1.判断子序列：
动态规划五部曲分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。
注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。
如果t的长度小于s那直接return false，如果s的长度为0，是return true；
有同学问了，为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢，为啥不表示下标i为结尾的字符串呢？
为什么这么定义我在 718. 最长重复子数组 (opens new window)中做了详细的讲解。
其实用i来表示也可以！
但我统一以下标i-1为结尾的字符串来计算，这样在下面的递归公式中会容易理解一些，如果还有疑惑，可以继续往下看。
2.确定递推公式
在确定递推公式的时候，首先要考虑如下两种操作，整理如下：
- if (s[i - 1] == t[j - 1])
- t中找到了一个字符在s中也出现了
- if (s[i - 1] != t[j - 1])
- 相当于t要删除元素，继续匹配
if (s[i - 1] == t[j - 1])，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;，因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1（如果不理解，在回看一下dp[i][j]的定义）
if (s[i - 1] != t[j - 1])，此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素t[j - 1]删除，那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了，即：dp[i][j] = dp[i][j - 1];
其实这里 大家可以发现和 1143.最长公共子序列 (opens new window)的递推公式基本那就是一样的，区别就是 本题 如果删元素一定是字符串t，而 1143.最长公共子序列 是两个字符串都可以删元素。
3.dp数组如何初始化
从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，所以dp[0][0]和dp[i][0]是一定要初始化的。
这里大家已经可以发现，在定义dp[i][j]含义的时候为什么要表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。
因为这样的定义在dp二维矩阵中可以留出初始化的区间，如图：
如果要是定义的dp[i][j]是以下标i为结尾的字符串s和以下标j为结尾的字符串t，初始化就比较麻烦了。
dp[i][0] 表示以下标i-1为结尾的字符串，与空字符串的相同子序列长度，所以为0. dp[0][j]同理。
vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
4.确定遍历顺序
同理从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，那么遍历顺序也应该是从上到下，从左到右
如图所示：
5.举例推导dp数组
以示例一为例，输入：s = "abc", t = "ahbgdc"，dp状态转移图如下：
dp[i][j]表示以下标i-1为结尾的字符串s和以下标j-1为结尾的字符串t 相同子序列的长度，所以如果dp[s.size()][t.size()] 与 字符串s的长度相同说明：s与t的最长相同子序列就是s，那么s 就是 t 的子序列。
图中dp[s.size()][t.size()] = 3， 而s.size() 也为3。所以s是t 的子序列，返回true。
动规五部曲分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
bool isSubsequence(string s, string t) {
vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
else dp[i][j] = dp[i][j - 1];
}
}
if (dp[s.size()][t.size()] == s.size()) return true;
return false;
}
};
2.不同的子序列：
这道题目如果不是子序列，而是要求连续序列的，那就可以考虑用KMP。
这道题的问题就是s里边删除元素变成t的方法数
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。
为什么i-1，j-1 这么定义我在 718. 最长重复子数组 (opens new window)中做了详细的讲解。
2.确定递推公式
这一类问题，基本是要分析两种情况
- s[i - 1] 与 t[j - 1]相等
- s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等
当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。
一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母，所以只需要 dp[i-1][j-1]。
在判断子序列中这里是加1的，那这道题为什么不加1？
因为判断子序列中求的是s和t的相同子序列的长度；而这道题求的是s里边删除元素变成t的方法数，所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，方法数不变
一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。
这里可能有录友不明白了，为什么还要考虑 不用s[i - 1]来匹配，都相同了指定要匹配啊。
例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不用s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。
当然也可以用s[3]来匹配，即：s[0]s[1]s[3]组成的bag。
所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
首先他是方法数，然后dp[i][j]是以s[i-1]为结尾的s的子序列中找以j-1为结尾的t（dp数组的含义），其实他是由dp[i-1][j]为基础推出来的，只不过是当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时多了一个情况，就是以s[i-1]为结尾去代替dp[i-1][j]种方法中的结尾字母，最后是把他们加起来，相当于dp[i - 1][j - 1]是增量。
这个不相等时就相当于没有增量。
当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配（就是模拟在s中删除这个元素），即：dp[i - 1][j]
所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];
这里可能有录友还疑惑，为什么只考虑 “不用s[i - 1]来匹配” 这种情况， 不考虑 “不用t[j - 1]来匹配” 的情况呢。
这里大家要明确，我们求的是 s 中有多少个 t，而不是 求t中有多少个s，所以只考虑 s中删除元素的情况，即 不用s[i - 1]来匹配 的情况。
3.dp数组如何初始化
从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j] 是从上方和左上方推导而来，如图：，那么 dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。
每次当初始化的时候，都要回顾一下dp[i][j]的定义，不要凭感觉初始化。
dp[i][0]表示什么呢？
dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。
那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数（也就是方法数）就是1。
再来看dp[0][j]，dp[0][j]：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。
那么dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t。
最后就要看一个特殊位置了，即：dp[0][0] 应该是多少。
dp[0][0]应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。
初始化分析完毕，代码如下：
vector<vector<long long>> dp(s.size() + 1, vector<long long>(t.size() + 1));
for (int i = 0; i <= s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) dp[0][j] = 0; // 其实这行代码可以和dp数组初始化的时候放在一起，但我为了凸显初始化的逻辑，所以还是加上了。
4.确定遍历顺序
从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j]都是根据左上方和正上方推出来的。
所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。
代码如下：
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
5.举例推导dp数组
以s："baegg"，t："bag"为例，推导dp数组状态如下：
动规五部曲分析完毕，代码如下：
class Solution {
public:
int numDistinct(string s, string t) {
vector<vector<uint64_t>> dp(s.size() + 1, vector<uint64_t>(t.size() + 1));
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 1; j < t.size(); j++) dp[0][j] = 0;
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
return dp[s.size()][t.size()];
}
};32 位的有符号整数的取值范围以及数值溢出
【C语言】uint8_t、uint16_t、uint32_t、uint64_t是什么？
int的取值范围为：-2^31 ---- 2^31-1 ,即：-2147483648 - 2147483647
uint32_t.min=0 uint32_t.max=4294967295
uint64_t.min=0 uint64_t.max=18446744073709551615
这里用uint32_t也可以
