编者按：

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许多精确算法在理论上能保证我们的目标函数值一直下降。在随机梯度下降以及无导数优化等情况下，目标移动方向受到噪声干扰，与实际下降方向往往会存在偏差。本文将分析噪声和下降偏差对于梯度下降法等算法的影响，并且介绍常用的改进方法。

应用背景

通常意义下，我们考虑的优化问题可写成
$$\begin{array}{c}\min \varphi (x),\text{s.t.}{c}_i(x)\ge 0,i\in I.\end{array}$$

我们会对$\varphi$和$c_i(i\in I)$的性质做出一些假设 (例如函数是凸的、Lipschitz连续的), 然后在这些假设的基础上，构造具有一定收敛性的优化算法。这些收敛性结果需要一个共同的前提：对于任意的$x\in {\mathbb{R}}^n$, 我们都能获得$\varphi (x)$和$c_i(x)$的精确值。如果算法中涉及 (高阶) 导数的计算，那我们也假设这些导数都能够被精确算出。

然而在实际问题中，这个前提未必成立。其中一个原因在于有些优化问题涉及大量的样本，而所求的函数值被表示为不同样本对应值的平均。对于这类问题，许多随机算法应运而生，目前已有较为成熟的理论和系统的应用。这里不再赘述。在本文中，我们主要考虑另一类问题——自变量的规模不一定很大，但问题不满足上述精确性假设。

其中一个例子是阻尼器的分配${}^{[1]}$。为了减小地震带来的经济损失，我们会在两栋相邻的建筑物之间安置阻尼器，使得建筑物具有更稳定的结构。然而阻尼器的成本较高，因此我们需要建立相应的优化问题，在尽可能少的阻尼器之下获得尽可能大的减震效果。这类优化问题的目标函数是通过地震模拟器产生的一个数值积分。由于它具有积分的形式，我们有理由认为它是可微的；但又由于它是一个黑箱函数，我们无法直接得到梯度的精确值。

类似的实际问题还有很多${}^{[2]-[4]}$，而这些问题大致可以分为两类。第一类可分为两种情况：(1) 函数本身不可微；(2) 由于问题的实际背景，我们无法得到可靠的近似梯度 (当然，我们可以通过差分等方式得到梯度的近似值；但如果我们在数值算法中使用这些近似值，无法得到理想的实验结果)。这类问题的求解往往需要无导数算法。在另一类问题中，函数值和导数值都可能具有一定的计算误差，但误差的大小是我们可以估计甚至控制的。对于这类问题，我们可以通过改进原有的优化算法，在新的情境下建立收敛结果。我们接下来介绍几个相应的例子。若不加说明，我们默认下文中出现的$\Vert \cdot \Vert$表示2-范数。

在噪声下的BFGS算法${}^{[5]}$

考虑无约束的优化问题$$\underset{x\in {\mathbb{R}}^n}{\min }\varphi (x),$$

其中$\varphi \in C^1({\mathbb{R}}^n)$, 但函数与梯度值无法直接计算。对应地，我们可以获得它们的近似值$f$和$g$:
$$\begin{array}{c}f(x)=\varphi (x)+\epsilon (x),g(x)=\nabla \varphi (x)+e(x),\end{array}$$

其中误差有界，可写作$|\epsilon (x)|\le {ϵ}_f$和$\Vert g(x)\Vert \le {ϵ}_g$。由于误差的大小只能估计，不能进一步控制 (例如让$|\epsilon (x_k)|$趋于$0$)，我们可将它看作是噪声。

对于上述问题，我们可以改进BFGS算法，它对于L-smooth的强凸函数具有全局收敛的结论。证明中的一个重要部分是对于线搜索的分析。对于噪声下的更新方向$p_k=-H_{k}g(x_k)$, 我们寻找步长$\alpha$满足
$$\begin{array}{c}f(x_k+\alpha p_k)\le f(x_k)+c_1\alpha p_k^{T}g(x_k),p_k^{T}g(x_k+\alpha p_k)\ge c_2{p}_k^{T}g(x_k).\end{array}$$

