文章目录

※ 参考资料
建立DH模型
- △ 基本概念和标准DH/改进DH
- - ○ 连杆与关节的编号
  - ○ 标准DH与改进DH
- △ DH参数模型建立方法
- - ○ 标准DH参数定义及方法简介
  - - · 连杆坐标系建立方法
    - · 标准DH参数含义
    - - ※ 关于DH参数以哪个轴的指向为准的问题
    - · 标准DH坐标系间的齐次变换矩阵
  - ○ 改进DH参数定义及方法简介
  - - · 连杆坐标系建立方法
    - · 改进DH参数含义
    - - ※ 关于这里为什么是 $a_{i-1}$ 与 $\alpha_{i-1}$
    - · 改进DH坐标系间的齐次变换矩阵
  - ※ 关于DH参数的作用
- △ ZK-500机器人DH建模过程及分析
- - ○ 机器人尺寸参数
  - ○ 标准DH（STD-DH）模型建立及验证
  - - · 标准DH模型建立过程
    - · ZK-500机器人标准DH（STD-DH）参数
    - · 验证标准DH模型参数
  - ○ 改进DH（M-DH）模型建立过程及验证
  - - · 改进DH模型建立过程
    - - ※ 关于6杆的原点位置的选定
    - · ZK-500机器人改进DH（M-DH）参数
    - · 验证改进DH模型参数

关于机器人正逆解的原理、算法、代码什么的，在网上一找一大堆，其本身也是关于机器人的知识里面最基础的，其实没什么好写的，这里只是把我理解的内容整理一下，方便自己和需要的人查看。

另外这里要感谢赵而阳师弟，之前我在弄有限元分析的内容，把机器人相关的问题都丢给他了。

❤ 2023.6.6 ❤

※ 参考资料

关于机器人运动学的参考资料与文章挺多的，同时matlab实现机器人的正逆解有更简单的方法就是用“机器人工具箱（Robotics Toolbox）”，所以要说这里的资料是不是最好的最有价值的不一定，但至少有帮助吧。

首先是我之前整理的

→→→【Matlab机器人工具箱（Robotics Toolbox）学习笔记】
其实就是把B站一个将机器人工具箱的up的视频整理了一下，并且附上了自己的练习与验证内容

建立DH模型

这是由Danevit Harttnberg提出的故称为DH方法

关于机器人的DH建模的方法，在各种机器人参考书里都有，据说，外国的书用改进DH比较多，中国的书用标准DH比较多，其实我也没有仔细看过，但是根据我看过的书籍的内容，DH建模方法这部分都没有特别详细的讲解，可能是大家都觉得这个内容太基础了，没必要将这么详细吧。。。

总之，在最开始学习机器人时，大部分人对于该如何建立DH模型会感到很混乱，这里总结一下DH模型的建立方法。

首先是参考资料：

→→→【机器人标准DH建模与改进DH建模】
这篇文章用比较简练的语言和图形说明了标准DH和改进DH的区别

→→→【（3）机器人的DH参数建模详解】
这篇文章讲了我经常搞混的机器人关节和连杆的编号问题

△ 基本概念和标准DH/改进DH

○ 连杆与关节的编号

这里直接引用【（3）机器人的DH参数建模详解】中的内容

总结一下，就是从基座为0开始，第几个杆编号就是几，离基座近的一端的关节编号和杆相同，远的一端编号+1

○ 标准DH与改进DH

标准DH与改进DH建立方法的区别

这里引用【机器人标准DH建模与改进DH建模】：

总结一下：杆的坐标系建立在离底座远的一端的是标准DH，近的一端的是改进DH

标准DH与改进DH应用的区别

简单来说就是当一个关节连了两个杆的时候，标准DH会出现歧义，而改进DH不会

△ DH参数模型建立方法

这里主要引用

→→→【（3）机器人的DH参数建模详解】中的内容

原文里各种公式崩了，这里我用Latex重新整理了一下

○ 标准DH参数定义及方法简介

· 连杆坐标系建立方法

第一步：确定各坐标系的Z轴：

基本原则为：选取 $z_{i}$ 轴为关节i+1的轴向（如上面图片所示，如z1在轴2上）（指向可以任选，但是通常将各平行的Z轴的指向取为相同）。另外，机器人远端没有关节n+1，这时可以选取 $z_{n}$ 轴和 $z_{n+1}$ 轴重合。

