视频讲解：《算法不好玩》二分查找专题（已经录制的部分，能够帮助大家完全搞懂二分查找算法，非常适合初学的朋友们）。

2022 年 12 月 27 日补充：有时间的话请大家先看上面的视频，2 倍速看完就好，知道前因后果以后，再做题就更有方向了。文字题解的内容还是更偏向于做题，直接给出了最优解，没有一步一步探索的过程。这里帮大家归纳一下重点：有一些问题可以在循环之中找到答案，所以写法是 while(left <= right) ，循环体内是三个分支。更多的问题需要等到退出循环以后得到答案，所以写法是 while(left < right) ，循环体内是两个分支。

实际上「二分查找」没有多少东西，一点儿也不难，觉得「二分查找」难写对的朋友，请认认真真做几个「二分查找」的问题，弄清楚每一行代码的意思，遇到死循环的时候仔细调试，弄清楚逻辑关系，而不要套别人给你写好的模版。

有很多问题 mid 有可能是问题的答案，所以不能排除掉，所以你看到的代码是 left = mid 与 right = mid，不要有思维定式，代码一定要写成 left = mid + 1 或者 right = mid - 1，而应该看题目怎么说。看清问题比记忆模版重要得多，不同的问题答案不一样，如果题目的意思都没弄清楚，怎么解决问题。

如果你在学习二分查找的过程中有很多问题，你可以先记下来，不用急着与解决它们，等你做了足够多的问题，有了足够的思考以后，你的问题会慢慢得到解答，我的学习过程也是这样，这个过程是很充实的。

阅读提示：内容比较多，核心思想帮大家归纳一下。如果没有时间看，建议把后面的问题做一下。

题解核心内容：所有模板都一样，不可以套模板，而应该 仔细看题（解题的关键在认真读题），分析清楚题目要找的答案需要满足什么性质。采用两边夹的方式，每一轮把待搜索区间分成两个部分，排除掉一定不是答案的区间，最后左右指针重合的地方就是我们要找的元素。

重要的事情说三遍：

如果你看我写的「二分查找」题解，请忘记掉「左闭右开」这件事情，它会对你有所干扰；
如果你看我写的「二分查找」题解，请忘记掉「左闭右开」这件事情，它会对你有所干扰；
如果你看我写的「二分查找」题解，请忘记掉「左闭右开」这件事情，它会对你有所干扰。

说明：我所有的关于「二分查找」法的题解，都会明确地标注「下一轮搜索区间是什么」，进而设置左边界 left 和右边界 right。在我写的「二分查找」题解里，while(left < right) 不表示 循环不变量的区间定义是 [left..right)，也就是说，如果我分析出，下一轮搜索区间是 [mid..10]，我会设置 right = 10，而不会设置 right = 11。

while(left < right) 只表示它本来的意思：在 left < right 进入循环体。不要给它附加别的意思，这没有逻辑。

写在前面的话：

写对「二分查找」的重点，从来不在于「二分查找」我们用的是哪一个模板（所有的模板背后的逻辑都一样），更不在于我们设置的区间是「左闭右闭」还是「左开右闭」。而在于 认真看题、仔细分析题意，根据题目的条件和要求思考如何缩减区间，清楚地知道每一轮在什么样的情况下，搜索的范围是什么，进而设置左右边界。

我们需要分析清楚题目的意思，分析清楚要找的答案需要满足什么性质。应该清楚模板具体的用法，明白需要根据题意灵活处理、需要变通的地方，不可以认为每一行代码都是模板规定死的写法，不可以盲目套用、死记硬背。

二分查找只有一个思想，那就是：逐步缩小搜索区间。

本题解向大家介绍的，使用 left 和 right 向中间靠拢的方法，有一个非常强的语义，那就是：当 left 与 right 重合的时候，我们就找到了问题的答案，使用这种写法有一个巨大的好处，那就是返回值不需要考虑返回 left 还是 right，因为退出循环以后，它们是重合的。

重要的事情说三遍：

不是因为这种方法有用，而是因为很多问题就这么设计来着，一定要等到最后才能确定问题的解，在很多时候，不能在循环体中找到答案。
不是因为这种方法有用，而是因为很多问题就这么设计来着，一定要等到最后才能确定问题的解，在很多时候，不能在循环体中找到答案。
不是因为这种方法有用，而是因为很多问题就这么设计来着，一定要等到最后才能确定问题的解，在很多时候，不能在循环体中找到答案。

