引言

主成分分析是一种降维算法，它能将多个指标转换为少数几个主成分，这些主成分是原始变量的线性组合，且彼此之间互不相关，且能反映出原始数据的大部分信息。

一般来说，当研究的问题涉及到多变量且变量之间存在很强的相关性时，我们可以考虑使用主成分分析的方法对数据进行简化。（用较少的新变量替换原来较多的旧变量，并且使这些较少的新变量尽可能多的保留原来变量所反映的信息）

步骤

对数据进行标准化—>计算标准化样本的协方差矩阵—>计算R的特征值和特征向量—>计算主成分贡献率以及累计贡献率——>写出主成分——>根据系数分析主成分代表的意义

1. 对数据进行标准化
   原始数据：
   
   标准化数据：
   

2. 计算标准化样本的协方差矩阵
   

3. 计算R的特征值和特征向量
   

4. 计算主成分贡献率以及累计贡献率
   

5. 写出主成分
   

6. 根据系数分析主成分代表的意义
   

实例以及代码

实例：企业综合实力排序

clc
clear all
A = xlsread("Coporation_evaluation.xlsx","B2:I16");
%数据标准化处理
a = size(A,1);
b = size(A,2);
for i=1:b
    SA(:,i)=(A(:,i)-mean(A(:,i)))/std(A(:,i));%SA是标准化之后的数据
end
%计算相关系数并计算特征值和特征向量
CM = corrcoef(SA);%相关系数
[V,D]=eig(CM);%V是特征向量矩阵，D是特征值对角矩阵
%disp(D)观察D中数据
for i=1:b
    DS(i,1)=D(b+1-i,b+1-i);%按D中数据进行降序排列
end
for i=1:b
    DS(i,2)=DS(i,1)/sum(DS(:,1));%计算贡献值
    DS(i,3)=sum(DS(1:i,1))/sum(DS(:,1));%计算累积贡献值
end

%选择主成分以及对应的特征向量
T = 0.9;%保留的信息
for i=1:b
    if(DS(i,3)>=T)
        Com_num=i;
        break;
    end
end
%提取对应特征向量
for i=1:Com_num
    PV(:,i)=V(:,b+1-i);
end

%计算得分
new_score=SA*PV;
for i=1:a
    total_score(i,1)=sum(new_score(i,:));%计算总得分
    total_score(i,2)=i;%标记编号
end
result_score=[new_score,total_score];
result_score=sortrows(result_score,-4);%按总分降序
disp("特征值，贡献率，累计贡献率")
DS
disp('阀值T对应的主成分数与特征向量：')
Com_num
PV
disp('主成分分数,其中第4列是总得分')
result_score

结果如下

特征值，贡献率，累计贡献率

DS =

    5.7361    0.7170    0.7170
    1.0972    0.1372    0.8542
    0.5896    0.0737    0.9279
    0.2858    0.0357    0.9636
    0.1456    0.0182    0.9818
    0.1369    0.0171    0.9989
    0.0060    0.0007    0.9997
    0.0027    0.0003    1.0000

阀值T对应的主成分数与特征向量：

Com_num =

     3


PV =

    0.3334    0.3788    0.3115
    0.3063    0.5562    0.1871
    0.3900   -0.1148   -0.3182
    0.3780   -0.3508    0.0888
    0.3853   -0.2254   -0.2715
    0.3616   -0.4337    0.0696
    0.3026    0.4147   -0.6189
    0.3596   -0.0031    0.5452

主成分分数,其中第4列是总得分

result_score =

    5.1936   -0.9793    0.0207    4.2350    9.0000
    0.7662    2.6618    0.5437    3.9717    1.0000
    1.0203    0.9392    0.4081    2.3677    8.0000
    3.3891   -0.6612   -0.7569    1.9710    6.0000
    0.0553    0.9176    0.8255    1.7984    5.0000
    0.3735    0.8378   -0.1081    1.1033   13.0000
    0.4709   -1.5064    1.7882    0.7527   15.0000
    0.3471   -0.0592   -0.1197    0.1682   14.0000
    0.9709    0.4364   -1.6996   -0.2923    2.0000
   -0.3372   -0.6891    0.0188   -1.0075   10.0000
   -0.3262   -0.9407   -0.2569   -1.5238    7.0000
   -2.2020   -0.1181    0.2656   -2.0545    4.0000
   -2.4132    0.2140   -0.3145   -2.5137   11.0000
   -2.8818   -0.4350   -0.3267   -3.6435    3.0000
   -4.4264   -0.6180   -0.2884   -5.3327   12.0000

结果：第9家最强，第12家最弱