第二步：确定各坐标系的原点：

基本原则为：选取原点 $o_{i}$ 在过 $z_{i-1}$ 轴和 $z_{i}$ 轴的公法线上（即公法线与 $z_{i}$ 轴的交点）。

注意：
① 当 $z_{i-1}$ 轴和 $z_{i}$ 轴平行时，两轴的公法线有无数条，若两轴重合则取 $o_{i}=o_{i-1}$ ，若两轴平行且不重合则过 $o_{i-1}$ 点做两轴的公法线，此公法线与 $z_{i}$ 轴的交点即为 $o_{i}$ 。
② 由于没有 $z_{-1}$ ,故 $o_{0}$ 的无法按上面的方法确定，若 $z_{0}$ 与 $z_{1}$ 相交则 $o_{0}=o_{1}$ ，若 $z_{0}$ 与 $z_{1}$ 不相交取 $o_{0}$ 在 $z_{0}$ 与 $z_{1}$ 的公法线上。

第三步：确定各坐标系的X轴：

基本原则为：选取 $x_{i}$ 轴沿过 $z_{i-1}$ 轴和 $z_{i}$ 轴的公法线，方向从 $z_{i-1}$ 轴指向 $z_{i}$ 轴。

注意：
① 当 $z_{i-1}$ 轴与 $z_{i}$ 轴重合时（这时 $o_{i}=o_{i-1}$ ），选取 $x_{i}$ 轴满足在初始位置时 $x_{i}$ 轴与 $x_{i-1}$ 轴重合。
② 当 $z_{i-1}$ 轴与 $z_{i}$ 轴相交且不重合时，选择 $x_{i}=\pm (z_{i-1} \times z_{i})$ 。通常使所有平行的X轴有相同的指向。
③ 当i=0时，由于 $o_{0}=o_{1}$ 或 $o_{0}$ 在 $z_{0}$ 与 $z_{1}$ 的公法线上，选取在初始位置时 $x_{0}$ 轴与 $x_{1}$ 轴重合。

第四步：确定各坐标系的Y轴：

基本原则为：使 $y_{i}=z_{i}\times x_{i}$ 构成右手坐标系。

· 标准DH参数含义

1、杆件长度 $a_{i}$ ：定义为从 $z_{i-1}$ 轴到 $z_{i}$ 轴的距离，沿 $x_{i}$ 轴的指向为正；

2、杆件扭角 $\alpha_{i}$ ：定义为从 $z_{i-1}$ 轴到 $z_{i}$ 轴的转角，绕 $x_{i}$ 轴正向转动为正，且 $\alpha_i\in(-\pi,\pi]$ ；

3、关节距离 $d_{i}$ ：定义为从 $x_{i-1}$ 轴到 $x_{i}$ 轴的距离，沿 $z_{i-1}$ 轴的指向为正；

4、关节扭角 $\theta_{i}$ ：定义为从 $x_{i-1}$ 轴到 $x_{i}$ 轴的转角，绕 $z_{i-1}$ 轴正向转动为正，且 $\theta_i\in (-\pi,\pi]$ ；

※ 关于DH参数以哪个轴的指向为准的问题

这个问题我开始有点乱，为什么 $a_{i}$ 是以 $x_{i}$ 轴的指向为正而不是 $x_{i-1}$ ，而 $d_{i}$ 就是以 $z_{i-1}$ 轴的指向为正而不是 $z_{i}$ 呢？

