1.树的概念及结构

1.1树的概念

1.2.树的表示

1.2.1孩子兄弟表示法

2.2双亲表示法

1.3二叉树在实际中的应用

2.二叉树的概念及结构

2.1二叉树的概念

2.2特殊的二叉树

2.3二叉树的性质

2.4二叉树的实现及其的一些接口（链式）

2.4.1二叉树的实现：

2.4.2前、中、后序遍历

2.4.3求二叉树节点个数

2.4.4求叶子节点个数

2.4.5二叉树的层序遍历

3.哈夫曼树以及哈夫曼编码

1.树的概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它

叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点

除根节点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 …… 、 Tm ，其中每一个集

合 Ti(1<= i <= m) 又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以

有 0 个或多个后继

因此，树是递归定义的。

上图中非树的结构叫做图

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图： A 的为 6

叶节点或终端节点：度为 0 的节点称为叶节点；如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为 0 的节点；如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图： A 是 B

的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图： B 是 A 的孩子节

点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图： B 、 C 是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为 6

节点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为 4（也有认为从0开始的，但从0开始的话空树就只能用-1表示，所以我们推荐从1开始）

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图： A 是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是 A 的子孙

森林：由 m （ m>0 ）棵互不相交的多颗树的集合称为森林；（数据结构中的学习并查集本质就是

一个森林）

1.2.树的表示

1.2.1孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子结点
    struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点
    DataType _data;               // 结点中的数据域
};

这种方法非常巧妙，每个节点都只有一个孩子节点和一个兄弟节点，孩子只保存该节点左边的第一个孩子，剩下的孩子用第一个孩子的兄弟来依次连接，比如上边这棵树a的孩子我们只保存b，而c用b的兄弟去连接，b的孩子我们同样只保存第一个孩子d，剩下的e和f用兄弟节点去连接。

2.2双亲表示法

双亲表示法我们用数组来存储，我们存储的是双亲的下标，比如上边这棵树，我们先储存R，然后存储R的三个孩子A,B,C，我们发现，A,B,C内存储的值为R的下标0，同理，A的孩子D,E也是存储A的下标1，以此类推，我们之后学习的并查集就是使用的双亲表示法

1.3二叉树在实际中的应用

我们实际生活中的文件系统就是用树来表示的。

2.二叉树的概念及结构

2.1二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。

2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

我们可以看到，每个节点最多有两个字节点

任何一棵二叉树，都被分为三个部分

1.根节点

2.左子树

3.右子树

2.2特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉

树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K ，且结点总数是 (2^k) -1 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

总的来说，满二叉树就如上图所示，是除了最后一层外所有节点都有两个子节点，完全二叉树是在满二叉树的基础上多了一层，然后从左往右依次连接节点的，是连续的，不能断的

比如以下图片就不属于完全二叉树

要牢记，最后一层一定是从上一层第一个节点的左节点开始连续

2.3二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点 .

2. 若规定根节点的层数为 1 ，则 深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h- 1 .

3. 对任何一棵二叉树 , 如果度为 0 其叶结点个数为 n0, 度为 2 的分支结点个数为 n2, 则有 n0 ＝ n2 ＋ 1

4. 若规定根节点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度 ， h=LogN

知道了这些性质，我们来看一道选择题

在具有 2 n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n

B n + 1

C n - 1

D n / 2

我们知道，二叉树中有三种节点，度为0，度为1和度为2的节点，叶子节点的度为0，我们设度为0的节点有x0个，度为1的有x1，度为2的有x2，所以我们列出式子：x0+x1+x2=2n

又根据二叉树的性质知：x0=x2+1，所以上面的式子变为：2x0+x1-1=2n

我们又根据完全二叉树的定义知：在完全二叉树里，度为1的节点最多只有一个（最后一层只有一个节点），所以此时我们x1=1

式子变为：2x0+1-1=2n，整理得：x0=n，所以叶子节点有n个，这道题选A

2.4二叉树的实现及其的一些接口（链式）

二叉树可以用顺序存储和链式存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。所以这里我们不写顺序存储。

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链。

2.4.1二叉树的实现：

typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode {
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
	BTDataType data;
}BTNode;

有了二叉树的结构，我们先来实现二叉树的三种遍历

前序 / 中序 / 后序的递归结构遍历 ：是根据访问结点操作发生位置命名

1. NLR ：前序遍历 (Preorder Traversal 亦称先序遍历 )—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

2. LNR ：中序遍历 (Inorder Traversal)—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中

（间）。

3. LRN ：后序遍历 (Postorder Traversal)—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

我们选用递归来完成遍历，因为这样写会比较简单一点，但理解起来会难一点

2.4.2前、中、后序遍历

void PrevOrder(BTNode* root)//前序遍历
{
	if (root == NULL) {
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}

void InOrder(BTNode* root)//中序遍历
{
	if (root == NULL) {
		printf("NULL ");
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	InOrder(root->right);
}

void PostOrder(BTNode* root)//后序遍历
{
	if (root == NULL) {
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
}

