0802数量积向量积混合积-向量代数与空间解析几何

news2025/1/11 13:02:40

文章目录

- 1 两向量的数量积
- - 1.1 引例
  - 1.2 定义
  - 1.3 推论
  - 1.4 运算规律
  - 1.4 数量积的坐标表示
- 2 两向量的向量积
- - 2.1 定义
  - 2.2 重要结论
  - 2.3 几何意义（向量积模）
  - 2.4 向量积的运算规律
  - 2.5 向量积的坐标表示
- 3 向量的混合积
- - 3.1 混合积的定义
  - 3.2 混合积的坐标表示
  - 3.3 混合积的几何意义
  - 3.4 运算规则
  - 3.5 三向量共面
- 结语

1 两向量的数量积

1.1 引例

在这里插入图片描述

引例如上图所示恒力F沿直线做功
$|\vec F||vec s|\cos \theta$

1.2 定义

设有两个向量 $\vec a,\vec b,两向量夹角为\theta$ ,称数

$|\vec a||\vec b|\cos \theta$

叫做向量 $\vec a,\vec b$ 的数量积，记作 $\vec a\cdot\vec b$ ,即

$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$

说明：

$\vec F沿直线位移\vec s$ 所做的功为： $\vec F\cdot\vec s$
$\vec a \cdot \vec0=0$
投影的数量积表示
$\vec a \cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\theta\\ =|\vec a|\cdot Pij_{\vec a}\vec b \\ \therefore Pij_{\vec a}\vec b = \frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|}=\vec e_{\vec a}\vec\cdot b$

1.3 推论

两个重要的推论：

$\vec a\cdot\vec a =|\vec a|^2$
两个非零向量$\vec a,\vec b| $,则 $\vec a\perp\vec b\Leftrightarrow \vec a\cdot\vec b=0$

1.4 运算规律

交换律： $\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot \vec a$
分配律： $(\vec a + \vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c$
结合律： $(\lambda\vec a)\cdot\vec b=\lambda(\vec a\cdot\vec b)$

注：

$(\vec a+\vec b)^2=\vec a^2+2\vec a\cdot\vec b+ \vec b^2$ ,即 $|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2|\vec a||\vec b|\cos\theta+|\vec b|^2$ 为余弦定理。

1.4 数量积的坐标表示

设 $\vec a=(x_1,y_1,z_1),\vec b=(x_2,y_2,z_2)$ ,则

$\vec a\cdot\vec b=(x_1x_2,y_1y_2,z_1z_2)$
$\cos\theta = \frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x1^2+y_1^2+z_1I^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^I2}}$

例1 已知三点 $M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2)，求\angle{AMB}$
$解：\vec{MA}=(1,1,0),\vec{MB}=(1,0,1)\\ \angle{AMB}=\frac{\vec{MA}\cdot\vec{MB}}{|\vec{MA}||\vec{MB}|}\\ =\frac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac{1}{2}\\ \therefore \angle{AMB}=\frac{\pi}{3}$

例2 已知 $\vec a=(2,2,1),\vec b=(3,4,-2)，求Pij_{\vec a}\vec b$
$解：|\vec a|=3,\vec e_{\vec a}=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})\\ \therefore Pij_{\vec a}\vec b=\vec e_{\vec a}\cdot \vec b=2+\frac{8}{3}-\frac{2}{3}=4$

2 两向量的向量积

2.1 定义

设向量 $\vec c$ 有两个向量 $\vec a,\vec b，夹角为\theta$ 按下列方式定出：

$|\vec c| = |\vec a||\vec b|\sin\theta$ ； $\vec c$ 的方向垂直于 $\vec a于\vec b$ 所决定的平面，方向按右手规则从 $\vec a$ 转向 $\vec b$ 确定。向量 $\vec c$ 叫做向量 $\vec a与\vec b$ 的向量积，记作 $\vec a\times \vec b$ .

注：右手规则，如下图2.1-1所示：

在这里插入图片描述

四指握的方向为 $\vec a到\vec b$ 的转向，大拇指指的方向即为向量积的方向。

注：

$\vec c \perp \vec a,\vec c\perp \vec b$

2.2 重要结论

$\vec a\times \vec a=\vec0$
两非零向量 $\vec a,\vec b$ ,则 $\vec a\parallel \vec b\Leftrightarrow \vec a\times\vec b=\vec0$

2.3 几何意义（向量积模）

如下图2.3-1所示：

在这里插入图片描述

以 $\vec a,\vec b$ 为邻边做平行四边形，则 $|\vec a\times\vec b|=|\vec a|\cdot|\vec b|\sin\theta=S_{平行四边形}$ ，即 $|\vec a\times\vec b|$ 表示以 $\vec a,\vec b$ 为邻边的平行四边形的面积。

