什么是微分冲击Derivative Kick

引入微分，就是为了减少超调量的，但是根据PID的经典公式

$Output = K_{p}*e(t) + K_{i}*\int e(t)d_{t} + K_{d}*\frac{de(t)}{d_{t}}$

就看微分部分

$K_{d}*\frac{de(t)}{d_{t}}$

在PID刚开始时，误差值肯定是存在的，但是PID启动的瞬间，这个dt是很小的，这就导致 $\frac{de(t)}{d_{t}}$ 是一个很大的值，因为误差是在瞬间变化的，那误差的微分当然就比较大，那输出Output就会有一个比较大的波动。同理，在重新设置目标值的时候也会有同样的情况，这种显现就叫微分冲击（Derivative Kick）。

这个微分冲击对控制系统肯定是不友好的，比如车速调节系统，会导致车速的顿挫。肯定有方法来解决这个问题。

解决方案

还是从本质入手，误差的微分dErr是怎么得来的

$dErr = \frac{dError}{d_{t}} = \frac{d(Setpoint-Input)}{d_{t}} = \frac{dSetpoint}{d_{t}} - \frac{dInput}{d_{t}}$

如果目标值Setpoint是一个固定不变的，dSetpoint = 0;

$dErr = \frac{dError}{d_{t}} = \frac{d(Setpoint-Input)}{d_{t}} = - \frac{dInput}{d_{t}}$

这就说明，只要目标值Setpoint不变化，偏差(Error)的导数等于输入(Input)的负导数。

那管你目标值变不变，都把输入的负倒数等价于误差的倒数，问题解决了，再也没有Setpoint来影响输出了。

实现代码如下：

/*working variables*/
unsigned long lastTime;
double Input, Output, Setpoint;
double errSum, lastInput;
double kp, ki, kd;
int SampleTime = 1000; //1 sec
void Compute()
{
   unsigned long now = millis();
   int timeChange = (now - lastTime);
   if(timeChange>=SampleTime)
   {
      /*Compute all the working error variables*/
      double error = Setpoint - Input;
      errSum += error;
      double dInput = (Input - lastInput);

      /*Compute PID Output*/
      Output = kp * error + ki * errSum - kd * dInput;

      /*Remember some variables for next time*/
      lastInput = Input;
      lastTime = now;
   }
}

void SetTunings(double Kp, double Ki, double Kd)
{
  double SampleTimeInSec = ((double)SampleTime)/1000;
   kp = Kp;
   ki = Ki * SampleTimeInSec;
   kd = Kd / SampleTimeInSec;
}

void SetSampleTime(int NewSampleTime)
{
   if (NewSampleTime > 0)
   {
      double ratio  = (double)NewSampleTime
                      / (double)SampleTime;
      ki *= ratio;
      kd /= ratio;
      SampleTime = (unsigned long)NewSampleTime;
   }
}

这里的修改相当容易。在前面一章代码的基础上，将+dError替代为-dInput。那记录的变量也就是上一次的输入lastInput，而不是上一次的误差lastError。