我们用前序遍历,和下图的二叉树来进行举例说明

前序遍历的访问顺序为：根左子树右子树，在这棵二叉树里，我们的访问顺序为：A，A的左子树，A的右子树，要记住我们前面说的，任何一棵二叉树都会被分为这三部分，所以在前序遍历代码里，我们先打印当前节点数据，在用递归调用访问左子树，任何访问右子树，中途我们会访问到空，比如D，他的左子树和右子树都为空，我们也打印出来，这才是正常的遍历，要记住空也是属于二叉树的一部分，D也是有左右子树的

我们来推一下：首先会打印A，任何访问A的左子树，打印B，任何访问B的左子树，打印D，然后访问D的左右子树，为空，打印两个NULL，此时B的左子树访问完成，然后访问B的右子树，打印E，E的左右子树为空，打印两个NULL，此时B的右子树也访问完成，也就是B访问完成，即A的左子树访问完成，然后访问A的右子树，打印C，同理,C的左右子树为空，打印两个NULL，此时C访问完成，即A的右子树访问完成，遍历完毕，我们来看一下打印结果

和我们想的是一样的，知道了前序遍历，中序和后序也是相同的道理，非常简单

2.4.3求二叉树节点个数

int TreeSize(BTNode* root,int* psize)//求节点个数
{
	if(root == NULL){
		return 0;
	}
	else {
		++(*psize);
	}
	TreeSize(root->left, psize);
	TreeSize(root->right, psize);
}

我们在外部定义size来存储二叉树节点个数，初始为0，然后传size的地址进来即可

还有更简单的办法

int TreeSize(BTNode* root)//求节点个数
{
	return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

和遍历一样，采用分治的方法

2.4.4求叶子节点个数

int TreeLeafSize(BTNode* root)//求叶子节点个数
{
	if (root == NULL) {
		return 0;
	}
	if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
		return 1;
	}
	return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}

仍是采用分治的方法

2.4.5二叉树的层序遍历

层序遍历就是一层一层的遍历，比如我们现在的这棵二叉树遍历出来就是ABCDE。

前中后序遍历也叫深度优先遍历，层序遍历是广度优先遍历，层序遍历需要我们使用队列来完成，

这里我把我之前写的队列贴出来

栈和队列及其多种接口实现-c语言_KLZUQ的博客-CSDN博客

我们来这棵树来给大家举个例子，一会代码输出时仍用我们之前那棵树

层序遍历的思想是上层带下层，我们知道队列的特点是先进先出，我们先把A放入队列，然后A出队列，上层带下层，A出队列时，我们把A的左右子树入队列，即BC入队列，此时队列里的元素为BC，然后B出队列，把B的左右子树入队列，即DE入队列，此时队列里有：CDE，然后C出队列，同时FG入队列，此时队列元素为：DEFG，以此类推。

void Leve10rder(BTNode* root)//层序遍历
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root != NULL) {
		QueuePush(&q, root);
	}
	while (!QueueEmpty(&q)) {
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		printf("%c ", front->data);
		if (front->left != NULL) {
			QueuePush(&q, front->left);
		}
		if (front->right != NULL) {
			QueuePush(&q, front->right);
		}
	}
	printf("\n");
	QueueDestory(&q);
}

如果root不为空，入队列，进入循环，队列不为空，取队头元素，然后出队列，同时判断队头元素的左右子树是否为空，若不为空则入队列，最后再销毁队列

这里再补充几个知识，我们得到二叉树的前序和中序遍历结果，就可以还原出二叉树，同样的，得到中序和后续也可以还原出二叉树（要有中序）

我们来看一道选择题

设一课二叉树的中序遍历序列： badce ，后序遍历序列： bdeca ，则二叉树前序遍历序列为 ____ 。

A adbce

B decab

C debac

D abcde

我们知道后续遍历为左子树，右子树，根，所以后续遍历的最后一个输出即为二叉树的根节点，我们知道中序遍历为左子树，根，右子树，所以中序遍历里，以a为中心，左边即为左子树，右边为右子树，然后就剩cde了，我们在后续遍历里看到是dec，说明c是a的右子树的根节点，然后根据中序判断出d为左子树，e为右子树，画出树为