2.3 递归

概述

定义

计算机科学中，递归是一种解决计算问题的方法，其中解决方案取决于同一类问题的更小子集

In computer science, recursion is a method of solving a computational problem where the solution depends on solutions to smaller instances of the same problem.

比如单链表递归遍历的例子：

void f(Node node) {
    if(node == null) {
        return;
    }
    println("before:" + node.value)
    f(node.next);
    println("after:" + node.value)
}

说明：

1. 自己调用自己，如果说每个函数对应着一种解决方案，自己调用自己意味着解决方案是一样的（有规律的）
2. 每次调用，函数处理的数据会较上次缩减（子集），而且最后会缩减至无需继续递归
3. 内层函数调用（子集处理）完成，外层函数才能算调用完成

原理

假设链表中有 3 个节点，value 分别为 1，2，3，以上代码的执行流程就类似于下面的伪码

// 1 -> 2 -> 3 -> null  f(1)

void f(Node node = 1) {
    println("before:" + node.value) // 1
    void f(Node node = 2) {
        println("before:" + node.value) // 2
        void f(Node node = 3) {
            println("before:" + node.value) // 3
            void f(Node node = null) {
                if(node == null) {
                    return;
                }
            }
            println("after:" + node.value) // 3
        }
        println("after:" + node.value) // 2
    }
    println("after:" + node.value) // 1
}

思路

1. 确定能否使用递归求解
2. 推导出递推关系，即父问题与子问题的关系，以及递归的结束条件
   

• 深入到最里层叫做递
• 从最里层出来叫做归
• 在递的过程中，外层函数内的局部变量（以及方法参数）并未消失，归的时候还可以用到

单路递归 Single Recursion

E01. 阶乘

用递归方法求阶乘

• 阶乘的定义 n!= 1⋅2⋅3⋯(n-2)⋅(n-1)⋅n，其中 n 为自然数，当然 0! = 1

• 递推关系

代码

private static int f(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return n * f(n - 1);
}

拆解伪码如下，假设 n 初始值为 3

f(int n = 3) { // 解决不了,递
    return 3 * f(int n = 2) { // 解决不了,继续递
        return 2 * f(int n = 1) {
            if (n == 1) { // 可以解决, 开始归
                return 1;
            }
        }
    }
}

E02. 反向打印字符串

用递归反向打印字符串，n 为字符在整个字符串 str 中的索引位置

• 递：n 从 0 开始，每次 n + 1，一直递到 n == str.length() - 1
• 归：从 n == str.length() 开始归，从归打印，自然是逆序的

递推关系

代码为

public static void reversePrint(String str, int index) {
    if (index == str.length()) {
        return;
    }
    reversePrint(str, index + 1);
    System.out.println(str.charAt(index));
}

拆解伪码如下，假设字符串为 “abc”

void reversePrint(String str, int index = 0) {
    void reversePrint(String str, int index = 1) {
        void reversePrint(String str, int index = 2) {
            void reversePrint(String str, int index = 3) { 
                if (index == str.length()) {
                    return; // 开始归
                }
            }
            System.out.println(str.charAt(index)); // 打印 c
        }
        System.out.println(str.charAt(index)); // 打印 b
    }
    System.out.println(str.charAt(index)); // 打印 a
}

多路递归 Multi Recursion

E01. 斐波那契数列

• 之前的例子是每个递归函数只包含一个自身的调用，这称之为 single recursion
• 如果每个递归函数例包含多个自身调用，称之为 multi recursion

递推关系

下面的表格列出了数列的前几项

F0	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	F10	F11	F12	F13
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

实现

public static int f(int n) {
    if (n == 0) {
        return 0;
    }
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return f(n - 1) + f(n - 2);
}

执行流程

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-xjVT2BlG-1685494426654)(./imgs/2.gif)]