这一类问题解决的过程如下图所示：

在这里插入图片描述

在做题的过程中，会遇到两个难点：

取 mid 的时候，有些时候需要 +1，这是因为需要避免死循环；
只把区间分成两个部分，这是因为：只有这样，退出循环的时候才有 left 与 right 重合，我们才敢说，找到了问题的答案。

这两个难点，在练习的过程中，会逐渐清晰，不用着急一下子搞懂，事实上也不难理解。

本题解分为三个部分：

第一部分：本题题解。

如果只想看本题（「力扣」第 35 题）怎么解的，可以只看这里。

第二部分：二分查找常见问题回答。

重点概括了评论区常见的问题。

第三部分：二分查找题解列表（包含文字题解和视频题解）。

我花了很多时间做的教程，详细讲解了我是如何分析这些问题的，相信一定对你有帮助。

第一部分：本题题解

这一部分一定要分析清楚：

题目要找的元素是：第一个大于等于 target 的元素的下标；
数组的长度 len 也有可能是问题的答案，「参考代码 2」设置 right = len 不是因为设置区间是「左闭右开」，而是因为 len 本来就有可能是问题的答案。

上面 2 个小点，都需要仔细分析题意和几个示例得到，任何模板都不能回答这样的问题。

题意分析

根据示例，分析题目要我们返回的「插入元素的位置」是什么。

根据「示例 3」：

输入: [1, 3, 5, 6], 7
输出: 4

我们知道：如果目标元素 严格大于 输入数组中的最后一个元素，题目需要我们返回数组的最后一个元素的下标 +1（也就是数组的长度）。

又根据「示例 2」：

输入: [1, 3, 5, 6], 2
输出: 1

我们知道：题目要我们返回第 $1$ 个大于等于目标元素 2 的下标（分析出这一点非常重要），因此返回 1。等于的情况可以看「示例 1」。

思路分析

在有序数组中查找，可以使用「二分查找」。

根据「题意分析」中对示例的描述：

情况 1：如果当前 mid 看到的数值严格小于 target，那么 mid 以及 mid 左边的所有元素就一定不是「插入元素的位置」，因此下一轮搜索区间是 [mid + 1..right]，下一轮把 left 移动到 mid + 1 位置，因此设置 left = mid + 1；
情况 2：否则，如果 mid 看到的数值大于等于 target，那么 mid 可能是「插入元素的位置」，mid 的右边一定不存在「插入元素的位置」。如果 mid 的左边不存在「插入元素的位置」，我们才可以说 mid 是「插入元素的位置」。因此下一轮搜索区间是 [left..mid]，下一轮把 right 移动到 mid 位置，因此设置 right = mid。

说明：上面的两点中，「情况 2」其实不用分析得那么细致，因为只要「情况 1」的区间分析是正确的，「情况 2」一定是「情况 1」得到的区间的反面区间。

参考代码 1：

public class Solution {

    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int len = nums.length;
        // 特殊判断
        if (nums[len - 1] < target) {
            return len;
        }

        // 程序走到这里一定有 nums[len - 1] >= target，插入位置在区间 [0..len - 1]
        int left = 0;
        int right = len - 1;
        // 在区间 nums[left..right] 里查找第 1 个大于等于 target 的元素的下标
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] < target){
                // 下一轮搜索的区间是 [mid + 1..right]
                left = mid + 1;
            } else {
                // 下一轮搜索的区间是 [left..mid]
                right = mid;
            }
        }
        return left;
    }
}

说明：while (left < right) 表示当 left 与 right 重合的时候，搜索终止。根据题意和示例，区间 nums[left..right] 里一定存在「插入元素的位置」，且 while 循环里只把区间分成两个部分，退出循环的时候一定有 left == right 成立，因此返回 left 或者 right 都可以。

复杂度分析：

时间复杂度： $O(\log N)$ ，这里 $N$ 是输入数组的长度；
空间复杂度： $O (1)$ 。

既然 len 也有可能是答案，可以在初始化的时候，把 right 设置成 len，在一开始的时候就不需要特殊判断了。

参考代码 2：

public class Solution {

    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int len = nums.length;
        int left = 0;
        int right = len;
        // 在区间 nums[left..right] 里查找第 1 个大于等于 target 的元素的下标
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] < target){
                // 下一轮搜索的区间是 [mid + 1..right]
                left = mid + 1;
            } else {
                // 下一轮搜索的区间是 [left..mid]
                right = mid;
            }
        }
        return left;
    }
}

