动态规划问题主要就是要明确dp函数定义、搞清楚状态以及状态转移方程

构建DP思路解析

状态

 188. 买卖股票的最佳时机 IV - 力扣（LeetCode）

对于股票，我们每天有三种选择 => buy, sell, hold

限制条件有 => 天数限制（n），买入股票次数限制（k）

状态（动态过程） => [第 i 天][还剩下 j 次买入机会][有无股票]

dp[i][k][0 or 1] 表示收益
0 <= i < n, 1 <= k <= K
n 为天数，大 K 为交易数的上限，0 和 1 代表是否持有股票。
此问题共 n × K × 2 种状态，全部穷举就能搞定。

for 0 <= i < n:
    for 1 <= k <= K:
        for s in {0, 1}:
            dp[i][k][s] = max(buy, sell, rest)

 最终所求状态 => dp[ n ][ k ][ 0 ] (最后不把股票抛出去不就是全亏嘛)

状态转移方程

根据每天的三种选择（buy, sell, hold）

=> 两种状态转移：

1. dp[ i ][ k ][0]（不持有股票） = max(hold, sell) = max(dp[i - 1][k][0], dp[i - 1][k - 1][1] + price[i] );

2. dp[ i ][ k ][1] （持有股票） = max(hold, buy) = max(dp[i - 1][k][1], dp[i - 1][k - 1][0] - price[i]);

考虑base case

1. 从天数角度 => 下标从0开始

dp[0][...][0] = 0;

dp[0][...][1] = -prices[0];（可以赋值INT_MIN方便max（））

2. 从交易次数角度 => k = 0表示不允许交易，当然不可能持有股票 => NAN

dp[...][0][0] = 0;

dp[...][0][1] = NAN;

LeetCode实战

121. 买卖股票的最佳时机 - 力扣（LeetCode）

仅有一次买入机会

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2));
        dp[0][0] = 0, dp[0][1] = -prices[0];
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i]);
        }
        return dp[n-1][0];
    }
};

 马尔可夫链 => 空间压缩

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        int dp_0 = 0, dp_1 = -prices[0];
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            dp_0 = max(dp_0, dp_1 + prices[i]);
            dp_1 = max(dp_1, -prices[i]);
        }
        return dp_0;
    }
};

122. 买卖股票的最佳时机 II - 力扣（LeetCode）

无限次买入机会

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2));
        dp[0][0] = 0, dp[0][1] = -prices[0];
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
        }
        return dp[n-1][0];
    }
};

空间压缩

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        int dp_0 = 0, dp_1 = -prices[0];
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            int temp = dp_0;
            dp_0 = max(dp_0, dp_1 + prices[i]);
            dp_1 = max(dp_1, temp - prices[i]);
        }
        return dp_0;
    }
};

123. 买卖股票的最佳时机 III - 力扣（LeetCode）

k = 2;