• 绿色代表正在执行（对应递），灰色代表执行结束（对应归）
• 递不到头，不能归，对应着深度优先搜索

时间复杂度

• 递归的次数也符合斐波那契规律，2 * f(n+1)-1
• 时间复杂度推导过程
  • 斐波那契通项公式 f(n) = \frac{1}{\sqrt{5}}*({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}^n - {\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^n)
  • 简化为：f(n) = \frac{1}{2.236}*({1.618}^n - {(-0.618)}^n)
  • 带入递归次数公式 2*\frac{1}{2.236}*({1.618}^{n+1} - {(-0.618)}^{n+1})-1
  • 时间复杂度为 \Theta(1.618^n)

1. 更多 Fibonacci 参考[^8][9][^10]
2. 以上时间复杂度分析，未考虑大数相加的因素

变体1 - 兔子问题[^8]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-rWGeUyhU-1685494426660)(./imgs/image-20221110155655827.png)]

• 第一个月，有一对未成熟的兔子（黑色，注意图中个头较小）
• 第二个月，它们成熟
• 第三个月，它们能产下一对新的小兔子（蓝色）
• 所有兔子遵循相同规律，求第 n 个月的兔子数

分析

兔子问题如何与斐波那契联系起来呢？设第 n 个月兔子数为 f(n)

• f(n) = 上个月兔子数 + 新生的小兔子数
• 而【新生的小兔子数】实际就是【上个月成熟的兔子数】
• 因为需要一个月兔子就成熟，所以【上个月成熟的兔子数】也就是【上上个月的兔子数】
• 上个月兔子数，即 f(n-1)
• 上上个月的兔子数，即 f(n-2)

因此本质还是斐波那契数列，只是从其第一项开始

变体2 - 青蛙爬楼梯

• 楼梯有 n 阶
• 青蛙要爬到楼顶，可以一次跳一阶，也可以一次跳两阶
• 只能向上跳，问有多少种跳法

分析

n	跳法	规律
1	(1)	暂时看不出
2	(1,1) (2)	暂时看不出
3	(1,1,1) (1,2) (2,1)	暂时看不出
4	(1,1,1,1) (1,2,1) (2,1,1) (1,1,2) (2,2)	最后一跳，跳一个台阶的，基于f(3) 最后一跳，跳两个台阶的，基于f(2)
5	…	…

• 因此本质上还是斐波那契数列，只是从其第二项开始

• 对应 leetcode 题目 70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

递归优化-记忆法

上述代码存在很多重复的计算，例如求 f(5) 递归分解过程

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-4lCZJeKm-1685494426661)(./imgs/image-20221207092417933.png)]

可以看到（颜色相同的是重复的）：

• f(3) 重复了 2 次
• f(2) 重复了 3 次
• f(1) 重复了 5 次
• f(0) 重复了 3 次

随着 n 的增大，重复次数非常可观，如何优化呢？

Memoization 记忆法（也称备忘录）是一种优化技术，通过存储函数调用结果（通常比较昂贵），当再次出现相同的输入（子问题）时，就能实现加速效果，改进后的代码

public static void main(String[] args) {
    int n = 13;
    int[] cache = new int[n + 1];
    Arrays.fill(cache, -1);
    cache[0] = 0;
    cache[1] = 1;
    System.out.println(f(cache, n));
}

public static int f(int[] cache, int n) {
    if (cache[n] != -1) {
        return cache[n];
    }

    cache[n] = f(cache, n - 1) + f(cache, n - 2);
    return cache[n];
}

优化后的图示，只要结果被缓存，就不会执行其子问题

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-m2c0A3We-1685494426663)(./imgs/image-20221213173225807.png)]

• 改进后的时间复杂度为 O(n)
• 请自行验证改进后的效果
• 请自行分析改进后的空间复杂度

注意

1. 记忆法是动态规划的一种情况，强调的是自顶向下的解决
2. 记忆法的本质是空间换时间

递归优化-尾递归

爆栈

用递归做 n + (n-1) + (n-2) … + 1

public static long sum(long n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return n + sum(n - 1);
}

在我的机器上 n = 12000 时，爆栈了

Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowError
	at Test.sum(Test.java:10)
	at Test.sum(Test.java:10)
	at Test.sum(Test.java:10)
	at Test.sum(Test.java:10)
	at Test.sum(Test.java:10)
	...

