m 序列(最长线性反馈移位寄存器序列)详解

本专栏包含信息论与编码的核心知识，按知识点组织，可作为教学或学习的参考。markdown版本已归档至【Github仓库：https://github.com/timerring/information-theory 】或者公众号【AIShareLab】回复 信息论 获取。

文章目录

- m 序列 (最长线性反馈移位寄存器序列)
- - 线性反馈移位寄存器的特征多项式
  - - 线性反馈移位寄存器的递推关系式
    - 线性反馈移位寄存器的特征多项式
  - m序列产生器
  - m序列的性质
  - - 均衡特性(平衡性)
    - 游程特性(游程分布的随机性)
    - 移位相加特性(线性叠加性)
    - 自相关特性
    - 伪噪声特性

m 序列 (最长线性反馈移位寄存器序列)

线性反馈移位寄存器的特征多项式

线性反馈移位寄存器的递推关系式

递推关系式又称为反馈逻辑函数或递推方程。设图2所示的线性反馈移位寄存器的初始状态为 $(a_{0} a_{1} \ldots a_{n-2} a_{n-1})$ , 经一次移位线性反馈, 移位寄存器左端第一级的输入为
$a_{n}=c_{1} a_{n-1}+c_{2} a_{n-2}+\cdots+c_{n-1} a_{1}+c_{n} a_{0}=\sum_{i=1}^{n} c_{i} a_{n-i}$

若经 $\boldsymbol{k}$ 次移位, 则第一级的输入为
$a_{l}=\sum_{i=1}^{n} c_{i} a_{l-i}$
其中, $\geq n, k=1,2,3, \ldots$
由此可见, 移位寄存器第一级的输入, 由反馈逻辑及移位寄存器的原状态所决定。上式称为递推关系式。

线性反馈移位寄存器的特征多项式

用多项式 f(x) 来描述线性反馈移位寄存器的反馈连接状态:
$f(x)=c_{0}+c_{1} x+\cdots+c_{n} x^{n}=\sum_{i=0}^{n} c_{i} x^{i}$
称为特征多项式或特征方程。其中, $x^{i}$ 存在, 表明 $c_{i}=\mathbf{1}$ , 否则 $c_{i}=\mathbf{0}$ , x 本身的取值并无实际意义。 $c_{i}$ 的取值决定了移位寄存器的反馈连接。由于 $c_{0}=c_{n}=1$ , 因此, f(x) 是一个常数项为 1 的 n 次多项式, n 为移位寄存器级数。

一个 n 级线性反馈移位寄存器能产生 m 序列的充要条件是它的特征多项式为一个 n 次本原多项式。若一个 n 次多项式 f(x) 满足下列条件:

(1) f(x) 为既约多项式(即不能分解因式的多项式);

(2) f(x) 可整除 $x^{p}+1), p^{n}-1$ ;

(3) f(x) 除不尽 $(x^{q+1}), q \lt p$ 。

则称 f(x) 为本原多项式。以上为我们构成 m 序列提供了理论根据。

m序列产生器

用线性反馈移位寄存器构成 m 序列产生器, 关键是由特征多项式 f(x) 来确定反馈线的状态, 而且特征多项式 f(x) 必须是本原多项式。

现以 n=4 为例来说明 m 序列产生器的构成。用4级线性反馈移位寄存器产生的 m 序列, 其周期为 $p=2^{4}-1=15$ , 其特征多项式 f(x) 是 4 次本原多项式，能整除 $x^{15}+1)$ 。先将 $x^{15}+1)$ 分解因式, 使各因式为既约多项式, 再寻找 f(x) 。
$\begin{aligned} x^{15}+1 & =(x+1)(x^{2}+x+1)(x^{4}+x+1) \\ & \cdot(x^{4}+x^{3}+1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1) \end{aligned}$
其中, 4 次既约多项式有 3 个, 但 $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$ 能整除 $x^{5}+1)$ , 故它不是本原多项式。因此找到两个4次本原多项式 $x^{4}+x+1)$ 和 $x^{4}+x^{3}+1)$ 。由其中任何一个都可产生 m 序列。用 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}^{4}+\mathrm{x}+\mathbf{1})$ 构成的 $\mathrm{m}$ 序列产生器如图所示。

设4级移位寄存器的初始状态为 1000 , $c_{4}=c_{1}=c_{0}=1, c_{3}=c_{2}=0$ 。输出序列 ${a_{k}\}$ 的周期长度为 15 。

m序列的性质

均衡特性(平衡性)

m 序列每一周期中 1 的个数比 0 的个数多 1 个。由于 $p=2^{n}-1$ 为奇数, 因而在每一周期中 1 的个数为 $p+1) / 2=2^{n-1}$ (偶数), 而 0 的个数为 $p-1) / 2=2^{n-1}-1$ (奇数)。上例中 p=15,1 的个数为 8,0 的个数为 7。当p足够大时, 在一个周期中 1 与 0 出现的次数基本相等。

游程特性(游程分布的随机性)

我们把一个序列中取值(1 或 0)相同连在一起的元素合称为一个游程。在一个游程中元素的个数称为游程长度。例如图中给出的 $\boldsymbol{m}$ 序列

在其一个周期的 15 个元素中, 共有 8 个游程
长度为 4 的游程 1 个, 即 1111 ;
长度为 3 的游程 1 个, 即 000 ;
长度为 2 的游程 2 个, 即 11 与 00 ;
长度为 1 的游程 4 个, 即 2 个 1 与 2 个 0 。

m 序列的一个周期 $p=2^{n-1})$ 中, 游程总数为 $2^{n-1}$ 。

长度为 1 的游程个数占游程总数的 1 / 2 ; 长度为 2 的游程个数占游程总数的 $1 / 2^{2}=1 / 4$ ; 长度为 3 的游程个数占游程总数的 $1 / 2^{3}=1 / 8$ 等等。