我想考了一下，我觉得这个是根据前面的建立各连杆的坐标系的方法决定的，其实抛开这些概念，将坐标系标在机器人结构图上就明白了，比如 $a_{i}$ 表示的是连杆长，也就是z轴间的距离，只有 $x_{i}$ 的方向才能表示出从 $z_{i-1}$ 轴到 $z_{i}$ 的长度，于是才选定 $x_{i}$ 的方向为正。 $d_{i}$ 同理

【！】这是我的理解，不知道是不是正确

· 标准DH坐标系间的齐次变换矩阵

在这里插入图片描述

○ 改进DH参数定义及方法简介

· 连杆坐标系建立方法

第一步：确定各坐标系的Z轴：

基本原则为：选取 $z_{i}$ 轴为关节 $i$ 的轴向。

第二步：确定各坐标系的原点：

基本原则为：选取原点 $o_{i}$ 在过 $z_{i}$ 轴和 $z_{i+1}$ 轴的公法线上。

注意：
当 $z_{i}$ 轴和 $z_{i+1}$ 轴平行时，两轴的公法线有无数条，若两轴重合则取 $o_{i}=o_{i-1}$ （【？？？】这里存疑，我是按照标准DH写的），若两轴平行且不重合则过 $o_{i-1}$ 点做两轴的公法线，此公法线与 $z_{i}$ 轴的交点即为 $o_{i}$ 。

第三步：确定各坐标系的X轴：

基本原则为：选取 $x_{i}$ 轴沿过 $z_{i}$ 轴和 $z_{i+1}$ 轴的公法线，方向从 $z_{i}$ 轴指向 $z_{i+1}$ 轴。

注意：
① 当 $z_{i}$ 轴与 $z_{i+1}$ 轴重合时（这时 $o_{i}=o_{i-1}$ ），选取 $x_{i}$ 轴满足在初始位置时 $x_{i}$ 轴与 $x_{i-1}$ 轴重合。（【！！！】存疑，我是按照标准DH写的）
② 当 $z_{i-1}$ 轴与 $z_{i}$ 轴相交且不重合时，选择 $x_{i}=\pm (z_{i-1} \times z_{i})$ 。通常使所有平行的X轴有相同的指向。

第四步：确定各坐标系的Y轴：

基本原则为：使 $y_{i}=z_{i}\times x_{i}$ 构成右手坐标系。

· 改进DH参数含义

1、杆件长度 $a_{i-1}$ ：定义为从 $z_{i-1}$ 轴到 $z_{i}$ 轴的距离，沿 $x_{i-1}$ 轴的指向为正；

2、杆件扭角 $\alpha_{i-1}$ ：定义为从 $z_{i-1}$ 轴到 $z_{i}$ 轴的转角，绕 $x_{i-1}$ 轴正向转动为正，且 $\alpha_i\in (-\pi ,\pi ]$ ；

3、关节距离 $d_i$ ：定义为从 $x_{i-1}$ 轴到 $x_{i}$ 轴的距离，沿 $z_{i}$ 轴的指向为正；

4、关节扭角 $\theta_i$ ：定义为从 $x_{i-1}$ 轴到 $x_{i}$ 轴的转角，绕 $z_{i}$ 轴正向转动为正，且 $\theta_i\in (-\pi ,\pi ]$ ；

※ 关于这里为什么是 $a_{i-1}$ 与 $\alpha_{i-1}$

我的理解是，DH参数的作用是描述第 ${i}$ 个连杆的起始位置的参数，由于改进DH的坐标是建立在连杆的前端，也就是驱动轴上，那么能描述第 ${i}$ 个连杆的参数也就是该连杆的驱动轴与传动轴的距离（或者说关节偏置） $d_i$ （对于转动关节来说），以及第 ${i}$ 个连杆与第 ${i-1}$ 个连杆的相对位置的参数就是第 ${i-1}$ 个连杆的长度 $a_{i-1}$ 和夹角 $\alpha_{i-1}$ 。