其中$c_1,c_2$是给定参数。如果没有噪声，这样的$\alpha$是一定存在的。我们在用$f$和$g$替换$\varphi$和$\nabla \varphi$之后，需要重新分析步长$\alpha$是否存在 (在必要的时候，可以调整线搜索准则)。可以证明，当$\Vert \nabla \varphi (x_k)\Vert$足够大时，我们可以找到满足上述条件的步长$\alpha$, 而且它在特定的线搜索参数$c_1^{\prime },c_2^{\prime }$之下满足精确值对应的线搜索准则，即
$$\begin{array}{c}\varphi (x_k+\alpha p_k)\le \varphi (x_k)+c_1^{\prime }\alpha p_k^T\nabla \varphi (x_k),p_k^T\nabla \varphi (x_k+\alpha p_k)\ge c_2^{\prime }{p}_k^T\nabla \varphi (x_k).\end{array}$$
总之，这样的线搜索是良定义的，且步长满足原先(无噪声)步长的一些特性。结合改进算法的性质和误差的特点，我们最终可以得到以下收敛性结论：

**定理1：**假设$\varphi$是有下界且二次连续可微的强凸函数，其梯度满足lipschitz条件$$\Vert \nabla \varphi (x)-\nabla \varphi (y)\Vert \le M\Vert x-y\Vert ,\forall x,y\in {\mathbb{R}}^n$$

计算误差始终满足$|\epsilon (x)|\le {ϵ}_f$和$\Vert g(x)\Vert \le {ϵ}_g$；$c_1,c_2$是线搜索中用到的参数；${\beta }_1\in (0,1)$是事先取定的参数。根据 [5] 中的改进算法，我们可以证明 { x k } \{x_k\} {xk​}以线性收敛的速度趋向于最优解邻域

$$\begin{array}{c}{\mathcal{N}}_1=\left\{x\mid \Vert \nabla \phi (x)\Vert \le \max \left\{A\sqrt{\frac{M{ϵ}_f}{{\beta }_1}},\frac{B{ϵ}_g}{{\beta }_1}\right\}\right\},\end{array}$$

其中$A=\max \left\{\frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{(c_2-c_1)(4-c_1-3c_2)}},\frac{8}{\sqrt{c_1(1-c_2)}}\right\}$, $B=\max \left\{\frac{8}{1-c_2},\frac{8(1+c_1)}{c_2-c_1}+6\right\}$.

可以看出，当误差${ϵ}_f={ϵ}_g=0$时，对应有 N 1 = { x ∗ } \mathcal{N}_1 = \{x^{*}\} N1​={x∗}。此时定理1与BFGS算法目前在精确性假设下的最好收敛性结论对应。更进一步，我们还可以证明：

定理2：沿用定理1中的条件和算法设置。设
ϕ ^ = max ⁡ x ∈ N 1 ϕ ( x ) , N 2 = { x ∣ ϕ ( x ) ≤ ϕ ^ + 2 ϵ f } . \begin{equation}\nonumber \hat{\phi}=\max_{x\in\mathcal{N}_1}\phi(x),\quad \mathcal{N}_2 = \{x|\phi(x)\leq\hat{\phi}+2\epsilon_f\}. \end{equation} ϕ^​=x∈N1​max​ϕ(x),N2​={x∣ϕ(x)≤ϕ^​+2ϵf​}.​

可证明，对任意的 k > K = min ⁡ { k ∈ N ∣ x k ∈ N 1 } k>K=\min\{k\in\mathbb{N}|x_k\in\mathcal{N}_1\} k>K=min{k∈N∣xk​∈N1​}，$x_k$都在最优解邻域${\mathcal{N}}_2$中。

可控制误差下的改进算法

与噪声不同，我们考虑另一类问题，其中函数值与梯度值的误差可以被控制。例如问题$$\underset{x\in {\mathbb{R}}^n}{\min }\varphi (x)={\int }_{t\in \Omega }h(x,t)dt,$$

