埃氏筛

埃氏筛的主要思想是让质数x去筛掉x的所有合数，这个比较容易理解。
合数都是由质数构成，所以合数一定会被其合数筛掉。

举个例子：
质数2，可以筛掉合数4,6,8,...2k (2k<=n)
质数3，可以筛掉合数6,9,12,....,3k (3k<=n)
质数5，可以筛掉合数5,10,15,....,5k (5k<=n)

有这个思想就能得到 $O (n l o g l o g n)$ 的算法埃氏筛
代码如下:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1e6+10;

int f[N],idx=0;
bool st[N];

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    st[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(!st[i]){
            f[idx++]=i;
            st[i]=1;
            for(int j=i;j<=n;j+=i) st[j]=1;
        }
    cout<<idx;
    return 0;
}

欧拉筛

欧拉筛也叫做线性筛，时间复杂度是 $O (n)$ 的
观察埃氏筛的筛合数过程，我们可以发现，一个合数有可能被多个质数筛掉
比如，合数30，会被质数2，3，5都筛一次，这就导致了埃氏筛不是线性的，那么如何改变才能让每个合数只会被筛掉一次呢？
我们考虑一个合数y，让y最小的合数来筛掉y，例如上面的例子，只让30被2筛掉
代码如下:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1e6+10;

int f[N],idx=0;
bool st[N];

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]) f[idx++]=i;
        for(int j=0;f[j]<=n/i;j++){
            st[f[j]*i]=true;
            if(i%f[j]==0) break;
        }
    }
    cout<<idx;
    return 0;
}

我们分析这段代码为什么能做到每个合数都会被筛掉，并且每个合数都会被其最小的质数筛掉。

数组f[]用来存i及其之前的质数
st[f[j]*i]=true;表示用质数f[j]筛掉合数f[j]*i
if(i%f[j]==0) break;来保证合数f[j]*i只会被其最小质数筛掉
解释一下原因：
i%f[j]==0说明f[j]是i的最小质数(如果不是，在进行到f[j]之前就break掉了)，
i为合数，如果不break掉，那么f[j+1]*i会被f[j+1]筛掉，
但是i的最小质数是f[j],f[j+1]>f[j],f[j+1]*i的最小质数是f[j]，所以要break掉,等待下一个合数i=(f[j+1]*i)/f[j]时,f[j]就能消掉f[j+1]*i。

为什么合数一定会被消掉？
合数y可以分解成=y的最小质数x*(y/x)，按照算法的流程，当i==(y/x)时,y一定会被x消掉

为什么循环里要写f[j]<=n/i？
这个相当于f[j]*i<=n,当f[j]*i>n时,消掉的数>n,超过了我们需要的范围，无意义

为什么能保证j<idx,也就是说质数数组f里的质数用完之前一定会break掉，结束循环
这个是由i来决定的，
如果i为质数：那么在进入第二层循环之前i就被添加到数组f中了，
也就是说i为质数的话，会在最后一次被自己筛掉。
如果i为合数：那么i一定会在自己最小的质数x处break掉，
所以质数数组f里的质数用完之前一定会break掉