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简介

lowbit函数

结构分析

单点修改,区间查询

区间修改,单点查询

区间修改,区间查询

模板题

树状数组1–单点修改,区间查询

题目描述

输入格式

输出格式

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

说明/提示

分析

代码

树状数组2––区间修改,单点查询

题目描述

输入格式

输出格式

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

说明/提示

样例 1 解释：

数据规模与约定

分析

代码

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简介

树状数组或二叉索引树（英语：Binary Indexed Tree），又以其发明者命名为Fenwick树，最早由Peter M. Fenwick于1994年以A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables为题发表在SOFTWARE PRACTICE AND EXPERIENCE。其初衷是解决数据压缩里的累积频率（Cumulative Frequency）的计算问题，现多用于高效计算数列的前缀和，区间和。 ——源自百度百科

百度百科太过于学术化，看不懂？怎么办？总的来说，树状数组是一种支持单点修改，区间查询的一种代码量小的数据结构。

那么树状数组和线段树有什么区别呢？

线段树的码量很明显比树状数组多
线段树可以进行区间修改和区间查询，然而树状数组是线段树的低级版本，可以进行区间查询，但只能一次性改一个点，当然，经过改造后的树状数组可以进行区间修改，我们今天先讲树状数组的低级版本。

如上图，这就是树状数组的形式，仔细看一看，你会发现树状数组是不规则的叉树。下图是线段树的样子

两者还是有很多地方是不一样的。

lowbit函数

要想学会树状数组，我们必须要理解一个函数：lowbit()

lowbit()就是求一个数与上他的相反数，简单来说，就是x&(-x)

想要算lowbit(x)很简单，举个栗子：

假设一个数 x=5,5的二进制编码为0101。根据我们的二进制原理，则-x也就是1011，所以x&(-x)=1，如果你再举几个例子，细心地你就会发现，x的二进制编码的第一个1的位置就是lowbit(x)的值？

下面给出lowbit的函数模板

//version 1 
int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}
//version 2
#define lowbit(x) x&(-x)

结构分析

先放一张图片

看了这一张图片，我们会发现，每一层的下表的二进制编码末尾的0的个数都是相同的,而且是从下至上一次递增的。

那么原数组前4项的和t[4]=t[2]+t[3]+a[4]=t[1]+a[2]+t[3]+a[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]

看了这一张图片之后，你是不是发现了更多的奥秘了呢？树状数组中节点x的父节点为x+lowbit(x),例如t[2]的父节点为t[4]=t[2+lowbit(2)].

当你理解了这些之后,就可以尝试一下编写代码了.

单点修改,区间查询

我们消化了上面的内容之后,会发现,编写树状数组的代码会变得尤为简单.在这里,我们先来看一下如何在树状数组里进行单点修改,区间查询.

如果我们将a数组进行+k操作,那么它的父亲节点都要加上一个k. 举个栗子:如果我们要将a[1]数组进行+k操作,那么如上图t[1],t[2],t[4],t[8]都要加上一个k(因为我们是用差分建的数,所以更改单点的值时也要牵扯到它的祖宗).

此时,我们就要运用到我们前面学的lowbit函数了!下面是单点修改的代码

int one_change(int x,int k){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        t[i]+=k;
    }
}

扯完了单点修改,我们继续来扯一下区间查询,区间查询又是什么呢,看一张图片,估计你们就明白了.

在这里插入图片描述

图上求的是前7项的和ask[7]. 从图上也不难看出,ans[7]=t[7]+t[6]+t[4].如果你在多找几个例子,你会发现,所求前缀和的下标一次减去一个lowbit.所以,在代码中,我们可以进行使用lowbit来去求前缀和.接下来就是区间求和的代码

int find(int x){
	int sum=0;
	for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i)){
		sum+=t[i];
	}
	return sum;
}

这时,喜欢刨根问底的你们就会给出一个很好地问题:上面这段代码只能实现[1,x]的区间求和,那么我想求[l,r]区间的和怎么办呢?此时就要用到前缀和的相减思想了(如果你们还没学会前缀和,那就停下这篇博客,赶快去学习前缀和吧).以下是更新后的代码.

int lrfind(int l,int r){
	int sum=0;
	for(int i=l;i>=1;i-=lowbit(i)){
        sum+=t[i];
    }
	for(int i=r-1;i>=1;i-=lowbit(i)){
        sum-=t[i];
    }
	return 0;
}

区间修改,单点查询

我们讲完了单点修改,区间查询,现在就来讲解一下区间修改,单点查询.

