一道北大强基题背后的故事（四）——数学之美，美在哪里？

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在前面文章中，我们重点聊了[((1 + sqrt(5)) / 2) ^ 12]这道题可能的弯路，出题思路和这道题设计巧妙的结论，相关内容请戳：

一道北大强基题背后的故事（三）——什么样的题是好题？

一道北大强基题背后的故事（二）——出题者怎么想的？

一道北大强基题背后的故事（一）——从走弯路到看答案

上篇还留下了一个灵魂拷问，什么样的思路算得上合理而巧妙呢？今天我们就来解决这个问题。

数学分析能力是什么？

在很长一段时间，我因为太沉浸和熟悉于用数学和数学题构建的虚拟世界，以至于我认为这些一切的联想，分析，揣测，都是很直观的，想当然的，本能就应该会的。对那些理解不了的人表示不理解，就像那些人理解不了我为什么写一篇作文这么难一样的。直到我慢慢跳出这个环境来看，来分析，才发现，我所谓的想当然的123，其实仍然是基于我有大量的相关题目的输入，训练，思考，以及自我沉淀下来的一整套分析问题的方法和适应的习惯，甚至套路。用机器学习的语言来说就是，我学会了如何从问题中抽取关键特征，然后去尝试按对应的思路假设求解，如果逻辑通畅检查无误就解决了，不行就再想别的思路。因为我太熟悉，太自然地求解过太多简单的问题，因此，我把这部分也归为一种通用的逻辑。比如看到怎样的图形结构要作什么辅助线，看到分式应该首先去分母，要求最值则必须求导等等，还沾沾自喜自己掌握了世间最本质的真理。

但这些并不是真理，也并不是分析，而是数学的解题套路。它本质上和政治历史语文英语课上教的解题套路是一回事，都是在一类特定的学科和考试框架下，所形成的一种惯用思维，以至于不用搞清楚那么多为什么，照着做就大概率没错。就像倾斜水杯能喝到水，张开嘴巴能吃上饭，吃了就不会饿一样。里面的机理不清楚怎么运转也不影响你完成这些功能，这就是这个学科的势。

再往大说一点，这些没有什么形式逻辑，但是充满了辩证逻辑的工作，往往就是一门艺术形式的构成方式。唱歌要求必须用嘴，画画不能把纸戳破，杂技不能用魔术技巧骗人，魔术必须神奇等等，这些是一般艺术门类的限制；数学这门艺术的限制就在于必须有严谨的逻辑推理才算对，天马行空的只能是想象和猜想。

但是，要怎样才能想得出哥德巴赫猜想，欧拉公式，麦克斯韦方程组呢？有什么可能的让我也能发现它们的路径吗？

这时你就会发现，提出可证伪的猜想是一种美，而不断探索下找到逻辑完备的证明或计算求解路径的分析过程是另一种数学的美。而这个找寻过程，才是真正的数学艺术，证明结果的呈现和提出，顶多是静态的雕塑罢了。

这种求解的能力也是常说的关于数学的分析能力。可以看到这里看似是直觉，其实每一个思考细节，都体现了很多数感，或者是一些数学经验。一些不严谨但是很管用，能很高效地找到路径的方法，这就是估算的作用，能够定位方向，而不是穷举式的求解，那样在有限的时间内根本无法有足够的把握。

遗憾的是，这个找寻过程的求解到目前为止，还是不可直接定量计算的。也就是计算机目前还没法找到合适的模型进行学习和模拟，这也被认为是人类脑力智慧不被机器攻克的最后一块净土，不过我们还是可以通过机器学习模型的建模思路窥探一二。

什么是数学之美？

在进一步深入聊什么样的数学分析能力以前，我们先铺垫一个话题：什么是数学之美？

我认为，本质上这依然来源于其实用价值。不要被那些什么最美十大数学公式给骗了，那些公式背后的逻辑一点都不简单，把数学的简洁美等同于公式写起来字母少，那也太小儿科了。比如说，我们呈现在教科书上的自然数，排列组合，立体几何，概率，统计，这些知识很美，本质上是因为它们具有足够的通用性，普适性，是值得每一个人学习，记忆和掌握后变成自己的武器和工具，并值得整个人类来传颂和赞美的。这些自然也是数学知识的第一级别的美。

