1. 传统DH参数方法

1.1 确定坐标系的方法

定义：杆$i$的近端是关节$i$，远端是关节$i+1$.

【下面的规则参考上面的图看得更清楚】

对于$n$自由度机器人，可用以下步骤建立与各杆件$i(i=0,1,\dots ,n)$固连的坐标系$O_i{X}_i{Y}_i{Z}_i$,并简称其为系$i$(注意：其中每一步都从$i=0$到$i=n$进行完后再执行下一步骤）。

• 第1步：确定各坐标系的$Z$轴。基本原则是：选取$Z_i$轴沿关节$i+1$的轴向(指向可任选，但通常都将各平行的$Z$轴均取为相同的指向)。这里需要说明的是：

1. 当关节$i+1$是移动关节(即${\sigma }_{i+1}=1$)时，其轴线指向已知但位置不确定，这时选取$Z_i$轴与$Z_{i+1}$轴相交（若还有${\sigma }_{i+2}=1$，则取$Z_i$轴和$Z_{i+1}$轴都与$Z_{i+2}$轴相交)

2. 机器人杆$n$的远端没有关节$n+1$,这时可选取$Z_n$轴与$Z_{n-1}$轴重合

• 第2步：确定各坐标系的原点$O$。基本原则是：选取原点$O_i$在过$Z_{i-1}$轴和$Z_i$轴的公法线上(即$O_i$为此公法线与$Z_i$轴的交点)。这里要说明的是：

1. 当$Z_{i-1}$轴与$Z_i$轴平行时，经过两轴的公法线不唯一，确定$O_i$的方法是：若$Z_{i-1}$轴与$Z_i$轴重合，取$O_i=O_{i-1}$·若$Z_{i-1}$轴与$Z_i$轴平行且不重合，过$O_{i-1}$点作$Z_{i-1}$轴和$Z_i$轴的公法线，取此公法线与$Z_i$轴的交点为$O_i$.

2. 由于没有$Z_{-1}$轴，故无法按上述基本原则选取$O_0$。这时确定$O_0$的方法是：若$Z_0$与$Z_1$相交时，取$O_0=O_1$;若$Z_0$与$Z_1$不相交时，取$O_0$在$Z_0$与$Z_1$的公法线上。

• 第3步：确定各坐标系的$X$轴。基本原则是：选取$X_i$轴沿过$Z_{i-1}$轴和$Z_i$轴的公法线，方向从$Z_{i-1}$指向$Z_i$.这里要说明的是：

1. 当$Z_{i-1}$轴与$Z_i$轴重合时(这时$O_i$=$O_{i-1}$)，选取$X_i$轴满足在初始位置时$X_i$轴与$X_{i-1}$轴重合

2. 当$Z_{i-1}$轴与$Z_i$轴相交且不重合时，选择$X_i=\pm (Z_{i-1}\times Z_i)$,通常使所有平行的$X$轴均有相同的指向。

3. 当$i=0$时，由上所述知，这时$O_0=O_1$,或$O_0$在$Z_0$轴和$Z_1$轴的公法线上，选取在初始位置时$X_0$轴与$X_1$轴重合。

• 第4步：确定各坐标系的$Y$轴。基本原则是使$Y_i=Z_i\times X_i$,即构成右手坐标系。

1.2 DH参数的定义

当用 DH 方法建立起各杆件坐标系后, 系 $i-1$ 和系 $i$ 间的相对位置和指向可用以下4 个参数表示:

(1)杆件长度$a_i$ , 定义为从 $Z_{i-1}$ 轴到 $Z_i$ 轴的距离, 沿 $X_i$轴的指向为正.

(2)杆件扭角${\alpha }_i$, 定义为从$Z_{i-1}$轴到$Z_i$轴的转角, 绕$X_i$轴正向转动为正, 且规定${\alpha }_i\in (-\pi ,\pi ]$ .

(3)关节距离 $d_i$ , 定义为从 $X_{i-1}$ 轴到 $X_i$ 轴的距离, 沿 $Z_{i-1}$ 轴的指向为正。

(4)关节转角${\theta }_i$，定义为从$X_{i-1}$ 轴到 $X_i$ 轴的转角, 沿 $Z_{i-1}$ 轴的指向为正，且规定 ${\theta }_i\in (-\pi ,\pi ]$ .