为什么呢？

• 每次方法调用是需要消耗一定的栈内存的，这些内存用来存储方法参数、方法内局部变量、返回地址等等
• 方法调用占用的内存需要等到方法结束时才会释放
• 而递归调用我们之前讲过，不到最深不会回头，最内层方法没完成之前，外层方法都结束不了
  • 例如，sum(3) 这个方法内有个需要执行 3 + sum(2)，sum(2) 没返回前，加号前面的 3 不能释放
  • 看下面伪码

long sum(long n = 3) {
    return 3 + long sum(long n = 2) {
        return 2 + long sum(long n = 1) {
            return 1;
        }
    }
}

尾调用

如果函数的最后一步是调用一个函数，那么称为尾调用，例如

function a() {
    return b()
}

下面三段代码不能叫做尾调用

function a() {
    const c = b()
    return c
}

• 因为最后一步并非调用函数

function a() {
    return b() + 1
}

• 最后一步执行的是加法

function a(x) {
    return b() + x
}

• 最后一步执行的是加法

一些语言[^11]的编译器能够对尾调用做优化，例如

function a() {
    // 做前面的事
    return b() 
}

function b() {
    // 做前面的事
    return c()
}

function c() {
    return 1000
}

a()

没优化之前的伪码

function a() {
    return function b() {
        return function c() {
            return 1000
        }
    }
}

优化后伪码如下

a()
b()
c()

为何尾递归才能优化？

调用 a 时

• a 返回时发现：没什么可留给 b 的，将来返回的结果 b 提供就可以了，用不着我 a 了，我的内存就可以释放

调用 b 时

• b 返回时发现：没什么可留给 c 的，将来返回的结果 c 提供就可以了，用不着我 b 了，我的内存就可以释放

如果调用 a 时

• 不是尾调用，例如 return b() + 1，那么 a 就不能提前结束，因为它还得利用 b 的结果做加法

尾递归

尾递归是尾调用的一种特例，也就是最后一步执行的是同一个函数

尾递归避免爆栈

安装 Scala

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-tTEngu5X-1685494426664)(./imgs/image-20221111122709227.png)]

Scala 入门

object Main {
  def main(args: Array[String]): Unit = {
    println("Hello Scala")
  }
}

• Scala 是 java 的近亲，java 中的类都可以拿来重用
• 类型是放在变量后面的
• Unit 表示无返回值，类似于 void
• 不需要以分号作为结尾，当然加上也对

还是先写一个会爆栈的函数

def sum(n: Long): Long = {
    if (n == 1) {
        return 1
    }
    return n + sum(n - 1)
}

• Scala 最后一行代码若作为返回值，可以省略 return

不出所料，在 n = 11000 时，还是出了异常

println(sum(11000))

Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowError
	at Main.sum(Main.scala:25)
	at Main.sum(Main.scala:25)
	at Main.sum(Main.scala:25)
	at Main.sum(Main.scala:25)
	...

这是因为以上代码，还不是尾调用，要想成为尾调用，那么：

1. 最后一行代码，必须是一次函数调用
2. 内层函数必须摆脱与外层函数的关系，内层函数执行后不依赖于外层的变量或常量

def sum(n: Long): Long = {
    if (n == 1) {
        return 1
    }
    return n + sum(n - 1)  // 依赖于外层函数的 n 变量
}

如何让它执行后就摆脱对 n 的依赖呢？

• 不能等递归回来再做加法，那样就必须保留外层的 n
• 把 n 当做内层函数的一个参数传进去，这时 n 就属于内层函数了
• 传参时就完成累加, 不必等回来时累加

sum(n - 1, n + 累加器)