复杂度分析：（同参考代码 1）

第二部分：二分查找常见问题回答

温馨提示：

以下内容有点多，但是都是非常简单直观的内容。我整理了在我的题解下网友的诸多疑问，进行了总结，希望大家能认真看看；
真的踏踏实实做完一些二分查找的问题，已经有了足够的思考，就会觉得没有那么难。

问题 1：为什么在你的题解里 `while (left < right)` 表示「左闭右闭」区间

回答：while (left < right) 不表示搜索区间为「左闭右开」，也不表示搜索区间为「左闭右闭」， 它们没有因果关系，while (left < right) 只表示它本来的意思：循环可以继续的条件是 left < right 。边界如何设置，这一点完全是人为定义的。

表示一个区间，最直接的表示就是左闭右闭区间。例如：我们想表示搜索的范围是 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ，很自然地会表示成 [1..9] ，我们也会说这些数是 1 到 9 之间的数，包括 1 和 9。正常情况下，不会说：这些数在 1 到 10 之间，不包括 10；

只看到 while (left < right) 里的 < ，不能说明右边界不能取到。真正看区间表示应该看左右边界到底如何设置，如果我们分析出下一轮搜索的范围是 [left..mid] 而设置 right = mid + 1，才表示搜索区间为「左闭右开」区间。这是因为 [left..right) = [left..mid + 1) = [left..mid]。

可以看到，任何一个「左闭右开」区间都对应一个「左闭右闭」区间。我们已经可以确切地知道要搜索的数的右边界是什么，没有必要把右边界再 $+ 1$ 。

重点：真正写对「二分查找」，从来不在于我们把区间写成了「左闭右开」还是「左闭右闭」，而是 在于我们能够根据题意：得到某种单调性，和可以逐步缩小搜索规模的条件，进而准确地设计可以使得搜索区间缩小的条件。

问题 2：二分查找是不是要求数组一定是有序的？

回答：不一定。

「力扣」上有一些问题输入数组不是有序的，例如「旋转有序数组」「山脉数组」（题号在第三部分的习题列表里），这些问题题目给出的是「接近有序」的数组，依然可以使用「二分查找」，这是因为这些数组都有规律可循，可以根据看到的 num[mid] 的值，推测两侧元素的性质，进而 缩小搜索区间。

还有一类问题，例如「力扣」第 287 题，这一类题目不是在输入数组上做二分，而是在输入数组的最小值 min 和最大值 max 组成的连续整数数组上查找一个数，即搜索区间是 [min..max]，这个区间是单调的。

这一类问题的特点是：题目要我们找一个整数，这个整数的范围是确定的，可以使用「二分查找」，这样的问题叫「二分答案」。很多引入「二分查找」的例子，其实就是在做「二分答案」，《幸运 52》猜价格游戏，就是在用「二分查找」的思想猜到商品准确的价格。

问题 3：为什么有一些二分查找取 `mid` 的时候，括号里要加 1?

这是因为 int mid = (left + right) / 2 在区间里有偶数个元素的时候，mid 只能取到位于左边的中间数，要想取到位于右边的中间数，就需要在括号里加 1。

为什么要取右边中间数呢？这是因为在区间里 只有 $2$ 个元素的时候，把 [left..right] 划分成 [left..mid - 1] 和 [mid..right] 这两个区间，int mid = (left + right) / 2 这种取法不能把搜索区间缩小。

理解这件事情最典型的例子是「力扣」第 69 题，详细的分析和调试在这里。

总之就是为了：避免死循环。

问题 4：能不能解释一下其它「二分查找」的模板为什么是对的？

这个问题我已经回答在题目求助｜二分查找不同实现方法细节困惑。我再补充一下：不管是哪一种模板，都不会回答看到的 mid 的值以后如何设计条件，把区间进行正确的划分，以及：

在某种条件下，mid 的值是否可以取到；
下一轮搜索是在 mid 的左边还是右边继续查找。

「模板一」告诉你全部把 mid 排除掉，用 ans 做补救，保证不会错过答案，「模板三」告诉你全部把 mid 保留，退出循环以后 [left..right] 里剩下两个数，再单独判断一下。它们有「限制死的地方」，所以一定要再理解清楚题意的情况下，正确使用。这些模板没有好坏和优劣之分，它们背后解决问题的思想是一样的。