1. $a_i$和${\alpha }_i$由杆$i$的结构确定，是常数；而$d_i$和${\theta }_i$与关节$i$的类型有关，其中一个是常数，另一个是变量.当关节$i$是转动关节（即${\sigma }_i=0$）时，$d_i$是常数，${\theta }_i$是变量；当关节$i$是移动关节（即${\sigma }_i=1$）时，$d_i$是变量，${\theta }_i$是常数.通常称$q_i=(1-{\sigma }_i){\theta }_i+{\sigma }_i{d}_i$为关节变量，$q_i$刻画了系$i$相对系$i-1$的运动

2. 利用D-H参数的概念可看出，在用D-H方法建立杆坐标系时，如果某一步不能按基本原则唯一确定时，总是在设置时力图使更多的D-H参数为零（在后面的章节中可看出，这样做可以极大地简化机器人运动学与动力学模型及计算的复杂性).可不失一般性地认为一些D-H参数为零。可不失一般性地认为修改的D-H参数满足

$$\begin{gathered} a_1={\sigma }_1{\theta }_1十(1-{\sigma }_1)d_1=0 \\ {a}_n={\alpha }_n={\sigma }_n{\theta }_n十(1-{\sigma }_n)d_n=0 \end{gathered}$$

3. 有时为应用方便，也可不像前面所述那样设置系，而是将系$n$设置在机器人末端夹持器的端点，或在其所夹持工具的端点

1.3 DH参数齐次变换矩阵

最终效果：

• 第1步：沿$Z_{i-1}$轴移动$d_i$

• 第2步：绕$Z_{i-1}$轴转动${\theta }_i$

• 第3步：沿$X_i$轴移动$a_i$

• 第4步：绕$X_i$轴转动${\alpha }_i$

列写DH参数表时描述其连接的$i-1$坐标系和$i$坐标系之间的关系。（i从1开始）

$$\begin{array}{rl}{}^{i-1}{A}_i& ={\mathrm{Trans}}_z\left(d_i\right){\mathrm{Rot}}_z\left({\theta }_i\right){\mathrm{Trans}}_x\left(a_i\right){\mathrm{Rot}}_x\left({\alpha }_i\right)\\ & =\left[\begin{array}{ccccc}\cos ({\theta }_i)& -\sin ({\theta }_i)\cos ({\alpha }_i)& \sin ({\theta }_i)\sin ({\alpha }_i)& a_i\cos ({\theta }_i)& \\ \sin ({\theta }_i)& \cos ({\theta }_i)\cos ({\alpha }_i)& -\cos ({\theta }_i)\sin ({\alpha }_i)& a_i\sin ({\theta }_i)& \\ 0& \sin ({\alpha }_i)& \cos ({\alpha }_i)& d_i& \\ 0& 0& 0& 1& \end{array}\right]\end{array}$$
用Maple简单计算了一下：

1.4 检验

可以试着做一下这个题目，加深一下理解：

$i$	$a_i$	${\alpha }_i$	$d_i$	${\theta }_i$
1	0	$-\pi /2$	$d_1$	${\theta }_1$(变量)
2	0	$\pi /2$	$d_2$	${\theta }_2$(变量)
3	0	0	$d_3$(变量)	0
4	0	$-\pi /2$	0	${\theta }_4$(变量)
5	0	$\pi /2$	0	${\theta }_5$(变量)
6	0	0	$d_6$	${\theta }_6$(变量)

2. 改进DH参数方法

杆$i$的近端是关节$i$,远端是关节$i+1$.驱动杆$i$的力（或力矩）是经由关节$i$的轴线施加到杆$i$上的，故关节$i$的轴称为杆$i$的驱动轴(Driving Axis).对杆$i$来说，关节$i+1$的作用是将杆i的运动和力传到杆$i+1$上，故关节$i+1$的轴称为杆$i$的传动轴(Transmitting Axis),在用D-H方法建立杆坐标系时，和杆$i$固连的坐标系$i$的$Z$轴沿杆$i$的传动轴轴向，

