Python解题 - 括号上色（递归）

题目

小艺酱又得到了一堆括号。括号是严格匹配的。现在给括号进行上色。上色有三个要求：

1、只有三种上色方案，不上色，上红色，上蓝色。

2、每对括号只有一个上色。

3、相邻的两个括号不能上相同的颜色，但是可以都不上色。

问括号上色有多少种方案？答案对1000000007取模。

输入描述：

输入括号序列s。(2<=|s|<=700)

输出描述：

输出方案数。

示例

输入 (())

输出 12

分析

CSDN每日一练里的题目，也曾出现在周赛的第十期。原题在这里（或者洛谷）。问哥之前没有做过此题，所以在周赛的时候也没能在规定时间解出来。问哥一开始的思路是想找到数学公式，但后来发现还是要考虑内外相邻括号的上色限制，依次向内计算，怎么都感觉是递归，但是又没有想好递归的条件，于是只能作罢。赛后也没有再去细想，直到今天在每日一练里又遇到此题，才重新琢磨起来。

此题的题解不少，但问哥认为都没说到点子上，也许有一部分人只是为了写题解，而把题解抄来抄去，没有认真去理解。比如很多题解上来就要开四维数组， $N*N*3*3$ 的空间大小，在C里也许没问题，但是Python因为开数组的话一定要初始化，四维数组的空间实在是太浪费了（问哥没有尝试开四维数组的做法，直觉上认为内存可能会占用太多）。而实际上，完全没有必要开四维数组，甚至连数组都不需要。但是开数组的这个思想代表了动态规划，也是此题解法的突破口，如果能读懂四维数组的解法，那用Python解出此题自然不难，如果不懂，且听我细细道来。

此题难度中等偏上，但是相对又给了一些“友好的”暗示。比如：

1）括号是严格匹配的。也就是说左括号和右括号的排列一定是在数学上是合法的。比如 $(())$ 或 $()()$ ，都是严格匹配的括号。而像 $))(($ 或 $)()($ 乃至左右括号数量不一致是绝对不会出现的。而且也可以得出字符串的第一个字符一定是“(”，最后一个字符一定是“)”。

2）上色方案只有三种：不上色、上红色、上蓝色。

由第一条暗示我们可以猜测出字符串一定是以下三种形式之一：

$((()))$ 括号嵌套
$()()()$ 括号并排
以上两种混合

听起来像废话，但这却是递归的基础：要计算 (........) 括号的上色方案数，向内递归查询（或者如别的解法中说的“状态转移”），就一定能够转化成上面两种形式，而最后，也一定会递归到只有一对括号的情况——这便是递归的出口。

而由第二条暗示，如果不加题目的其他条件的话，我们可以得出一对括号的配色方案最多只有 $3*3=9$ 种。也就是：

左括号	不上色	不上色	不上色	红色	红色	红色	蓝色	蓝色	蓝色
右括号	不上色	红色	蓝色	不上色	红色	蓝色	不上色	红色	蓝色

但是由于题目中的限制：每对括号只有、且必须有一个上色。（“且必须有”这几个字题目没有，但确实存在这个限制，问哥认为这是CSDN抄题及其不严谨，也因此让我浪费不少时间），所以实际上一对成对的括号的上色方案只有四种：

左括号	不上色	不上色	红色	蓝色
右括号	红色	蓝色	不上色	不上色

这里就要考虑代码设计的数据结构问题了，用什么样的数据结构来表示不同的上色方案呢？基本上所有题解给出的都是3x3的二维数组，这也是合理、而且直观的，我们先来看下：

右括号 -> 左括号	0 - 不上色	1 - 红色	2 - 蓝色
0 - 不上色	(0, 0)	(0, 1)	(0, 2)
1 - 红色	(1, 0)	(1, 1)	(1, 2)
2 - 蓝色	(2, 0)	(2, 1)	(2, 2)

其中绿色标出的就是单独成对的括号的合法上色方案。（其实明白了解法，不用数组，用Python的字典也可以完成，问哥下面给出的代码就是使用的字典）

但是为什么要研究一对括号的配色方案呢？因为如刚才提到的，所有可能的符号组合，都是由一对对成对的括号组合在一起的，这些最基本的配色方案，决定（限制）了和它们相邻或包含它们的括号的配色方案。而当只有这一对括号时，总的配色方案个数就是这几个位置的方案数加在一起（4种）。举个例子，当对应坐标(0,1)的时候，就相当于这对括号“左括号不上色，右括号上红色”的方案有多少，因为只有一对括号，括号内再无其他配色可能，自然就只有一种方案，而四种合法的方案加在一起，就是4。所以，对于只有一对括号的基本情况，我们对这四个位置赋值为1，而其余不合法的五个位置，赋值为0。

由此扩展开来，我们要找形如“(...)”的括号组合的配色方案，就是要找这九种可能的方案各是多少，然后加在一起，便是总数。

基本思路有了，那我们来分析一下形如“(...)”的字符串可能出现的情况：

1）只有左右括号“()”。基础情况，上面已经讨论过，四个位置的方案数各为一，总数为4.