如【机械臂运动学教程】机械臂+旋转矩阵+变换矩阵+DH+逆解+轨迹规划+机器人+教程视频中所示

在这里插入图片描述

其实在用改进DH（M-DH）建立机器人模型时不需要考虑那么多，只要把连杆对应的这一行参数填进去就行。

· 改进DH坐标系间的齐次变换矩阵

在这里插入图片描述

※ 关于DH参数的作用

为什么需要四个DH参数，刚开始我还不太懂，后来看了这个视频，老师讲的很明白

→→→【【机械臂运动学教程】机械臂+旋转矩阵+变换矩阵+DH+逆解+轨迹规划+机器人+教程】
P4 4.机械臂几何法与DH表示法

用 $a$ 和 $\alpha$ 可以表示出同一个杆的驱动轴和传动轴之间的变化关系

在这里插入图片描述

当有多个杆件串联时，需要 $d$ 和 $\theta$ 来表示两个杆件之间的相对位置关系

在这里插入图片描述

其中，在旋转关节中， $\theta$ 是变量，在平移关节中， $d$ 是变量

△ ZK-500机器人DH建模过程及分析

○ 机器人尺寸参数

这个机器人时南通振康生产的500Kg重载机器人（国产哦），现在用来做机器人搅拌摩擦焊的实验

在这里插入图片描述

机器人的尺寸及工作范围如下

在这里插入图片描述

○ 标准DH（STD-DH）模型建立及验证

关于工业机器人标准DH（STD-DH）建模的参考结果可以见这篇文章

→→→【工业六轴机器人常见的STD(标准)-DH模型建立方法】
只是他的方法和我的z轴的方向不同

同时标准DH的正逆解验证也可以参考同一个作者的这篇文章

→→→【SD-H模型运动学正解、逆解及姿态角的解算验证】

· 标准DH模型建立过程

确定z轴方向

基本原则为：选取 $z_{i}$ 轴为关节i+1的轴向（如上面图片所示，如z1在轴2上）（指向可以任选，但是通常将各平行的Z轴的指向取为相同）。另外，机器人远端没有关节n+1，这时可以选取 $z_{n}$ 轴和 $z_{n+1}$ 轴重合。

在这里插入图片描述

确定原点位置

基本原则为：选取原点 $o_{i}$ 在过 $z_{i-1}$ 轴和 $z_{i}$ 轴的公法线上（即公法线与 $z_{i}$ 轴的交点）。
注意：
① 当 $z_{i-1}$ 轴和 $z_{i}$ 轴平行时，两轴的公法线有无数条，若两轴重合则取 $o_{i}=o_{i-1}$ ，若两轴平行且不重合则过 $o_{i-1}$ 点做两轴的公法线，此公法线与 $z_{i}$ 轴的交点即为 $o_{i}$ 。
② 由于没有 $z_{-1}$ ,故 $o_{0}$ 的无法按上面的方法确定，若 $z_{0}$ 与 $z_{1}$ 相交则 $o_{0}=o_{1}$ ，若 $z_{0}$ 与 $z_{1}$ 不相交取 $o_{0}$ 在 $z_{0}$ 与 $z_{1}$ 的公法线上。

在这里插入图片描述

确定x轴方向

基本原则为：选取 $x_{i}$ 轴沿过 $z_{i-1}$ 轴和 $z_{i}$ 轴的公法线，方向从 $z_{i-1}$ 轴指向 $z_{i}$ 轴。
注意：
① 当 $z_{i-1}$ 轴与 $z_{i}$ 轴重合时（这时 $o_{i}=o_{i-1}$ ），选取 $x_{i}$ 轴满足在初始位置时 $x_{i}$ 轴与 $x_{i-1}$ 轴重合。
② 当 $z_{i-1}$ 轴与 $z_{i}$ 轴相交且不重合时，选择 $x_{i}=\pm (z_{i-1} \times z_{i})$ 。通常使所有平行的X轴有相同的指向。
③ 当i=0时，由于 $o_{0}=o_{1}$ 或 $o_{0}$ 在 $z_{0}$ 与 $z_{1}$ 的公法线上，选取在初始位置时 $x_{0}$ 轴与 $x_{1}$ 轴重合。