于是很自然想到传统建立DH参数坐标系方法的一个明显缺点是：对于树形结构或含闭链的机器人，有的杆上会存在多于一个传动轴，这时用D一H方法建立杆坐标系时会产生歧义。

2.1 确定坐标系的方法

• 第1步：确定$Z_i$轴。基本原则是：$Z_i$轴沿关节$i$的轴向

• 第2步：确定原点$O_i$.基本原则是：$O_i$在过$Z_i$和$Z_{i+1}$轴的公法线上。

• 第3步：确定$X_i$轴。基本原则是：$X$轴沿过$Z_i$和$Z_{i+1}$轴的公法线方向，从$Z_i$指向$Z_{i+1}$·

• 第4步：确定$Y_i$轴。基本原则是：$Y_i=Z_i\times X_i$,使坐标系为右手坐标系

2.2 DH参数的定义

①杆件长度$a_i$,定义为从$Z_{i-1}$到$Z_i$的距离，沿$X_{i-1}$轴指向为正。

②杆件扭角${\alpha }_i$,定义为从$Z_{i-1}$到$Z_i$的转角。绕$X_{i-1}$轴正向转动为正。

③关节距离$d_i$,定义为从$X_{i-1}$到$X_i$的距离，沿$Z_i$轴指向为正。

④关节转角${\theta }_i$定义为从$X_{i-1}$到$X_i$的转角，绕$Z_i$轴正向转动为正。

关于①和②也有《现代机器人学》的书这样描述（可能是现在主流的方法）*
①杆件长度$a_i$,定义为从$Z_i$到$Z_{i+1}$的距离，沿$X_i$轴指向为正。
②杆件扭角${\alpha }_i$,定义为从$Z_i$到$Z_{i+1}$的转角。绕$X_i$轴正向转动为正。

需要注意的有以下几点：

①在建立驱动轴坐标系遇到不可应用基本原则的特殊情况时，也总是要使修改的D-H参数尽可能为零.特别是，当$i=1$和$i=n$时，可不失一般性地认为修改的D-H参数满足

$$a_1={\alpha }_1={\sigma }_1{\theta }_1十(1-{\sigma }_1)d_1={\sigma }_n{\theta }_n十(1-{\sigma }_n)d_n=0$$

2.3 改进DH参数齐次变换矩阵

最终效果：

列写DH参数表时描述其连接的$i-1$坐标系和$i$坐标系之间的关系。(i从1开始)

$$\begin{array}{rl}{}^{i-1}{A}_i& ={\mathrm{Trans}}_x\left(a_i\right){\mathrm{Rot}}_x\left({\alpha }_i\right){\mathrm{Trans}}_z\left(d_i\right){\mathrm{Rot}}_z\left({\theta }_i\right)\\ & =\left[\begin{array}{cccc}\cos ({\theta }_i)& -\sin ({\theta }_i)& 0& a_i\\ \sin ({\theta }_i)\cos ({\alpha }_i)& \cos ({\theta }_i)\cos ({\alpha }_i)& -\sin ({\alpha }_i)& -d_i\sin ({\alpha }_i)\\ \sin ({\theta }_i)\sin ({\alpha }_i)& \cos ({\theta }_i)\sin ({\alpha }_i)& \cos ({\alpha }_i)& d_i\cos ({\alpha }_i)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

如果按照《现代机器人学》的书对于$\alpha$和$a$的描述，齐次变换矩阵公式写作：
$$\begin{array}{rl}{}^{i-1}{A}_i& ={\mathrm{Trans}}_x\left(a_{i-1}\right){\mathrm{Rot}}_x\left({\alpha }_{i-1}\right){\mathrm{Trans}}_z\left(d_i\right){\mathrm{Rot}}_z\left({\theta }_i\right)\\ & =\left[\begin{array}{cccc}\cos ({\theta }_i)& -\sin ({\theta }_i)& 0& a_{i-1}\\ \sin ({\theta }_i)\cos ({\alpha }_{i-1})& \cos ({\theta }_i)\cos ({\alpha }_{i-1})& -\sin ({\alpha }_{i-1})& -d_i\sin ({\alpha }_{i-1})\\ \sin ({\theta }_i)\sin ({\alpha }_{i-1})& \cos ({\theta }_i)\sin ({\alpha }_{i-1})& \cos ({\alpha }_{i-1})& d_i\cos ({\alpha }_{i-1})\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

2.4 检验

可以试着做一下传统DH方法那个题目，加深一下理解，自己重新建一下坐标系，写一下改进的DH参数

$i$	$a_i$	${\alpha }_i$	$d_i$	${\theta }_i$
1	0	0	0	${\theta }_1$(变量)
2	0	$-\pi /2$	$d_2$	${\theta }_2$(变量)
3	0	$-\pi /2$	$d_3$(变量)	$\pi$
4	0	0	0	${\theta }_4$(变量)
5	0	$-\pi /2$	0	${\theta }_5$(变量)
6	0	$\pi /2$	0	${\theta }_6$(变量)
7	0	0	$d_6$	0

另外关于改进的DH方法可以看我的这篇博客

机器人学DH参数及利用matlab符号运算推导

写点自己的理解，如果有错误请大家指出，参考的是《机器人动力学与控制》这本书。