2）中间包含其它括号，但左右最外边的括号是一对。既然是一对，就符合上述的限制，所以最外面括号合法的配色方案只有4种，但是如果考虑到里面的括号，就需要进行递归累加了。但是，也只需要累加这四个位置的方案数。比如最简单的“(())”，就只需要计算当外面的括号分别取这四种配色方案时，里面的括号各有多少种配色方案即可。而在累加的过程中，就需要遵循“相邻的括号取色不能相同”，通过判断跳过一些方案。

看出来没，最外面一层的（总）配色方案数取决于向内一层的括号的配色方案数。那我们就不断进行递归就好了，递归到最后，一定能得到只有一对括号的情况。。。除了括号的并列。

3）左右两边的括号不是一对。这种就是括号并列的情况，比如“()()”。如果你的直觉是用乘法（怎样乘先不管），那我要恭喜你，的确是用乘法。但是怎样乘呢？我们已知一对括号的最多方案数是4，那难道是4x4=16？肯定不是，别忘了，相邻的括号“)(”配色不能相同，除非不上色。所以还要减去这两个括号都上红色，和都上蓝色的方案，所以只有14种。但是有没有公式呢？很遗憾，因为左右的括号对里还可能包含更多的括号，情况可能更加复杂，所有问哥并没有找到通用的数学公式（没有找到，也许并不代表没有，假如有的话，问哥直觉上应该和2的幂有关）。

我们假设字符串的形式为“(...)(...)”，而且我们已经知道了左右两边“(...)”的各自方案总数，那么根据我们上边介绍的九种上色方案（注意，这里不能只看四种，因为“(...)”不一定完全配对），假设左边的“(...)”选择了“左括号不上色，右括号上红色”，而这种方案数为 $x$ 种，那么右边的“(...)”因为要考虑到相邻的“)(”不能上色相同，只能查看其它八种上色方案各自的个数，每种方案个数都要与 $x$ 相乘，然后再加在一起，然后左边的“(...)”再选择其它上色方案，再继续检查右边。。。这不就是嵌套循环？

这三种情况就代表了所有可能的括号组合，所以，现在再来理一理思路：

我们要得出“(......)”的上色方案总数，等于计算左右括号共九种上色方案数的总和。我们可以用列表或字典来表示这九种方案。而这九种方案各自的个数，又分为于两种情况，1）这两个括号配对成功，则取决于内层括号的方案数，也就是把外面这两个括号“剥去”，再重复这个计算。2）这两个括号不是一对，则要找到左边括号的配对右括号（之所以找配对的右括号，是为了保证这个右括号相邻的右边第一个字符一定是“(”，想一想为什么？），然后再以这个右括号为界，转化成左右两个“(...)”的形式递归计算各自的方案数，然后再合并在一起通过嵌套循环相乘相加。

综上所述，我们最终得到的答案，应该是一个有9个元素的（3x3二维列表或字典）容器，包含了九种上色方案各自的个数，然后把它们加在一起，就是答案。

说了这么多，还有两个最基本的事情要完成：

1）如何表示左右括号代入计算？很显然，用左右括号在字符串中下标位置来表示是最好不过的了。0代表最左边的左括号， $n-1$ 代表最右边（字符串长度为 $n$ ）的右括号。用left表示左括号的坐标，right表示右括号的坐标，由此可见，如果只有一对括号，right-left=1。

2）要完成括号的配对。简单说，就是要找出每个左括号所对应的右括号的位置，用来判断left和right是不是能够配对，从而决定不同的递归计算方法。

完成括号的配对是比较简单的栈操作了，注意的是我们这里要记录的是左右配对括号在字符串中的下标位置，而且在后面要通过左括号的位置查找配对的右括号的位置，所以使用字典来保存较为方便：左括号的位置作为键，右括号的位置作为值。具体实现方法可以参考下面的代码的后半部分。

参考代码

def dp(left, right):
    color = {(i,j):0 for i in range(3) for j in range(3)} # 用字典代替二维列表表示九种方案，初始值均为0
    if right-left == 1: # 只有一对括号的情况
        for x in [(0,1), (0,2), (1,0), (2,0)]: # 一对配对的括号只有这四种合法的上色方案，下同
            color[x] = 1 # 合法方案为1
    elif bracket[left] == right: # 左右括号配对成功
        inner = dp(left+1,right-1) # 递归计算内部“(...)”的方案
        for x,y in [(0,1), (0,2), (1,0), (2,0)]:
            for i in range(3):
                for j in range(3):
                    if y==0 and i!=x or x==0 and j!=y: # 相邻颜色不能相同
                        color[(x,y)] += inner[(i,j)]
    else: # 左右括号配对不成功
        l = dp(left, bracket[left]) # 递归计算左边“(...)”的方案
        r = dp(bracket[left]+1, right) # 递归计算右边“(...)”的方案
        for i in range(3):
            for j in range(3):
                for x in range(3):
                    for y in range(3):
                        if x==0 or x!=y: # 相邻要么都不上色，要么颜色不能相同
                            color[(i,j)] += l[(i,x)]*r[(y,j)]
    return color # 返回包含九种方案个数的字典

s = input()
bracket = dict()
stack = [] # 查找配对括号的栈操作
for i in range(len(s)):
    if s[i] == "(":
        stack.append(i)
    else:
        bracket[stack.pop()] = i
result = sum(dp(0,len(s)-1).values()) # 要计算的结果就是把九种方案各自的个数加在一起，因为使用的是字典，所以直接对字典的值进行求和即可
print(result%1000000007)

有几个测试例子的返回结果太大，传统编程语言可能无法表示，所以要求把结果对10e9+7取模。其实python没有这个问题，只不过为了通过测试。