其中$h$连续可微，$\Omega =[a,b{]}^n$ , a<b。由于$\varphi$和$\nabla \varphi$的计算涉及数值积分 (且积分无显示表达式)，我们只能获得它们的近似值，但计算的误差是可以控制的。此时我们希望改进原有的算法，且尽可能保留原先的收敛性结论

一个简单的例子是对梯度法的改进。原先的线搜索准则可写为
$$\begin{array}{c}\varphi (x_k-\alpha \nabla {\varphi }_k)\le {\varphi }_k-\sigma \alpha {\Vert \nabla {\varphi }_k\Vert }^2,\end{array}$$

其中$\sigma \in (0,1)$是给定的参数。根据Taylor一阶展开，我们知道这样的步长存在。然而对于$f_k={\varphi }_k+\epsilon (x_k)$和$ g_k=\nabla\phi_k+e(x_k)$,我们无法得到$f(x_k-h{g}_k)\leq{f}_k-h|g_k|^2+O(h2)$)的性质。因此，我们考虑一个新的线搜索准则：$$f(x_k-\alpha g_k)\le f_k-\sigma \alpha {\Vert g_k\Vert }^2+{\xi }_k,$$

其中${\xi }_k\ge |ϵ(x_k-\alpha g_k)|+|ϵ(x_k)|$。如果不等式取">"，显然线搜索是良定义的；如果我们在计算时保证$\Vert e(x_k)\Vert <\omega \Vert g_k\Vert$，其中$\omega <1$, 则可知$$\begin{array}{c}\varphi (x_k-h{g}_k)\le {\varphi }_k-h{g}_k^T\nabla {\varphi }_k+O(h^2)\le {\varphi }_k-h(1-\omega )\Vert g_k{\Vert }^2+O(h^2).\end{array}$$

此时$g_k$是一个下降方向，因此我们可以选择$\sigma <1-\omega$, 并取${\xi }_k=|ϵ(x_k-\alpha g_k)|+|ϵ(x_k)|$。为了进一步建立收敛性结论，**我们通常需要控制计算中的误差，来保证$\sum {\xi }_k<\infty$。**实际上对于满足精确性假设的问题，也曾出现过类似的做法${}^{[6]}$(在线搜索中引入${\xi }_k$项并要求$\sum {\xi }_k<\infty$)。

梯度法是一个很特殊的例子。包括梯度法在内，很多方法在精确性假设下计算出的更新方向$d_k$是$\varphi$的下降方向。然而对于其中的一部分算法，$d_k$的计算涉及到历史梯度值 ($g_{k-1},g_{k-2}\cdots$)。此时我们很难给出一个误差的限值标准，使得按标准计算的 { f i } i ≤ k \{f_i\}_{i\leq{k}} {fi​}i≤k​和 { g i } i ≤ k \{g_i\}_{i\leq{k}} {gi​}i≤k​能够生成一个$\varphi$的下降方向。尽管如此，我们仍然可以刻画算法的收敛性结果。一个常见的思路是考虑凸函数，通过$\Vert \nabla \varphi (x)\Vert =0$来说明算法到达函数的极小值。

为了建立算法的收敛性结果，我们需要对误差的大小做出要求。这里我们介绍一种常见的设置${}^{[7][8]}$。假设$\varphi$是${\mathbb{R}}^n$上L-smooth的凸函数，即满足条件：
$$0\le \varphi (x)-\varphi (y)+⟨\nabla \varphi (y),x-y⟩\le \frac{M}{2}\Vert x-y{\Vert }^2,\forall x,y\in {\mathbb{R}}^n,$$

其中$M>0$是强凸参数。我们接下来给出一阶$(\delta ,L)$信息的定义。

定义1 对于$\delta ,L>0$, 函数$\varphi$具备一阶$(\delta ,L)$信息，当且仅当对任意的$y\in {\mathbb{R}}^n$, 我们都能计算出一组$(f(y),g(y))$满足$$0\le f(x)-f(y)+⟨g(y),x-y⟩\le L\Vert x-y{\Vert }^2+\delta ,\forall x\in {\mathbb{R}}^n.$$

