【深度学习】0-2 深度学习相关数学概念的简单总结-概率与信息论

样本空间
样本空间是一个实验或随机试验所有可能结果的集合，随机试验中的每个可能结果称为样本点。例如投掷一个骰子，那么样本空间就是{1，2，3，4，5，6}。

随机变量
随机变量，顾名思义，就是“其值随机而定”的变量，一个随机试验有许多可能结果，到底出现哪个预先是不知道的，其结果只有等到试验完成后才能确定。
如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1、2、3、4、5、6中的任何一个，到底是哪一个，要等掷了骰子以后才知道。

概率分布
概率分布用来描述随机变量(含随机向量)在每一个可能状态的可能性大小。
对于随机变量X，其概率分布通常记为P(X=x)，或X~P(x)，表示X服从概率分布P(x)。在实际应用中，通常比较关心随机变量落在某一区间的概率，为此，引入分布函数的概念。

分布函数
定义：设X是一个随机变量，xk是任意实数值，函数：
在这里插入图片描述
称为随机变量X的分布函数。
对任意的实数x1、x2(x1＜x2)，有：

成立。上面式子表明若随机变量X的分布函数已知，那么可以求出X落在任意一区间[x1，x2]的概率。

离散型随机变量
设x1，x2，…，xn是随机变量X的所有可能取值，对每个取值xi，X=xi是其样本空间S上的一个事件，为描述随机变量X，还需知道这些事件发生的可能性(概率)。
设离散型随机变量X的所有可能取值为xi(i=1，2，…，n)：
在这里插入图片描述
称为X的概率分布或分布律，也称概率函数。

常见的离散随机变量的分布有：
两点分布
若随机变量X只可能取0和1两个值，且它的分布列为P(X=1)=p，P(X=0)=l-P，其中(0<P<1)，则称X服从参数为p的两点分布，记作X~B(1，p)。其分布函数为：
在这里插入图片描述

二项分布
一般用二项分布来计算概率的前提是，每次抽出样品后再放回去，并且只能有两种试验结果，比如黑球或红球，正品或次品等。二项分布指出，假设某样品在随机一次试验出现的概率为p，那么在n次试验中出现k次的概率为：
在这里插入图片描述
假设随机变量X满足二项分布，且知道n、p、k等参数，如何求出各种情况的概率值呢？这里介绍一种比较简单的方法，利用scipy库的统计接口stats即可，具体如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
from scipy import stats

%matplotlib inline
n = 20
p = 0.3
k = np.arange(0,41)
#定义二项分布
binomial = stats.binom.pmf(k,n,p)
#二项分布可视化
plt.plot(k, binomial, 'o-')
plt.title('binomial:n=%i,p=%.2f'%(n,p),fontsize=15)
plt.xlabel('number of success')
plt.ylabel('probalility of success', fontsize=15)
plt.grid(True)
plt.show()

运行结果如图：
在这里插入图片描述

连续型随机变量
与离散型随机变量不同，连续型随机变量采用概率密度函数来描述变量的概率分布。
如果一个函数f(x)是密度函数，满足以下三个性质，我们就称f(x)为概率密度函数。

f(x)≥0，注意这里不要求f(x)≤1。
对于任意实数x1和x2，且x1≤x2，有：
第2个性质表明，概率密度函数f(x)与x轴形成的区域的面积等于1

正态分布
也称“常态分布”，又名高斯分布，正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。正态分布是一种理想分布。

用python来实现正太分布

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
%matplotlib inline
#平均值或期望值
mu=0
#标准差
sigma1=1
sigma2=2
#随机变量的取值
x=np.arange(-6,6,0.1)
y1=stats.norm.pdf(x,0,1)  #定义正态分布的密度函数
2=stats.norm.pdf(x,0,2) #定义正态分布的密度函数
plt.plot(x,y1,label='sigma is 1')
plt.plot(x,y2,label='sigma is 2')
plt.title('normal $\mu$=%.1f,$\sigma$=%.1f or %.1f '%(mu,sigma1,sigma2))
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('probability density')
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

sigmal系统与正态分布如下图所示:
在这里插入图片描述

期望值
衡量随机变量的取值大小，数学期望也常称为均值，即随机变量取值的平均值，当然这个平均是指以概率为权的加权平均。期望值可大致描述数据的大小，但无法描述数据的离散程度。

方差
衡量随机变量数据离散程度
假设随机向量X有均值E(X)=a。试验中，X取的值当然不一定恰好是a，可能会有所偏离。偏离的量X-a本身也是一个随机变量。如果我们用X-a来刻画随机变量X的离散程度，当然不能取X-a的均值，因E(X-a)=0，说明正负偏离抵消了，当然我们可以取|X-a|这样可以防止正负抵消的情况，但绝对值在实际运算时很不方便。那么可以考虑另一种方法，先对X-a平方以便消去符号，然后再取平均得E(X-a)2或E(X-EX)2，用它来衡量随机变量X的取值的离散程度，这个量就叫作X的方差(即差的方)