改写后代码如下

@tailrec
def sum(n: Long, accumulator: Long): Long = {
    if (n == 1) {
        return 1 + accumulator
    } 
    return sum(n - 1, n + accumulator)
}

• accumulator 作为累加器
• @tailrec 注解是 scala 提供的，用来检查方法是否符合尾递归
• 这回 sum(10000000, 0) 也没有问题，打印 50000005000000

执行流程如下，以伪码表示 sum(4, 0)

// 首次调用
def sum(n = 4, accumulator = 0): Long = {
    return sum(4 - 1, 4 + accumulator)
}

// 接下来调用内层 sum, 传参时就完成了累加, 不必等回来时累加，当内层 sum 调用后，外层 sum 空间没必要保留
def sum(n = 3, accumulator = 4): Long = {
    return sum(3 - 1, 3 + accumulator)
}

// 继续调用内层 sum
def sum(n = 2, accumulator = 7): Long = {
    return sum(2 - 1, 2 + accumulator)
}

// 继续调用内层 sum, 这是最后的 sum 调用完就返回最后结果 10, 前面所有其它 sum 的空间早已释放
def sum(n = 1, accumulator = 9): Long = {
    if (1 == 1) {
        return 1 + accumulator
    }
}

本质上，尾递归优化是将函数的递归调用，变成了函数的循环调用

改循环避免爆栈

public static void main(String[] args) {
    long n = 100000000;
    long sum = 0;
    for (long i = n; i >= 1; i--) {
        sum += i;
    }
    System.out.println(sum);
}

递归时间复杂度-Master theorem[^14]

若有递归式

T(n) = aT(\frac{n}{b}) + f(n)

其中

• T(n) 是问题的运行时间，n 是数据规模
• a 是子问题个数
• T(\frac{n}{b}) 是子问题运行时间，每个子问题被拆成原问题数据规模的 \frac{n}{b}
• f(n) 是除递归外执行的计算

令 x = \log_{b}{a}，即 x = \log_{子问题缩小倍数}{子问题个数}

那么

T(n) =
\begin{cases}
\Theta(n^x) & f(n) = O(n^c) 并且 c \lt x\
\Theta(n^x\log{n}) & f(n) = \Theta(n^x)\
\Theta(n^c) & f(n) = \Omega(n^c) 并且 c \gt x
\end{cases}

例1

T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n^4

• 此时 x = 1 < 4，由后者决定整个时间复杂度 \Theta(n^4)
• 如果觉得对数不好算，可以换为求【b 的几次方能等于 a】

例2

T(n) = T(\frac{7n}{10}) + n

• a=1, b=\frac{10}{7}, x=0, c=1
• 此时 x = 0 < 1，由后者决定整个时间复杂度 \Theta(n)

例3

T(n) = 16T(\frac{n}{4}) + n^2

• a=16, b=4, x=2, c=2
• 此时 x=2 = c，时间复杂度 \Theta(n^2 \log{n})

例4

T(n)=7T(\frac{n}{3}) + n^2

• a=7, b=3, x=1.?, c=2
• 此时 x = \log_{3}{7} < 2，由后者决定整个时间复杂度 \Theta(n^2)

例5

T(n) = 7T(\frac{n}{2}) + n^2

• a=7, b=2, x=2.?, c=2
• 此时 x = log_2{7} > 2，由前者决定整个时间复杂度 \Theta(n^{\log_2{7}})

例6

T(n) = 2T(\frac{n}{4}) + \sqrt{n}

• a=2, b=4, x = 0.5, c=0.5
• 此时 x = 0.5 = c，时间复杂度 \Theta(\sqrt{n}\ \log{n})