以上定义可拓展到定义在$Q$上的函数，其中$Q$是一个闭凸集。

假设对于**任意小的$\delta >0$**和足够大的$L$, 函数$\varphi$具有一阶$(\delta ,L)$信息。对于许多常见的一阶算法，我们可以适当选择 { δ k } \{\delta_k\} {δk​}和 { L k } \{L_k\} {Lk​}, 在第$k$次迭代时按照一阶$({\delta }_k,L_k)$信息的标准来计算$(f_k,g_k)$，并用它代替$({\varphi }_k,\nabla {\varphi }_k)$。以梯度法 (Primal Gradient Method) 为例，它对应的收敛性结果${}^{[7]}$为$$\begin{array}{c}\sum _{i=0}^{k-1}\frac{1}{L_i}[\varphi (x_{i+1})-\varphi (x^{\ast })]\le \frac{1}{2}\Vert x_0-x^{\ast }{\Vert }^2+\sum _{i=0}^{k-1}\frac{{\delta }_i}{L_i}.\end{array}$$

于$\varphi$是L-smooth的函数，我们可以认为 { L k } \{L_k\} {Lk​}有上界，且$M$是它的一个下界。而上式可改写为
$$\begin{array}{c}\underset{i=0,\cdots ,k-1}{\min }\left\{\frac{1}{L_i}[\varphi (x_{i+1})-\varphi (x^{\ast })]\right\}\le \frac{1}{2k}\Vert x_0-x^{\ast }{\Vert }^2+\frac{1}{k}\sum _{i=0}^{k-1}\frac{{\delta }_i}{L_i}.\end{array}$$

因此如果${\lim }_{k\to \infty }\frac{1}{k}{\sum }_{i=0}^{k-1}\frac{{\delta }_i}{L_i}=0$, 我们可推出${\lim }_{k\to \infty }{\min }_{i=0,\cdots ,k-1}\varphi (x_{i+1})=\varphi (x^{\ast })$, 即算法在$x^{\ast }$处终止或存在子列趋近于唯一的最优解$x^{\ast }$。其他的算法也有类似的收敛性结论，这里不再展开。

总结回顾

传统意义下，我们考虑的优化问题满足精确性假设，即目标 (约束) 函数和它的导数都可以被精确求出，然而在实际中许多问题并不满足这样的假设。对于具有大规模样本的问题，我们可以采用随机算法。在剩下的问题中，如果不能获得可靠的梯度信息，那么我们通常考虑无导数优化。如果我们能获得可靠的梯度信息，而函数值和梯度值伴随着可以估计大小的误差，那么我们考虑改进已有的一阶算法。面对具有误差的信息，一项重要的工作是制定合适的线搜索准则 (如果需要线搜索的话)，并验证它是良定义的。如果误差的大小只能估计而不能控制，我们希望在足够多次迭代之后，算法能够到达最优解的某个小邻域中；如果误差的大小可以控制，我们可以通过一阶$(\delta ,L)$信息等工具，给出误差的限制标准，并在这样的标准下得到算法全局收敛的结论。

[1] Audet, C., & Hare, W. (2017). Derivative-free and blackbox optimization.​
[2] Booker, A. J., Dennis Jr, J. E., Frank, P. D., Serafini, D. B., Torczon, V., & Trosset, M. W. (1999). A Rigorous Framework by Surrogates for Optimization of Expensive Functions. Structural Optimization, 17, 1-13.​
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[4] Kannan, A., & Wild, S. M. (2012, June). Benefits of deeper analysis in simulation-based groundwater optimization problems. In Proceedings of the XIX International Conference on Computational Methods in Water Resources (CMWR 2012) (Vol. 4, No. 5, p. 10).​
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[8] Devolder, O. (2013). Exactness, inexactness and stochasticity in first-order methods for large-scale convex optimization (Doctoral dissertation, PhD thesis).