对于这一类操作，我们需要构造出原数组的差分数组，然后用树状数组维护该数组就行了

如果要进行区间修改的话，我们只需要对差分数组进行操作就行了,例如对[l,r]区间进行+k操作,那么我们只需要更新差分数组change(l,k),change(r+1,-k)就行了，这是差分数组的性质.听懂了吗?下面是区间修改的代码

void lrchange(int pos,int k){
	for(int i=pos;i<=n;i+=lowbit(i)){
        t[i]+=k;
    }
}
lrchange(l,k);
lrchange(r+1,-k);

如果进行单点查询操作,只需要求b数组的前缀和就行了,别忘了我们是根据差分建的树.下面是单点查询操作的代码

int one_find(int pos){
	int ans=0;
	for(int i=pos;i;i-=lowbit(i)){
        ans+=t[i];
    }
	return ans;
}

区间修改,区间查询

若此模板使用树状数组过于复杂,不如使用高效的线段树进行解题.

模板题

树状数组1–单点修改,区间查询

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

将某一个数加上 x
求出某区间每一个数的和

输入格式

第一行包含两个正整数 n,m,分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含n个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来 m 行每行包含 3 个整数，表示一个操作，具体如下：

1 x k 含义：将第 x个数加上k
2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 2 的结果。

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

14
16

说明/提示

【数据范围】

对于 30%30% 的数据,1≤n≤8,1≤m≤10；
对于 70%70% 的数据,1≤n,m≤104；
对于 100%100% 的数据,1≤n,m≤5×105。

数据保证对于任意时刻,a 的任意子区间（包括长度为 1 和 n 的子区间和均在 [−231,231) 范围内。

样例说明：

故输出结果14、16

分析

此题就是模板题,直接套模板上去就行了

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) (x&(-x))
using ll=long long; 
using namespace std;
int c[2000006],n,m,x;
long long ans;
int one_change(int x,int k){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        c[i]+=k;
    }
}
void lrfind(int l,int r){
	for(int i=r;i>=1;i-=lowbit(i)){
        ans+=c[i];
    }
	for(int i=l-1;i>=1;i-=lowbit(i)){
        ans-=c[i];
    }
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>x;
		one_change(i,x);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int p,xx,yy;
		cin>>p>>xx>>yy;
		if(p==1){
            one_change(xx,yy);
        }else{
			ans=0;
			find(x,y);
			cout<<ans<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

树状数组2––区间修改,单点查询

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

将某区间每一个数加上 x；
求出某一个数的值。

输入格式

第一行包含两个整数 N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 N 个用空格分隔的整数，其中第 i个数字表示数列第 i 项的初始值。

接下来 M 行每行包含 2 或 4个整数，表示一个操作，具体如下：

操作 1：格式：1 x y k 含义：将区间 [x,y] 内每个数加上k；

操作 2：格式：2 x 含义：输出第 x 个数的值。

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 2的结果。

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

6
10

说明/提示

样例 1 解释：

故输出结果为 6、10。

数据规模与约定

对于 30% 的数据：N≤8，M≤10；

对于 70%的数据：N≤10000,M≤10000；

对于 100%100% 的数据：1≤N,M≤500000，1≤x,y≤n，保证任意时刻序列中任意元素的绝对值都不大于 230。

分析

同样是模板题,没有什么可以分析的,直接把代码套上去就行了

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) x&(-x)
using ll=long long;
long long n,q,f,a[1000005],l,r,x,p,b[1000005];
long long c[1000005];
int main(){
	cin>>n>>q;   
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		b[i]=a[i]-a[i-1];
		for(int j=i;j<=n;j+=lowbit(j)){
			c[j]+=b[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=q;i++){
		cin>>f;
		if(f==1){
			cin>>l>>r>>x;
			for(int j=l;j<=n;j+=lowbit(j)){
				c[j]+=x;
			}
			for(int j=r+1;j<=n;j+=lowbit(j)){
				c[j]-=x;
			}
		}else{
			cin>>p;
			long long ans=0;
			for(int j=p;j>=1;j-=lowbit(j)){
				ans+=c[j];
			}
			cout<<ans<<endl;
		}
	}
	return 0;
}