推荐可视化插入、删除节点的二叉树网站：AVL Tree Visualzation (usfca.edu)

1. 概述

        AVL树是一种自平衡二叉搜索树，他是搜索二叉树(BST)的优化，它在每次插入或删除操作后，通过旋转节点来保持树的平衡性。AVL树的平衡条件是任意节点的左子树和右子树的高度差（平衡因子p）不超过1，即平衡因子可以是-1、0或1。

p =Height(Tl) - Height(Tr)

2. AVL树的特点

1. 平衡性：AVL树的平衡性保证了查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)，其中n是树中节点的数量。
2. 自平衡操作：当进行插入或删除操作时，AVL树会根据平衡因子的变化，进行旋转操作来调整节点的位置，以维持树的平衡性。

3.  AVL树的旋转操作

        如果插入导致不平衡，则需要对以插入路径上离插入节点最近的平衡因子绝对值大于1的节点为根的节点的树进行调整，有以下几种调整方式：

对于下图，如果插入节点7，就是以 节点9 为根路径进行调整：

 

（1）左旋（Left Rotation）

        在某个子树的左子树的左子树上插入新节点，导致根节点的平衡因子由1变成2。

（2）右旋（Right Rotation）

在某个子树的右子树的右子树上插入新节点，导致根节点的平衡因子由-1 变成 -2。

 

 （3）左右旋（Left-Right Rotation）

在某个子树的左子树的右子树上插入新节点，导致根节点的平衡因子由-1 变成 -2。

（4）右左旋（Right-Left Rotation）

在某个子树的右子树的左子树上插入新节点，导致根节点的平衡因子由-1 变成 -2。

4. AVL树的插入

示例：向一棵空的AVL树中插入 1，2，3，4，5，6，7 七个数字：

 （1）插入1，2

（2）插入3，需要右旋

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 （4）插入4

（5）插入5 ，需要右旋

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（6）插入6，需要右旋

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（7）插入7，需要右旋

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