再次强调一下：我们学习算法不是背了一个模板然后往里面填空，而是我们真的清楚写的代码每一步在做什么，每一步搜索的范围是什么。更不是因为把区间表示成「左闭右开」而使得问题变得简单。

问题 5：什么时候 `right` 取 `len` ？什么时候 `right = len - 1`？

回答：这种问题就像你问我什么时候向左边找，什么时候向右边找，我的回答都是：看题目，每个问题的答案都未必一样。

先回答什么时候 right 取 len ？什么时候 right = len - 1？就像本题（「力扣」第 35 题），「示例 3」就告诉我们，len 是有可能成为答案的，所以设置 right = len，上面第一部分「参考代码 2」的写法，「参考代码 1」已经做了一次判断，在 len 不可能是答案的情况下，才设置 right = len - 1。这一点请不要扯上区间「左闭右开」和「左闭右闭」了，毫无关系。

「力扣」第 34 题，查找 target 在有序数组出现的第一次的位置和最后一次出现的位置，既然是数组里的位置，最小是 0，最大是 len - 1。

用这两个例子还是想说：到底设置的搜索区间是什么，看题目怎么说。

再回答什么时候向左边找，什么时候向右边找。回答还是 看题目：输入数组是升序还是降序，决定了向左边找还是向右边找。

总结：如果不能够正确理解题意，不去真正仔细的做练习、分析和总结，凭空想到底这些问题改怎么做，抱怨「二分查找」细节多、难是没有用的。其实根本没有想象中的难。用最直接、简单的想法看待「二分查找」就可以。

下面再为大家总结一下「二分查找」的重点。

二分查找重点概括

写成 while(left < right) ，退出循环的时候有 left == right 成立，好处是：不用判断应该返回 left 还是 right；
区间 [left..right] 划分只有以下两种情况：
- 分成 [left..mid] 和 [mid + 1..right]，分别对应 right = mid 和 left = mid + 1；
- 分成 [left..mid - 1] 和 [mid..right]，分别对应 right = mid - 1 和 left = mid，这种情况下。需要将 int mid = (left + right) / 2 改成 int mid = (left + right + 1) / 2，否则会出现死循环，这一点不用记，出现死循环的时候，把 left 和 right 的值打印出来看一下就很清楚了；
退出循环 left == right，如果可以确定区间 [left..right] 一定有解，直接返回 left 就可以，否则还需要对 left 这个位置单独做一次判断；
始终保持不变的是：在区间 [left..right] 里查找目标元素。

关于如何写对二分查找，二分查找的详细讲解，可以查看我编写的 LeetBook 的「二分查找」章节。

第三部分：二分查找题解列表（包含文字题解和视频题解）

以下是练习（我写过很多「二分查找习题列表」，我暂时先把它们汇总在这里）。

提示：这些问题都不应该套模板去做，而应该在真正弄清楚题意（明确地知道题目要我们找的元素的性质）以后，对看到的元素进行合理的分支判断，进而清楚搜索的范围。

二分查找的基本思想是「减而治之」，即逐渐缩小问题规模。以下的二分查找问题，我们都不应该背下来，而应该在练习的过程中逐渐掌握分析问题、解决问题的方法。

可以采用的循环不变量是：总是在区间 [left..right] 里查找目标元素。采用左闭右开区间只会增加麻烦。

遇到问题的时候，一定需要仔细调试，使用最最基本的打印输出语句，针对错误测试用例，发现出错的原因。

题型一：二分求下标（在数组中查找符合条件的元素的下标）

说明：

第 704 题：二分查找的最原始问题，使用两边夹的二分查找方法需要后处理（退出循环以后，还需要判断 left 或 right 位置的值是不是问题的答案）；
第 34 题、第 35 题：需要明白这一类问题的共同特点，请见这里；
第 300 题：特别经典的一道「动态规划」，二分查找的思路基于「动态规划」的状态定义得到，代码很像第 35 题；
第 658 题：这个问题二分的写法需要做复杂的分类讨论，可以放在以后做；
第 4 题：二分查找里最难的问题，重点在于理解：① 为什么是在短数组里找边界；② 深刻理解搜索边界的意义。