例7. 二分查找递归

int f(int[] a, int target, int i, int j) {
    if (i > j) {
        return -1;
    }
    int m = (i + j) >>> 1;
    if (target < a[m]) {
        return f(a, target, i, m - 1);
    } else if (a[m] < target) {
        return f(a, target, m + 1, j);
    } else {
        return m;
    }
}

• 子问题个数 a = 1
• 子问题数据规模缩小倍数 b = 2
• 除递归外执行的计算是常数级 c=0

T(n) = T(\frac{n}{2}) + n^0

• 此时 x=0 = c，时间复杂度 \Theta(\log{n})

例8. 归并排序递归

void split(B[], i, j, A[])
{
    if (j - i <= 1)                    
        return;                                
    m = (i + j) / 2;             
    
    // 递归
    split(A, i, m, B);  
    split(A, m, j, B); 
    
    // 合并
    merge(B, i, m, j, A);
}

• 子问题个数 a=2
• 子问题数据规模缩小倍数 b=2
• 除递归外，主要时间花在合并上，它可以用 f(n) = n 表示

T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n

• 此时 x=1=c，时间复杂度 \Theta(n\log{n})

例9. 快速排序递归

algorithm quicksort(A, lo, hi) is 
  if lo >= hi || lo < 0 then 
    return
  
  // 分区
  p := partition(A, lo, hi) 
  
  // 递归
  quicksort(A, lo, p - 1) 
  quicksort(A, p + 1, hi) 

• 子问题个数 a=2
• 子问题数据规模缩小倍数
  • 如果分区分的好，b=2
  • 如果分区没分好，例如分区1 的数据是 0，分区 2 的数据是 n-1
• 除递归外，主要时间花在分区上，它可以用 f(n) = n 表示

情况1 - 分区分的好

T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n

• 此时 x=1=c，时间复杂度 \Theta(n\log{n})

情况2 - 分区没分好

T(n) = T(n-1) + T(1) + n

• 此时不能用主定理求解

递归时间复杂度-展开求解

像下面的递归式，都不能用主定理求解

例1 - 递归求和

long sum(long n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return n + sum(n - 1);
}

T(n) = T(n-1) + c，T(1) = c

下面为展开过程

T(n) = T(n-2) + c + c

T(n) = T(n-3) + c + c + c

…

T(n) = T(n-(n-1)) + (n-1)c

• 其中 T(n-(n-1)) 即 T(1)
• 带入求得 T(n) = c + (n-1)c = nc

时间复杂度为 O(n)

例2 - 递归冒泡排序

void bubble(int[] a, int high) {
    if(0 == high) {
        return;
    }
    for (int i = 0; i < high; i++) {
        if (a[i] > a[i + 1]) {
            swap(a, i, i + 1);
        }
    }
    bubble(a, high - 1);
}

T(n) = T(n-1) + n，T(1) = c

下面为展开过程

T(n) = T(n-2) + (n-1) + n

T(n) = T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n

…

T(n) = T(1) + 2 + … + n = T(1) + (n-1)\frac{2+n}{2} = c + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} -1

时间复杂度 O(n^2)

注：

• 等差数列求和为 个数*\frac{\vert首项-末项\vert}{2}

例3 - 递归快排

快速排序分区没分好的极端情况

T(n) = T(n-1) + T(1) + n，T(1) = c

T(n) = T(n-1) + c + n

下面为展开过程

T(n) = T(n-2) + c + (n-1) + c + n

T(n) = T(n-3) + c + (n-2) + c + (n-1) + c + n

…

T(n) = T(n-(n-1)) + (n-1)c + 2+…+n = \frac{n^2}{2} + \frac{2cn+n}{2} -1

时间复杂度 O(n^2)

不会推导的同学可以进入 https://www.wolframalpha.com/

• 例1 输入 f(n) = f(n - 1) + c, f(1) = c
• 例2 输入 f(n) = f(n - 1) + n, f(1) = c
• 例3 输入 f(n) = f(n - 1) + n + c, f(1) = c