在这里插入图片描述

确定y轴方向

基本原则为：使 $y_{i}=z_{i}\times x_{i}$ 构成右手坐标系。

在这里插入图片描述

· ZK-500机器人标准DH（STD-DH）参数

1、杆件长度 $a_{i}$ ：定义为从 $z_{i-1}$ 轴到 $z_{i}$ 轴的距离，沿 $x_{i}$ 轴的指向为正；
2、杆件扭角 $\alpha_{i}$ ：定义为从 $z_{i-1}$ 轴到 $z_{i}$ 轴的转角，绕 $x_{i}$ 轴正向转动为正，且 $\alpha_i\in(-\pi,\pi]$ ；
3、关节距离 $d_{i}$ ：定义为从 $x_{i-1}$ 轴到 $x_{i}$ 轴的距离，沿 $z_{i-1}$ 轴的指向为正；
4、关节扭角 $\theta_{i}$ ：定义为从 $x_{i-1}$ 轴到 $x_{i}$ 轴的转角，绕 $z_{i-1}$ 轴正向转动为正，且 $\theta_i\in (-\pi,\pi]$ ；

在这里插入图片描述

· 验证标准DH模型参数

使用matlab机器人工具箱验证标准DH模型

建立机器人模型

d1=1050;a1=500;a2=1300;a3=150;d4=1200;d6=390;

%        theta(z)   d(z)     a(x)     alpha(x)  
L1=Link([  0       d1       a1        pi/2     ],'standard');
L2=Link([  0       0        a2         0       ],'standard');L2.offset=pi/2;
L3=Link([  0       0        a3        pi/2     ],'standard');
L4=Link([  0       d4       0        -pi/2     ],'standard');
L5=Link([  0       0        0         pi/2     ],'standard');
L6=Link([  0       d6       0          0       ],'standard');
Robot_6=SerialLink([L1,L2,L3,L4,L5,L6],'name','ZK-500');
Robot_6.teach;

注意这里的L2.offset=pi/2;，是对应连杆2的90°的补偿，

运行结果

在这里插入图片描述

○ 改进DH（M-DH）模型建立过程及验证

关于工业机器人标准DH（STD-DH）建模的参考结果可以见这篇文章（和上面那篇同一个作者）

→→→【工业六轴机器人常见的MOD(改进)-DH模型建立方法】
只是他的方法和我的z轴的方向不同

同时改进DH的正逆解验证也可以参考同一个作者的这篇文章

→→→【MD-H模型运动学正解、逆解及姿态角的解算验证】

· 改进DH模型建立过程

确定z轴方向

根据原则，选取 $z_{i}$ 轴为关节 $i$ 的轴向。

确定各关节z轴方向如图所示：

在这里插入图片描述

关于z轴方向的问题，理论上来说都可以，但是我看有的教程说要按照轴旋转的方向确定z轴的朝向，为此我还特地去查看了下机器人的各轴实际转动方向，但是转念一想，旋转方向如果实际和坐标不一致，那么只要在带入求解的时候加个负号就行了，但是如果在建立DH模型时就考虑方向，那么模型的通用型就会受到限制。

于是我决定按照：轴向沿竖直方向的轴（如1轴）方向向上，轴向沿水平方向的轴（如2、3、5轴）方向向外，轴向指向末端的轴（如4、6轴）方向指向末端的习惯来确定z轴的朝向。