2.4 向量积的运算规律

$\vec a\times\vec b=-\vec b\times\vec a$
分配律： $(\vec a+\vec b)\times\vec c=\vec a\times \vec c+\vec b\times\vec c$
结合律： $(\lambda\vec a)\times\vec b=\lambda(\vec a\times\vec b)$

2.5 向量积的坐标表示

设 $\vec a=(x_1,y_1,z_1),\vec b=(x_2,y_2,z_2)$ ,则
$\vec a\times\vec b=(x_1\vec i+y_1\vec j+z_1\vec k)\times(x_2\vec i+y_2\vec j+z_2\vec k)\\ =(y_1z_2-z_1y_2)\vec i+(x_1z_2-z_1x_2)\vec j+(x_1y_2-y_1x_2)\vec k$
用三阶行列式表示为：

$\vec a\times\vec b= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2 \end{vmatrix}\\ =\vec i\cdot \begin{vmatrix} y_1&z_1\\ y_2&z_2\\ \end{vmatrix} - \vec j \begin{vmatrix} x_1&z_1\\ x_2&z_2 \end{vmatrix}+\vec k\cdot \begin{vmatrix} x_1&y_1\\ x_2&y_2 \end{vmatrix}\\ =(y_1z_2-z_1y_2)\cdot\vec i-(x_1z_2-z_1x_2)\cdot\vec j+(x_1y_2-y_1x_2)\cdot k$

例4 已知 $\vec c \perp \vec a,且\vec c \perp \vec b. |\vec c|=3，求\vec c$ .其中， $\vec a=(2,1,-1),\vec b=(1,-1,2)$
$解：\vec a\times\vec b= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ 2&1&-1\\ 1&-1&2\\ \end{vmatrix}\\ =\vec i-5\vec j+(-3)\vec k\\ e_{\vec a\times\vec b}=(\frac{1}{\sqrt{35}},\frac{-5}{\sqrt{35}},\frac{-3}{\sqrt{35}})\\ \therefore \vec c=\pm3e_{\vec a\times \vec b}=(\pm\frac{3}{\sqrt{35}},\pm\frac{15}{\sqrt{35}},\pm\frac{9}{\sqrt{35}})$
例5 已知 $A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求S_{\triangle{ABC}}$
$S_{\triangle{ABC}}=\frac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|\\ =\frac{1}{2} \begin{Vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ 2&2&2\\ 1&2&4\\ \end{Vmatrix}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{4^2+(-6)^2+2^2}=\sqrt{14}$

3 向量的混合积

3.1 混合积的定义

设已知三个向量 $\vec a,\vec b,\vec c$ ,先做向量 $\vec a和\vec b的向量积\vec a\times\vec b$ ,把得到的向量与 $\vec c做数量积(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$ ,这样得到的数量叫做三向量的混合积，记作 $[\vec a\vec b\vec c]$

3.2 混合积的坐标表示

设 $\vec a=(x_1,y_1,z_1),\vec b=(x_2,y_2,z_2),\vec c=(x_3,y_3,z_3)$ ，则

$[\vec a\vec b\vec c]=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=\\ \begin{vmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\\ \end{vmatrix}$

3.3 混合积的几何意义

在这里插入图片描述

如上图所示向量积的混合积绝对值表示以 $\vec a,\vec b,\vec c$ 为棱的平行六面体的体积。

3.4 运算规则

$[\vec a\vec b\vec c]=[\vec b\vec c\vec a]=[\vec c\vec a\vec b]=-[\vec a\vec c\vec b]=-[\vec c\vec b\vec a]=-[\vec b\vec a\vec c]$

3.5 三向量共面

$\vec a,\vec b，\vec c共面\Leftrightarrow [\vec a\vec b\vec c]=0$

例i6 已知 $(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=2,则[(\vec a+\vec b)\times(\vec b+\vec c)]\cdot(\vec c+\vec a)=?$
$解：\\ [(\vec a+\vec b)\times(\vec b+\vec c)]\cdot(\vec c+\vec a)=\\ (\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c+\vec b\times\vec b+\vec b\times\vec c)\cdot(\vec c+\vec a)\\ =[\vec a\vec b\vec c]+[\vec a\vec b\vec a]+[\vec a\vec c\vec c]+[\vec a\vec c\vec a]+[\vec b\vec c\vec c]+[\vec b\vec c\vec a]=2[\vec a\vec b\vec c]=4$