题目内容

给定n个整数 $a_1$ ,..., $a_n$ 和一个整数x。求有多少有序对(i,j)满足 $a_i-a_j= x$

输入格式

第一行两个整数 $n(1 \leq n \leq 2 \times 10^6),x(-2 \times 10^6 \leq x \leq 2 \times 10^6)$ ,分别代表整数的个数和题目中的x。

第二行n个用空格隔开的整数，第i个代表 $-2 \times 10^6 \leq a_i \leq 2 \times 10^6$

输出格式

一行一个整数，代表满足 $a_i-a_j= x$ 的有序对(i,j)个数。

样例

input

5 1
1 1 5 4 2

ouput

3

提示

(i,j) 为(5,1),(5,2),(3,4)

思路

1.双指针暴力法

双重循环枚举i,j 来计数即可,复杂度是 $O(n^2)$ 。但是无法拿到满分。服务器一般一秒跑1e8次。

把n带进去看看 $(2 * 10^6)^2=4 * 10^{12} >> 1e8$

2.桶预处理法

先将所有数装进桶中。扫一遍数组枚举每一个 $a_i$ , 那么此时已知 $a_i$ 的数（常数）为 $a_i$ ,x

① $a_i-a_j=x$

② $a_j$ = $a_i-x$

所以我们的任务就是在整个序列中寻找有多少个a_j满足等式②。由于我们已经预处理了桶。所以直接查询$a_i-x$的出现次数即可。

有一个特殊情况:当x=0 时i = j也可以。但是题目貌似没规定是否可以相等。如果可以相等就不用改，如果不能相等就得特判 - 1

此时复杂度显然就是O(n)的了

实现

注意，在实现的过程中还是需要注意很多细节问题。

c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e6 + 5;
int a[maxn];
int b[maxn * 2]; // 注意:b的下标填的是值域范围，不是数组长度，所以需要开两倍
// 下标变换
int idTrans (int x){
// 这时下标从[-2e6,2e6]映射到[0,4e6]
return x + 2e6;
}
int main() {
int n , x;
cin >> n >> x;
for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
cin >> a[i];
// 第一步:将数装进桶中
// 可以用STL中的unordered_map,但是我们发现下标其实没那么大
// 所以为了更快的运行速度我们可以开一个桶数组b。(题目只给了0.5s)
// 但是值域涉及到负数，所以需要做一个下标的映射.
for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
b[idTrans(a[i])]++;
}
// 第二步:枚举每个数，统计答案
// 答案可能很大:考虑ai全等且x=0,那么任意两个i,j都是一个答案。那么答案会是n^2阶的。
// 尝试将其带进去会发现它爆int了，所以只能用long long 存储
long long ans = 0;
for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
ans += b[idTrans(a[i] - x)];
cout << ans << endl;
return 0;
}

总结

评价

本题正式涉及到算法思想，鉴定为竞赛入门难度。

关键

这道题的优化关键在于桶预处理

拓展

1.将题目中的a_i-a_j= x 改成 a_i-a_j= i-j

2.序列中有多少个子段的和恰好为$x$,即求有多少有序对(i,j)i < j满足
$\sum_{k=i}^{j}a_k=x$
3.序列中有多少个子段的和为$x$的倍数,即求有多少有序对(i,j)满足
$\sum_{k=i}^{j} a_k \equiv 0 \ (mod\ x)$
4.序列中有多少个子段的平均值恰好为$x$,即求有多少有序对(i,j)满足
$\frac{\sum_{k=i}^{j} a_k}{j-i+1}=x$