图的连通度
删去任意一条边后便不连通
删去任意一条边后仍连通，但删去点u后不连通。
G3和G4删去任意一条边或任意一个点后仍连通，但从直观上看，G4的连通程度比G3高。
割边
设e是图G的一条边，若ω(G-e)>ω(G)，则称e为G的割边。——若删去一条边，使图的分枝数变大，则称为割边。
若G连通，则割边是指删去后使G不连通的边，故非平凡树的每条边都是割边。
图中，边e1和e2为割边，而其余边均不为割边。
定理：e是图的割边当且仅当e不在G的任何圈中。
证明：因结论若在G的含e的连通分支中成立，则必在G中成立，所以我们不妨假定G连通。
必要性：设e=uv是图的割边，若e在圈C中，令P=C-e。
易知P是G-e中一条（u,v）路。
任取G-e中两个不同点x和y，因G连通，故G中存在(x,y)路Γ。
若Γ不含e，作为Γ是G-e中一条(x,y)路。
若Γ含e，用P替换e后也可以得到G-e中一条(x,y)路，以上表明G-e连通，这与e是割边矛盾，所以e不在G的任何圈中。
充分性：设e=uv，若e不是G的割边，则G-e仍连通，从而G-e中存在(u,v)路P，这样P+e便是G中含e的圈，这与假设“e不在G的任何圈中”矛盾。
圈中的边一定不是割边，所以删去圈中的边不会破坏图的连通性。
设e是连通图G的任意一条边，若e含在G的某圈中，则G-e仍连通。
若G的每个顶点的度数均为偶数，则G没有割边。
若不然，设e=uv为割边，则G-e的含有顶点u(或v)的那个分支中点u或v的度数必为奇数，而其余点的度数均为偶数，与度数为奇数的顶点的个数为偶数矛盾。
若G为k正则二部图，则G无割边。
若不然，设e=uv为G的割边。
假设G1为G-e的包含顶点u的连通分支，显然G1中除了点u的度数为k-1，其余点的度数均为k。
显然G1仍然为偶数，设其二部划分为S和T，且|S|=s，|T|=t。
不妨假设S包含顶点u，则ks-1=|E(G1)|=kt.
但是因为k≥2，所以等式不能成立，因此e一定不是割边。
割点及其性质
定义：图G=（V,E）的顶点v称为割点，如果E可划分为两个非空子集E1和E2，使得G[E1]和G[E2]恰有一个公共顶点v。
图中u1，u2，u3和u4是割点，其余点均不为割点。
- 若ω(G-v)>ω(G)，则v必为G的割点。
- 若G无环，则v是G的割点当且仅当ω(G-v)>ω(G)。
- 若无环图G连通，则割点是指删去该点使G不连通的点。