而第二级别的美，我觉得是数学家们正在探索着的数学知识的边界，这种求索的过程和任何一项艺术家的追求和体育世界里追求更高更快更强的精神是想通的，都代表着人类对未知世界的追求探索，它是美的。而且，当千百年过去的时候，人类知识升级换代，这些昨天的知识边界，可能就变成了第一种大众化的数学工具，称为全人类的武器。只是这部分美，大部分时候没那么快出象牙塔，变成第一级别的美，使得数学之美出现了巨大的空白真空。

第三级别的美填补了这个空白，因为接触人数众多，甚至是很多人接触数学的全部，那就是数学求解的分析之美。相比于第二级别的不设边界，探索未知。这些学校考试的数学题，以及各种数学游戏，智力题等，本质上来源于生活，但是已经为了其考察性和趣味性，不再有堆生活的通用性了，这是它们不如第一级别的地方。但是，这些东西内部，也仍然存在一些可通用的设计逻辑，注重去表现数学的规律性美感。在熟悉这个领域的人看来，通用的方法，同时也在不断更新创造中，部分甚至说不清，道不明。并且因为其呈现，反而揭示和帮助人们感性地理解了抽象的数学，和第一级别相辅相成了。而且，解题者和出题者是互相攻防对抗的，这甚至称为了数学发展的强化学习的一种动力，有些时候，不巧就探索到了一个全新的世界，而有机会跳脱出来变成第二和一级别的美。

不过，数学之美，是留给所有人几乎只要长了脑子的无门槛追求美的领域，人人生而平等，你心动了吗？

什么样的数学分析能力是“合理而巧妙”的？

回到数学分析能力的探讨。怎样的分析才是有效和值得学习掌握的呢？那得先看分析内容从哪来。

分析的内容，一般基于一些基本的常识，每天都可以创造出新的，然后重新由大家评估，是否是一个具有美感的数学思路和手段，再被大众所熟知。那怎样的数学知识方法是有艺术价值的呢？

比如我们做的一些题目，这些中间有一部分，因为特立独行，作者也说不出设计之妙处，反而让解题者头疼，看了题目也仍然一头雾水。我印象最深的是高中数学竞赛训练中解的一道数论题，需要构造一个sqrt(19)的式子，才能把原式化简解决。那这种题就毫无价值，或者暂时还没体现出通用性来，对解题人的素养要求也有所偏差，称为野题。

或者因为应试要求，只记得套路，不记得套路背后的来龙去脉，潜藏的数感和逻辑，那也违背了数学之美的初衷了。

这一点和魔术秘密不同，魔术秘密你打破脑筋想不到，就是好魔术，而数学你构造一个根本没法有任何思路联想到的解，却不是什么好题。

像我们讨论的这个[((1 + sqrt(5)) / 2) ^ 12]的题目，我认为就属于第三级别美的边缘，属于合理而巧妙。至少这样的构造是有韦达定理和二次方程的求根公式这样伟大级别的数学定理作为感觉来支撑的。硬算的人没有想到，不难为他，但就这个层面应该有的直觉看，确实是不具备，就像你问为什么打篮球一定不能抱着球走时，只能证明你太不了解这项运动，而不是有什么思辨能力。

但是因为应试而存在的数学，本身因为其功利目的，就存在一些所谓揣摩出题意图，考场经验等学习，这些确实就是过拟合到了数学题套路上了。在短期内有提分作用，长期则无从受益。出题人要高屋建瓴，出好题来避免这些规律性，在考察能力的同时，要避免太强的设计感和学科特殊性，而去考察通用的分析和逻辑能力。比如大学课本的习题和考试，就更多是学科知识本身的考察，而不会增加太对对抗性的丑题去为难，毕竟没有选拔性竞争的需求。

所以啊，做数学题，一不小心就从数学之美掉入数学之丑了，还是要小心为上。

综上，合理而巧妙的分析，是符合上述三个层级数学之美的分析，要么有特殊自成一派能复用的游戏般的思路，要么能够变成真正的前沿探索，要么最后能真的被证明是描述客观世界通用的数学工具。否则，那些丑题里的奇淫技巧，也是数学里的糟粕罢了。

好了，这题出得挺好，也合理而巧妙，是数学之美，那解题能力的本质是什么，我怎样才能培养解题能力，以及这背后的数学分析呢？它和真正的数学研究，还差多少？

下期见！

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！