一般地, 长度为k的游程个数占游程总数的 $1 / 2^{k}=2^{-k}$ , 其中 $\leq k \leq(n-2)$ 。而且, 在长度为k的游程中, 连1游程与连0游程各占一半, 长为 (n-1) 的游程是连0游程, 长为n的游程是连1游程。

移位相加特性(线性叠加性)

$\boldsymbol{m}$ 序列和它的位移序列模二相加后所得序列仍是该 $\boldsymbol{m}$ 序列的某个位移序列。设 $m_{r}$ 是周期为 p 的 m 序列 $m_{p}$ 的 r 次延迟移位后的序列, 那么
$m_{p} \oplus m_{r}=m_{s}$
其中, $m_{s}$ 为 $m_{p}$ 某次延迟移位后的序列。例如，
$m_{p}=000111101011001, \ldots$

$m_{p}$ 延迟两位后得 $m_{r}$ , 再模二相加
$\begin{array}{l} m_{r}=\mathbf{0} 10001111010 \\ m_{\mathrm{s}}=\boldsymbol{m}_{\mathrm{p}} \oplus \boldsymbol{m}_{r}=\mathbf{0} 10110, \ldots \end{array}$
可见, $m_{\mathrm{s}}=m_{\mathrm{p}} \oplus m_{r}$ 为 $m_{p}$ 延迟 8 位后的序列。

自相关特性

$\boldsymbol{m}$ 序列具有非常重要的自相关特性。在 $\boldsymbol{m}$ 序列中, 常常用 +1 代表 0 , 用-1代表 1。此时定义：设长为 p 的 $\boldsymbol{m}$ 序列, 记作
$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{p}(p=2^{n-1})$
经过 $\boldsymbol{j}$ 次移位后, $\boldsymbol{m}$ 序列为
$a_{j+1}, a_{j+2}, a_{j+3}, \ldots, a_{j+p}$
其中, $a_{i+p}=a_{i}$ (以 p 为周期), 以上两序列的对应项相乘然后相加, 利用所得的总和
$a_{1} \cdot a_{j+1}+a_{2} \cdot a_{j+2}+a_{3} \cdot a_{j+3}+\cdots+a_{p} \cdot a_{j+p}=\sum_{i=1}^{p} a_{i} a_{j+i}$
来衡量一个 m 序列与它的 j 次移位序列之间的相关程度, 并把它叫做 $\boldsymbol{m}$ 序列 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{p})$ 的自相关函数。记作
$R(j)=\sum_{i=1}^{p} a_{i} a_{j+i}$
当采用二进制数字 0 和 1 代表码元的可能取值时, 上式可表示为
$R(j)=\frac{A-D}{A+D}=\frac{A-D}{p}$
式中, A、D分别是 $\boldsymbol{m}$ 序列与其 j 次移位的序列在一个周期中对应元素相同、不相同的数目, 还可以改写为
$R(j)=\frac{[a_{i} \oplus a_{i+j}=0] \text { 的数目 }-[a_{i} \oplus a_{i+j}=1] \text { 的数目 }}{p}$

由移位相加特性可知, $a_{i} \oplus a_{i+j}$ 仍是 m 序列中的元素, 所以式分子就等于 m 序列中一个周期中 0 的数目与 1 的数目之差。另外由 $\boldsymbol{m}$ 序列的均衡性可知, 在一个周期中 0 比 1 的个数少一个, 故得 $A - D = - 1$ ( j 为非零整数时) 或 p(j为零时) 。因此得
$R(j)=\{\begin{array}{ll} 1 & j=0 \\ \frac{-1}{p} & j=\pm 1, \pm 2, \ldots, \pm(p-1) \end{array}.$

$\mathrm{m}$ 序列的自相关函数只有两种取值 (1 和 -1 / p) 。 R(j) 是一个周期函数, 即
$\boldsymbol{R}(j)=\boldsymbol{R}(j+k p)$
式中, $\ldots, p=(2^{n}-1)$ 为周期。而且 $R (j)$ 是偶函数, 即
$\quad j=\text { 整数 }$

伪噪声特性

如果我们对一个正态分布白噪声取样，若取样值为正，记为+1，

若取样值为负，记为-1，将每次取样所得极性排成序列，可以写成 …+1,-1,+1,+1,+1,-1,-1,+1,-1,…

这是一个随机序列，它具有如下基本性质:(1)序列中+1和-1出现的概率相等;

序列中长度为 1 的游程约占 1 / 2 , 长度为 2 的游程约占 1 / 4 , 长度为 3 的游程约占 1 / 8, $\ldots$ 一般地, 长度为 $\mathrm{k}$ 的游程约占 $1 / 2^{k}$ , 而且 +1 、-1 游程的数目各占一半;

由于白噪声的功率谱为常数, 因此其自相关函数为一冲击函数 $\delta(\tau)$ 。把 $\boldsymbol{m}$ 序列与上述随机序列比较, 当周期长度 $\boldsymbol{p}$ 足够大时, $\boldsymbol{m}$ 序列与随机序列的性质是十分相似的。可见, $\boldsymbol{m}$ 序列是一种伪喿声特性较好的伪随机序列, 且易产生, 因此应用十分广泛。

参考文献：

Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.