协调方差
揭示随机向量间关系
对于多维随机向量，如二维随机向量(X，Y)如何刻画这些分量间的关系？显然均值、方差都无能为力。这里我们引入协方差的定义，我们知道方差是X-EX乘以X-EX的均值，如果我们把其中一个换成Y-EY，就得到E(X-EX)(Y-EY)，其形式接近方差，又有X、Y两者的参与，由此得出协方差的定义，随机变量X、Y的协方差，记为Cov(X，Y)：
协方差则可衡量随机变量间的相关性强度

求随机变量的方差、协方差、相关系统等，使用Python的NumPy相关的函数，如用numpy.var求方差，numpy.cov求协方差，使用numpy.corrcoef求相关系数

在机器学习中多维随机向量通常以矩阵的方式出现，所以求随机变量间的线性相关性，就转换为求矩阵中列或行的线性相关性。

这里我们举一个简单实例，来说明如果分析向量间的线性相关性并可视化结果。这个例子中使用的随机向量(或特征值)共有三个，一个是气温(temp)，一个体感温度(atemp)，一个是标签(label，说明共享单车每日出租量)，下表是这三个特征的部分数据
在这里插入图片描述
这里使用Python中数据分析库pandas及画图库matplotlib、sns等。

import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
data_pd=data1.toPandas()
sns.set(style='whitegrid',context='notebook')
cols=['temp','atemp','label']
sns.pairplot(data_pd[cols],size=2.5)
plt.show()

在这里插入图片描述
可以看出，特征temp与atemp是线性相关的，其分布接近正态分布。

贝叶斯定理
贝叶斯定理是概率论中的一个定理，它跟随机变量的条件概率以及边缘概率分布有关。在有些关于概率的解释中，贝叶斯定理(贝叶斯公式)能够告知我们如何利用新证据修改已有的看法。这个名称来自于托马斯·贝叶斯。
通常，事件A在事件B(发生)的条件下的概率，与事件B在事件A(发生)的条件下的概率是不一样的；然而，这两者是有确定关系的，贝叶斯定理就是这种关系的陈述。贝叶斯公式的一个用途在于通过已知的三个概率函数推出第四个。
贝叶斯公式为：
在这里插入图片描述
在贝叶斯定理中，每项都有约定俗成的名称：
·P(B|A)是已知A发生后B的条件概率，由于得自A的取值也被称作B的后验概率。
·P(B)是B的先验概率(或边缘概率)。之所以称为“先验”是因为它不考虑任何A方面的因素。
·P(A|B)是已知B发生后A的条件概率，称为似然(likelihood)，也由于得自B的取值而被称作A的后验概率。
·P(A)是A的先验概率或边缘概率。

信息论

信息论主要研究的是对信号所含信息的多少进行量化。

信息量
信息量是信息论中度量信息多少的一个物理量，它从量上反应具有确定概率的事件发生时所传递的信息。

信息熵
信息熵(entropy)又简称为熵，是对随机变量不确定性的度量。
信息熵越大，包含的信息就越多，那么随机变量的不确定性就越大。

条件熵
条件熵H(Y|X)表示在已知随机变量X的条件下，随机变量Y的不确定性。
注意，这个条件熵不是指随机变量X在给定某个数的情况下，另一个变量的熵是多少，以及变量的不确定性是多少，而是期望！因为条件熵中X也是一个变量，意思是在一个变量X的条件下(变量X的每个值都会取)，另一个变量Y熵对X的期望。

条件熵比熵多了一些背景知识，按理说条件熵的不确定性小于熵的不确定性，即H(Y|X)≤H(Y)
定理：对二维随机变量(X，Y)，条件熵H(Y|X)和信息熵H(Y)满足如下关系：
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互信息
互信息(mutual information)又称为信息增益，用来评价一个事件的出现对于另一个事件的出现所贡献的信息量。记为：
在这里插入图片描述
在决策树的特征选择中，信息增益为主要依据。在给定训练数据集D，假设数据集由n维特征构成，构建决策树时，一个核心问题就是选择哪个特征来划分数据集，使得划分后的纯度最大。一般而言，信息增益越大，意味着使用某属性a来划分所得“纯度提升”越大。因此，我们常用信息增益来构建决策树划分属性。

相对熵
相对熵(relative entropy)，所谓相对，一般是在两个随机变量之间来说，又被称为KL散度(Kullback-Leibler Divergence，KLD)

相对熵有些重要性质：

相对熵不是传统意义上的距离，它没有对称性
当预测分布q(x)与真实分布p(x)完全相等时，相对熵为0
如果两个分别差异越大，那么相对熵也越大；反之，如果两个分布差异越小，相对熵也越小。
相对熵满足非负性

交叉熵
交叉熵可在神经网络(机器学习)中作为代价函数，p表示真实标记的分布，q则为训练后的模型的预测标记分布，交叉熵代价函数可以衡量p与q的相似性。
交叉熵作为代价函数还有一个好处是使用sigmoid函数在梯度下降时能避免均方误差代价函数学习速率降低的问题，因为学习速率可以被输出的误差所控制。