确定原点位置

基本原则为：选取原点 $o_{i}$ 在过 $z_{i}$ 轴和 $z_{i+1}$ 轴的公法线上。
注意：
当 $z_{i-1}$ 轴和 $z_{i}$ 轴平行时，两轴的公法线有无数条，若两轴重合则取 $o_{i}=o_{i-1}$ （【！！！】存疑），若两轴平行且不重合则过 $o_{i-1}$ 点做两轴的公法线，此公法线与 $z_{i}$ 轴的交点即为 $o_{i}$ 。

按照以上原则，标注各连杆坐标系原点如图并适当平移了z轴的位置：

在这里插入图片描述

连杆4、5、6的坐标系的原点在同一个点，这里将5、6杆坐标系平移到不重叠的位置。

※ 关于6杆的原点位置的选定

按照传统的标准DH和改进DH模型，6杆的坐标原点都是应该建在机器人末端6轴的轴线位置的，但是如果将6杆的坐标原点移动到和4、5杆重合的位置，同时建立一个工具坐标系，将6杆的长度算作工具长度的一部分，则会大大简化逆解运算的复杂程度（听我师弟说的）。

原因我后面再讲（如果我写到后面能记起来的话。。。）

确定x轴方向

基本原则为：选取 $x_{i}$ 轴沿过 $z_{i}$ 轴和 $z_{i+1}$ 轴的公法线，方向从 $z_{i}$ 轴指向 $z_{i+1}$ 轴。
注意：
① 当 $z_{i}$ 轴与 $z_{i+1}$ 轴重合时（这时 $o_{i}=o_{i-1}$ ），选取 $x_{i}$ 轴满足在初始位置时 $x_{i}$ 轴与 $x_{i-1}$ 轴重合。（【！！！】存疑）
② 当 $z_{i-1}$ 轴与 $z_{i}$ 轴相交且不重合时，选择 $x_{i}=\pm (z_{i-1} \times z_{i})$ 。通常使所有平行的X轴有相同的指向。

顺便标上了基座坐标系和工具坐标系

在这里插入图片描述

确定y轴方向

基本原则为：使 $y_{i}=z_{i}\times x_{i}$ 构成右手坐标系。

在这里插入图片描述

完成！

然后和大佬做的比较一下（其实我就是一边比较一边做的。。。）

在这里插入图片描述

简直一模一样

· ZK-500机器人改进DH（M-DH）参数

1、杆件长度 $a_{i-1}$ ：定义为从 $z_{i-1}$ 轴到 $z_{i}$ 轴的距离，沿 $x_{i-1}$ 轴的指向为正；
2、杆件扭角 $\alpha_{i-1}$ ：定义为从 $z_{i-1}$ 轴到 $z_{i}$ 轴的转角，绕 $x_{i-1}$ 轴正向转动为正，且 $\alpha_i\in (-\pi ,\pi ]$ ；
3、关节距离 $d_i$ ：定义为从 $x_{i-1}$ 轴到 $x_{i}$ 轴的距离，沿 $z_{i}$ 轴的指向为正；
4、关节扭角 $\theta_i$ ：定义为从 $x_{i-1}$ 轴到 $x_{i}$ 轴的转角，绕 $z_{i}$ 轴正向转动为正，且 $\theta_i\in (-\pi ,\pi ]$ ；

在这里插入图片描述

· 验证改进DH模型参数

使用matlab机器人工具箱验证改进DH模型

建立机器人模型

d1=1050;a1=500;a2=1300;a3=150;d4=1200;d6=390;

%        theta(z)   d(z)     a(x)     alpha(x)  
L1=Link([  0       d1       0        0       ],'modified');
L2=Link([  0       0        a1       pi/2    ],'modified');L2.offset=pi/2;
L3=Link([  0       0        a2       0       ],'modified');
L4=Link([  0       d4       a3       pi/2    ],'modified');
L5=Link([  0       0        0       -pi/2    ],'modified');
L6=Link([  0       d6       0        pi/2    ],'modified');
Robot_6=SerialLink([L1,L2,L3,L4,L5,L6],'name','ZK-500');
Robot_6.teach;