其中， 为启发函数，表示蚂蚁从城市i转移到城市j的期望程度；allowk(k=1,2,…,m)为蚂蚁k待访问城市的集合，开始时，allowk中有(n-1)个元素，即包括除了蚂蚁k出发城市的其他所有城市，随着时间的推进，allow;中的元素不断减少，直至为空，即表示所有的城市均访问完毕；α为信息素重要程度因子，其值越大，表示信息素的浓度在转移中起的作用越大；β为启发函数重要程度因子，其值越大，表示启发函数在转移中的作用越大，即蚂蚁会以较大的概率转移到距离短的城市。

        上述3种模型中，ant cycle system模型利用蚂蚁经过路径的整体信息(经过路径的总长)计算释放的信息素浓度；ant quantity system模型则利用蚂蚁经过路径的局部信息(经过各个城市间的距离)计算释放的信息素浓度；而ant density system模型则更为简单地将信息素释放的浓度取为恒值，并没有考虑不同蚂蚁经过路径长短的影响。因此，一般选用ant cyclesystem模型计算释放的信息素浓度，即蚂蚁经过的路径越短，释放的信息素浓度越高。

1.3 蚁群算法解决TSP问题基本步骤

        基于上述原理，将蚁群算法应用于解决TSP问题一般需要以下几个步骤，如图1所示。

图1 蚁群算法解决TSP问题基本步骤

        1.初始化参数

        在计算之初，需要对相关的参数进行初始化，如蚁群规模(蚂蚁数量)m、信息素重要程度因子α、启发函数重要程度因子β、信息素挥发因子ρ、信息素释放总量Q、最大迭代次数iter_max、迭代次数初值iter=1。

        2.构建解空间

        将各个蚂蚁随机地置于不同出发点，对每个蚂蚁k(k=1,2,…,m),按照式(22-1)计算其下一个待访问的城市，直到所有蚂蚁访问完所有的城市。

        3.更新信息素

        计算各个蚂蚁经过的路径长度Lk(k=1,2,…,m)，记录当前迭代次数中的最优解(最短路径)。同时，根据式(22-2)和式(22-3)对各个城市连接路径上的信息素浓度进行更新。

        4.判断是否终止

        若iter<iter_max,则令iter=iter+1,清空蚂蚁经过路径的记录表，并返回步骤2;否则，终止计算，输出最优解。

1.4 蚁群算法的特点

        基于蚁群算法的基本思想及解决TSP问题的基本原理，不难发现，与其他优化算法相比，蚁群算法具有以下几个特点：

        (1)采用正反馈机制，使得搜索过程不断收敛，最终逼近最优解。

        (2)每个个体可以通过释放信息素来改变周围的环境，且每个个体能够感知周围环境的实时变化，个体间通过环境进行间接地通讯。

        (3)搜索过程采用分布式计算方式，多个个体同时进行并行计算，大大提高了算法的计算能力和运行效率。

        (4)启发式的概率搜索方式不容易陷入局部最优，易于寻找到全局最优解。

2 案例背景

2.1 问题描述

        按照枚举法，我国31个直辖市、省会和自治区首府的巡回路径应有约1.326×10^32种，其中一条路径如图2所示。试利用蚁群算法寻找到一条最佳或者较佳的路径。

图2我国31个直辖市、省会和自治区首府(未包括我国香港、澳门及台湾)巡回路径  

2.2 解题思路及步骤

        依据蚁群算法解决TSP问题的基本原理及步骤，实现中国TSP问题求解大体上可以分为以下几个步骤，如图3所示。

图3蚁群算法求解TSP问题一般步骤

        1.计算城市间相互距离

        根据城市的位置坐标，计算两两城市间的相互距离，从而得到对称的距离矩阵(维数为31的方阵)。需要说明的是，计算出的矩阵对角线上的元素为0,然而如前文所述，由于启发函数ηij(t)=1/dij,因此，为了保证分母不为零，将对角线上的元素修正为一个非常小的正数(如10^(-4)或10^(-5)等)。

        2.初始化参数

        如前文所述，在计算之前，需要对相关的参数进行初始化，此处不再赘述。

        3.迭代寻找最佳路径

        首先构建解空间，即各个蚂蚁根据转移概率公式(22-1)访问所有的城市。然后计算各个蚂蚁经过路径的长度，并在每次迭代后根据式(22-2)和式(22-3)实时更新各个城市连接路径上的信息素浓度。经过循环迭代，记录下最优的路径及其长度。

        4.结果分析

        找到最优路径后，可以将之与其他方法得出的结果进行比较，从而对蚁群算法的性能进行评价。同时，也可以探究不同取值的参数对优化结果的影响，从而找到一组最佳或者较佳的参数组合。

3MATLAB程序实现

        利用MATLAB中提供的函数，可以方便地在MATLAB环境下实现上述步骤。

%% 清空环境变量
clear all
clc

%% 导入数据
load citys_data.mat

%% 计算城市间相互距离
n = size(citys,1);
D = zeros(n,n);
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if i ~= j
            D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2));
        else
            D(i,j) = 1e-4;      
        end
    end    
end

%% 初始化参数
m = 50;                              % 蚂蚁数量
alpha = 1;                           % 信息素重要程度因子
beta = 5;                            % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1;                           % 信息素挥发因子
Q = 1;                               % 常系数
Eta = 1./D;                          % 启发函数
Tau = ones(n,n);                     % 信息素矩阵
Table = zeros(m,n);                  % 路径记录表
iter = 1;                            % 迭代次数初值
iter_max = 200;                      % 最大迭代次数 
Route_best = zeros(iter_max,n);      % 各代最佳路径       
Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最佳路径的长度  
Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代路径的平均长度  

