推荐可视化插入、删除节点的二叉树网站：Binary Search Tree Visualization (usfca.edu)
1. 概述
二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST）是一种特殊的二叉树结构，它具有以下特点：
- 有序性：对于BST中的每个节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值，而右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。
- 递归性：BST的每个子树也是BST，即子树中的节点仍然满足有序性和递归性。
- 无重复值：BST中不允许存在相同值的节点。
由于BST的有序性，它具有快速的查找、插入和删除操作的特点，因此被广泛应用于数据结构和算法中。
2. BST的查找操作
- 当需要查找某个值时，从根节点开始，比较要查找的值与当前节点的值的大小关系。
- 若相等，则找到目标节点；
- 若小于当前节点的值，则在左子树中继续查找；
- 若大于当前节点的值，则在右子树中继续查找。
- 如果找到叶子节点仍然没有找到目标值，则说明目标值不存在于BST中。
3. BST的插入操作
- 从根节点开始，比较要插入的值与当前节点的值的大小关系。
- 若小于当前节点的值，则在左子树中继续插入；
- 若大于当前节点的值，则在右子树中继续插入。
- 直到找到一个空位置，将新节点插入其中。
4. BST的删除操作
BST（二叉搜索树）的删除操作涉及到以下几种情况：
删除叶子节点：如果要删除的节点是叶子节点（没有子节点），直接将其删除即可。
删除节点有一个子节点：如果要删除的节点只有一个子节点，将子节点替代要删除的节点的位置即可。
删除节点有两个子节点：如果要删除的节点有两个子节点，可以采用以下两种方法之一来替代删除节点：
- 找到删除节点的右子树中的最小节点，将最小节点的值复制到删除节点，然后删除最小节点。
- 找到删除节点的左子树中的最大节点，将最大节点的值复制到删除节点，然后删除最大节点。
如删除下面这个BST的节点5，会把节点 4 的值复制到节点4上，然后删除原来的节点4：
5. 性能
在普通的二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）中，各种操作的平均时间复杂度取决于树的平衡性。各种操作的平均时间复杂度： O(log n)
需要注意的是，这里的时间复杂度是基于平衡的二叉搜索树的情况。如果树不平衡，例如出现倾斜树（所有节点都集中在一条路径上），则各种操作的时间复杂度可能退化为 O(n)，其中 n 是树中节点的数量。
下图描述了BST退化成线性表：
因此，为了确保较好的性能，可以使用自平衡的二叉搜索树（如AVL树、红黑树）或其他平衡树的变种来保持树的平衡性，从而保证各种操作的时间复杂度在对数级别。
6. 代码实现
（1）树节点
public class TreeNode {
int val;
TreeNode left;
TreeNode right;
public TreeNode(int val) {
this.val = val;
this.left = null;
this.right = null;
}
}
（2）BST
public class BST {
private TreeNode root;
public BST() {
root = null;
}
//插入操作
public void insert(int val) {
root = insertNode(root, val);
}
private TreeNode insertNode(TreeNode root, int val) {
if (root == null) {
root = new TreeNode(val);
return root;
}
if (val < root.val) {
root.left = insertNode(root.left, val);
} else if (val > root.val) {
root.right = insertNode(root.right,val);
}
return root;
}
// 查找操作
public boolean search(int val) {
return searchNode(root, val);
}
private boolean searchNode(TreeNode root, int val) {
if (root == null) {
return false;
}
if (val == root.val) {
return true;
} else if (val < root.val) {
return searchNode(root.left, val);
} else {
return searchNode(root.right, val);
}
}
// 删除操作
public void delete(int val) {
root = deleteNode(root, val);
}
private TreeNode deleteNode(TreeNode root, int val) {
if (root == null) {
return null;
}
if (val < root.val) {
root.left = deleteNode(root.left, val);
} else if (val > root.val) {
root.right = deleteNode(root.right, val);
} else {
// 找到要删除的节点
if (root.left == null) {
return root.right;
} else if (root.right == null) {
return root.left;
}
// 如果要删除的节点有两个子节点
// 找到右子树中的最小节点，将其值赋给要删除的节点
// 然后在右子树中删除最小节点
TreeNode minNode = findMin(root.right);
root.val = minNode.val;
root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
}
return root;
}
private TreeNode findMin(TreeNode node) {
while (node.left != null) {
node = node.left;
}
return node;
}
}insert方法用于插入节点。它通过调用insertNode方法实现。在insertNode方法中，首先判断根节点是否为空，如果为空则直接创建一个新节点作为根节点。如果根节点不为空，则比较要插入的值与当前节点的值的大小关系，如果小于当前节点的值，则递归地插入到左子树中，如果大于当前节点的值，则递归地插入到右子树中。search方法用于查找节点。它通过调用searchNode方法实现。在searchNode方法中，首先判断当前节点是否为空，如果为空则说明没有找到目标值，返回false。如果当前节点的值等于目标值，则说明找到了，返回true。如果目标值小于当前节点的值，则递归地在左子树中查找。如果目标值大于当前节点的值，则递归地在右子树中查找。delete方法用于删除节点。它通过调用deleteNode方法实现。在deleteNode方法中，首先判断当前节点是否为空，如果为空则直接返回null。如果目标值小于当前节点的值，则递归地在左子树中删除。如果目标值大于当前节点的值，则递归地在右子树中删除。如果目标值等于当前节点的值，则分三种情况处理删除操作：如果要删除的节点没有子节点，则直接将其置为null；如果要删除的节点只有一个子节点，则将其子节点替换为要删除的节点；如果要删除的节点有两个子节点，则找到右子树中的最小节点，将其值赋给要删除的节点，并在右子树中递归地删除最小节点。- 另外还定义了一个辅助方法
findMin，用于找到给定节点下的最小节点，即最左子节点。