题号	链接	题解
704	二分查找（简单）
35	搜索插入位置（简单）	【视频讲解】、文字题解
300	最长上升子序列（中等）	文字题解
34	在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置（简单）	【视频讲解】、文字题解
611	有效三角形的个数	文字题解
658	找到 K 个最接近的元素（中等）	文字题解
436	寻找右区间（中等）	文字题解
1237	找出给定方程的正整数解（中等）
1300	转变数组后最接近目标值的数组和（中等）	文字题解
4	寻找两个有序数组的中位数（困难）	【视频讲解】、文字题解

使用二分查找的前提不一定非要是「有序数组」。旋转有序数组（下表前 4 题）、山脉数组（下表后 2 题）里的查找问题也可以使用「二分查找」。这些问题的解决思路是：利用 局部单调性，逐步缩小搜索区间。

题号	链接	题解
33	搜索旋转排序数组（中等）	文字题解
81	搜索旋转排序数组 II（中等）	文字题解
153	寻找旋转排序数组中的最小值（中等）	文字题解
154	寻找旋转排序数组中的最小值 II（困难）	文字题解
852	山脉数组的峰顶索引（简单）
1095	山脉数组中查找目标值（中等）	【视频讲解】、文字题解

题型二：二分答案（在一个有范围的区间里搜索一个整数）

如果题目要我们找一个整数，这个整数有确定的范围，可以通过二分查找逐渐缩小范围，最后逼近到一个数。

定位一个有范围的整数，这件事情也叫「二分答案」或者叫「二分结果」。如果题目要求的是一个整数，这个整数有明确的范围，可以考虑使用二分查找。

事实上，二分答案是我们最早接触的二分查找的场景。「幸运 52」里猜价格游戏，就是「二分查找」算法的典型应用：先随便猜一个数，如果猜中，游戏结束。如果猜大了，往小猜；如果猜小了，往大猜。

说明：

第 69 题：在一个整数范围里查找一个整数，也是二分查找法的应用场景；
第 275 题：这个问题题解题意得花很多时间，可以跳过不做；
第 278 题：在一个整数范围里查找一个整数，不是在输入数组里使用二分查找。这个问题二分查找的解法很反常规（不应该用时间换空间），知道即可。

题号	链接	题解
69	x 的平方根（简单）	文字题解
287	寻找重复数（中等）	文字题解
374	猜数字大小（简单）	文字题解
275	H指数 II（中等）	文字题解
1283	使结果不超过阈值的最小除数（中等）	文字题解
1292	元素和小于等于阈值的正方形的最大边长（中等）

题型三：二分答案的升级版（每一次缩小区间的时候都需要遍历数组）

说明：这一类问题本质上还是「题型二」（二分答案），但是初学的时候会觉得有一些绕。这一类问题的问法都差不多，关键字是「连续」、「正整数」，请大家注意捕捉题目中这样的关键信息。

这里给出的问题解法都一样，会一题等于会其它题。问题的场景会告诉我们：目标变量和另一个变量有相关关系（一般是线性关系），目标变量的性质不好推测，但是另一个变量的性质相对容易推测（满足某种意义上的单调性）。这样的问题的判别函数通常会写成一个函数的形式。

这一类问题可以统称为「 最大值极小化 」问题，最原始的问题场景是木棍切割问题，这道题的原始问题是「力扣」第 410 题（分割数组的最大值（困难））。

思路是这样的：

分析出题目要我们找一个整数，这个整数有范围，所以可以用二分查找；
分析出 单调性，一般来说是一个变量 a 的值大了，另一个变量 b 的值就变小，而「另一个变量的值」 b 有限制，因此可以通过调整 a 的值达到控制 b 的效果；
这一类问题的题目条件一定会给出连续、正整数 这样的关键字。如果没有，问题场景也一定蕴含了这两个关键信息。

参考资料：

二分查找之「最大值极小化」相关问题及解题步骤
二分查找之「最大值极小化」例题选讲

以下给出的问题无一例外。

题号	链接	题解
875	爱吃香蕉的珂珂（中等）	文字题解
410	分割数组的最大值（困难）	文字题解
LCP 12	小张刷题计划（中等）	题解在第 410 题题解里
1011	在 D 天内送达包裹的能力（中等）
1482	制作 m 束花所需的最少天数（中等）	题解在第 1300 题题解里
1552	两球之间的磁力（中等）