们使用的是java语言&#xff0c;那么势必要通过java语言操作数据库中的数据。这就是接下来要学习的JDBC。 1.1 JDBC概念 JDBC 就是使用Java语言操作关系型数据库的一套API 全称&#xff1a;( Java DataBase Connectivity ) Java 数据库…
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vue3-实战-13-管理后台-数据大屏解决方案-顶部组件搭建-实时游客统计

vue3-实战-13-管理后台-数据大屏解决方案-顶部组件搭建-实时游客统计

目录 1-数据大屏解决方案vw和vh 2-数据大屏解决方案scale 3-数据大屏原型需求图 4-数据大屏顶部搭建 4.1-顶部原型需求 4.2-顶部模块父组件的结构和逻辑 4.3-顶部模块子组件结构和逻辑 5-数据大屏游客统计 5.1-原型需求图分析 5.2-结构样式逻辑开发 1-数据大屏解决方…
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视觉与多模态大模型前沿进展 | 2023智源大会精彩回顾

视觉与多模态大模型前沿进展 | 2023智源大会精彩回顾

导读 6 月 9 日下午&#xff0c;智源大会「视觉与多模态大模型」专题论坛如期举行。随着 stable diffusion、midjourney、SAM 等爆火应用相继问世&#xff0c;AIGC 和计算机视觉与大模型的结合成为了新的「风口」。本次研讨会由智源研究院访问首席科学家颜水成和马尔奖获得者曹…
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在UE5编辑器环境中使用Python

在UE5编辑器环境中使用Python

UE有很多Python方案&#xff0c;本文所讲述的Python为UE5官方内嵌版本方案&#xff0c;并且只能在编辑器环境下使用&#xff0c;使用该功能可以编写编辑器下的辅助工具&#xff0c;提升开发效率。 1.调用Python的几种方式 讲一讲UE5中调用Python的几种方式&#xff0c;首先是…
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rust abc(5): 常量

rust abc(5): 常量

文章目录 1. 目的2. 基本用法2.1 说明2.2 运行结果 3. 不推荐或不正确用法3.1 不推荐用小写字母作为常量名字3.2 常量名称中含有小写字母就会报warning3.3 定义常量时&#xff0c;不指定数据类型会编译报错 4. const 和 immutable 的区别4.1 const 可以在函数外声明&#xff0c…
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三、决策树 四、随机森林

三、决策树 四、随机森林

三、决策树1.决策树模型的原理1&#xff09;什么是决策树2&#xff09;决策树模型原理3.构建决策树的目的4&#xff09;决策树的优缺点 2.决策树的典型生成算法1&#xff09;常用的特征选择有信息增益、信息增益率、基尼系数2&#xff09;基于信息增益的ID3算法3&#xff09;基…
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JAVAWEB 30-

JAVAWEB 30-

JAVAWEB 30- 快速入门DriverManagerConnectionresultsetPreparedStatement增删改查查询所有添加 修改 MAVEN坐标MyBatis代理开发mybatis查询条件查询添加删除参数传递 快速入门 public static void main(String[] args) throws Exception { /1.注册驱动 Class.forName("co…
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【TA100】Bloom算法

【TA100】Bloom算法

一、什么是Bloom算法 1、首先看一下Bloom效果长什么样 2、什么是Bloom ● Bloom&#xff0c;也称辉光&#xff0c;是一种常见的屏幕效果 ● 模拟摄像机的一种图像效果&#xff0c;让画面中较亮的区域“扩散”到周围的区域中&#xff0c;造成一种朦胧的效果 ● 可以让物体具有…
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[JVM]再聊 CMS 收集器

[JVM]再聊 CMS 收集器

题目之所以是再聊,是因为以前聊过: [JVM]聊聊 CMS 收集器 最近又看了下这块的知识,打算把 CMS/标记-清除/GC Roots/引用 这些知识串起来 我依旧可能写的不是很好,降低下期待 GC 算法 CMS 是基于 标记-清除 算法来做的,那我们就先从 GC 算法开始聊 GC 算法有: 标记-清除 标…
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一篇博客教会你使用Docker部署Redis哨兵

一篇博客教会你使用Docker部署Redis哨兵

文章目录 主数据库配置文件启动实例容器虚拟IP 从数据库配置文件启动实例 主从数据库查看主数据库查看从数据库 哨兵配置文件启动哨兵查看哨兵 哨兵机制哨兵选举选举日志重启主数据库 今天我们学习使用 Docker 部署 Redis 的主从复制&#xff0c;并部署 Redis 哨兵&#xff0c;…
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Linux学习之grub配置文件介绍

Linux学习之grub配置文件介绍

grub配置文件 /etc/default/grub这个文件里边有一些简单的grub配置。 可以看到/etc/default/grub文件里有GRUB_CMDLINE_LINUX"crashkernelauto rhgb quiet idlehalt biosdevname0 net.ifnames0 consoletty0 consolettyS0,115200n8 noibrs nvme_core.io_timeout429496729…
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全网独家--【图像色彩增强】方法梳理和问题分析

全网独家--【图像色彩增强】方法梳理和问题分析

文章目录 图像增强图像色彩增强问题可视化比较 难点色彩空间大&#xff0c;难以准确表征&#xff1f;不同场景差异大&#xff0c;难以自适应&#xff1f;计算量大&#xff0c;但应用场景往往实时性要求高&#xff1f; 方法传统方法深度学习逐像素预测3D LUT模仿ISP 个人思考批判…
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