%% 迭代寻找最佳路径
while iter <= iter_max
    % 随机产生各个蚂蚁的起点城市
      start = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          temp = randperm(n);
          start(i) = temp(1);
      end
      Table(:,1) = start; 
      % 构建解空间
      citys_index = 1:n;
      % 逐个蚂蚁路径选择
      for i = 1:m
          % 逐个城市路径选择
         for j = 2:n
             tabu = Table(i,1:(j - 1));           % 已访问的城市集合(禁忌表)
             allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);
             allow = citys_index(allow_index);  % 待访问的城市集合
             P = allow;
             % 计算城市间转移概率
             for k = 1:length(allow)
                 P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;
             end
             P = P/sum(P);
             % 轮盘赌法选择下一个访问城市
             Pc = cumsum(P);     
            target_index = find(Pc >= rand); 
            target = allow(target_index(1));
            Table(i,j) = target;
         end
      end
      % 计算各个蚂蚁的路径距离
      Length = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          Route = Table(i,:);
          for j = 1:(n - 1)
              Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));
          end
          Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));
      end
      % 计算最短路径距离及平均距离
      if iter == 1
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min_Length;  
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
      else
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          if Length_best(iter) == min_Length
              Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
          else
              Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);
          end
      end
      % 更新信息素
      Delta_Tau = zeros(n,n);
      % 逐个蚂蚁计算
      for i = 1:m
          % 逐个城市计算
          for j = 1:(n - 1)
              Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);
          end
          Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);
      end
      Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
    % 迭代次数加1，清空路径记录表
    iter = iter + 1;
    Table = zeros(m,n);
end

%% 结果显示
[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);

%% 绘图
figure(1)
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
     [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on
for i = 1:size(citys,1)
    text(citys(i,1),citys(i,2),['   ' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),'       起点');
text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),'       终点');
xlabel('城市位置横坐标')
ylabel('城市位置纵坐标')
title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距离','平均距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('各代最短距离与平均距离对比')

        说明：

        (1)变量tabu中存储的是已经访问过的城市编号集合，即所谓的“禁忌表”,刚开始时其只存储起始城市编号，随着时间的推进，其中的元素愈来愈多，直至访问到最后一个城市为止。

        (2)与变量tabu相反，变量allow中存储的是待访问的城市编号集合，刚开始时其存储了除起始城市编号外的所有城市编号，随着时间的推进，其中的元素愈来愈少，直至访问到最后一个城市为止.

        (3)函数ismember用于判断一个变量中的元素是否在另一个变量中出现，具体用法请参考帮助文档，此处不再赘述。

        (4)函数cumsum用于求变量中元素的累加和，具体用法请参考帮助文档，此处不再赘述。

        (5)计算完城市间的转移概率后，采用与遗传算法中一样的轮盘赌方法选择下一个待访问的城市。

        与运行结果对应的路径如图4所示。从图中可以清晰地看到，自起点出发，每个城市访问一次，遍历所有城市后，返回起点。寻找到的最短路径为15828.7082 km。各代的最短距离与平均距离如图5所示，从图中不难发现，随着迭代次数的增加，最短距离与平均距离均呈现不断下降的趋势。当迭代次数大于130时，最短距离已不再变化，表示已经寻找到最佳路径。最新研究成果表明，中国TSP问题的最优解为15377 km,因此，这里寻找到的最佳路径是局部最优解，而并非全局最优解。

4 延伸阅读

4.1 参数的影响及选择

        1.蚂蚊个数m对结果的影响

        为了探究蚂蚁个数m对最优路径的影响，对比10组不同蚂蚁个数对应的最优路径情况。每组运行20次，结果如表1所列。由表1可以看出，当蚂蚁个数为35时，平均最短路径最短为15613km,此时有最短路径的最小值15518 km。

        2.信息素重要程度因子α对结果的影响

        为了研究信息素重要程度因子α对最优路径的影响，对比10组不同α对应的寻找到的最优路径的情况，每组运行20次，结果见表2。可以看出，当α=6时，平均最短路径最小为16212 km。

        3.启发函数重要程度因子β对结果的影响

        为了研究启发函数重要程度因子β对最优路径的影响，对比10组不同β对应的寻找到的最优路径的情况，每组运行20次，结果如表3所列。由表22-3可以直观地看出，当β=7时，平均最短路径最小为15823km, 此时对应的最短路径为15602 km。

        4.信息素挥发因子p对结果的影响

        为了研究信息素挥发因子p对最优路径的影响，对比5组不同p对应的寻找到的最优路径的情况，每组运行20次，结果如表4所列。由表4可以直观地看出，当p=0.1时，平均最短路径最小为16005km,此时对应的最短路径为15602 km。

 

        5.信息素释放总量Q对结果的影响

        为了研究信息素释放总量Q对最优路径的影响，对比10组不同Q对应的寻找到的最优路径的情况，每组运行20次，结果如表5所列。由表5可以直观地看出，当Q=50时，平均最短路径最小为16046 km,此时对应的最短路径为15602 km。

4.2 总结

        蚁群算法以其分布并行式计算、启发式搜索方式等特点，在各个领域中取得了广泛的应用，解决了诸多组合优化方面的难题。针对其可能陷入局部最优的缺点，不少专家和学者提出了许多改进的方法，并将其他算法(如遗传算法、粒子群算法等)与蚁群算法相结合，对蚂蚁个数m、信息素重要程度因子a、启发函数重要程度因子β、信息素挥发因子p、信息素释放总量Q等参数进行优化选择，取得了不错的效果。

5 完整代码获取

完整代码可以从下面的链接中获取：

基于蚁群算法的旅行商问题(TSP)求解(matlab实现)