二叉搜索树的概念

二叉搜索树又被称为二叉排序树，顾名思义，当我们使用中序遍历时，会得到一个有序的序列。二叉搜索树有如下的性质：
1.若它的左子树不为空，则左子树上每个节点的值都小于根节点的值。
2.若它的右子树不为空，则右子树上每个节点的值都大于根节点的值。
3.左右子树也是二叉搜索树
在这里插入图片描述
如图所示，就是一颗二叉搜索树。它的中序遍历结果为：1，3，4，6，7，8，10，13，14

二叉搜索树的操作

二叉搜索树的操作有：查找，插入，删除。
查找
1.从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找
2.最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在

插入
分为树是否为空：
若为空树：树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
若不为空树：按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点

删除

首先要查找要删除的节点是否在二叉树中，若不存在，则直接返回，若存在，分情况进行删除。
a.要删除的节点没有孩子
b.要删除的节点只有左孩子
c.要删除的节点只有右孩子
d.要删除的节点左右孩子都有

实际上，对于删除操作来说，可以要删除没有孩子节点或删除只有一个孩子节点的情况，操作是相同的，都是直接将要删除的节点的双亲节点的指针指向当前删除节点的孩子节点。（当前节点如果没有孩子节点，实际上当前节点的孩子节点是nullptr，当前节点有孩子节点，实际上也是将双亲指向当前的孩子节点）

因此，可以将四种情况中a和b情况进行合并，那么就只有三种情况了。
a.要删除的节点没有孩子或者只有右孩子-------将双亲节点指向当前节点的右孩子，然后直接删除当前节点
b.要删除的节点只有左孩子-------将双亲节点指向当前节点的左孩子，然后直接删除当前节点
c.要删除的节点左右孩子都有------在它的右子树下找到最小的一个节点（右子树的最左侧），用它的值填补到被删除节点中，再处理该节点的删除问题

二叉搜索树的实现

查找

1.从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找
2.最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在

Node* Find(const T& data)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (data > cur->_data)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (data < cur->_data)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
				return cur;
		}
		return nullptr;
	}

插入

分为树是否为空：
若为空树：树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
若不为空树：按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点

bool Insert(const T& data)
	{
		//空树，插入成功后就是根节点
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(data);
			return true;
		}
		//非空就需要找到待插入的位置。
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			parent = cur;
			if (cur->_data > data)
				cur = cur->_left;
			else if (cur->_data < data)
				cur = cur->_right;
			else
				return false;
		} 
		cur = new Node(data);
		if (cur->_data > parent->_data)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
			parent->_left = cur;
		return true;
	}

删除

实际上，对于删除操作来说，可以要删除没有孩子节点或删除只有一个孩子节点的情况，操作是相同的，都是直接将要删除的节点的双亲节点的指针指向当前删除节点的孩子节点。（当前节点如果没有孩子节点，实际上当前节点的孩子节点是nullptr，当前节点有孩子节点，实际上也是将双亲指向当前的孩子节点）

最终我们可以将情况分为上述的a b c三种情况，

对于情况a来说，其内部又可以分为两大类：要删除的是根节点要删除的不是根节点
对于情况b来说，其内部又可以分为两大类：要删除的是根节点要删除的不是根节点
对于情况c来说，我们是通过步骤：1.在待删除节点的右子树中找到最小的节点（替代节点） 2.将替代节点的值赋给待删除的节点 3.删除找到的替代节点.

而在a情况中，针对要删除的节点不是根节点，我们需要判断待删除的节点是其双亲节点的左孩子还是右孩子。因为到时候需要让双亲节点指向待删除节点的左孩子
而在b情况中，针对要删除的节点不是根节点，我们需要判断待删除的节点是其双亲节点的左孩子还是右孩子。因为到时候需要让双亲节点指向待删除节点的右孩子
而在c情况中，我们需要判断替代节点的是其双亲的左孩子还是右孩子。因为到时候需要让双亲节点指向待删除节点的右孩子

下图是上述分类情况的图示。

只有右孩子的场景

只有左孩子的场景

左右孩子均存在的场景

这个是对于删除操作需要分的情况：

针对上述分的情况，代码的实现

bool Erase(const T& data)
	{
		//找待删除节点的位置，并且保存双亲
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			parent = cur ;
			if (data == cur->_data)
				break;
			else if (data < cur->_data)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
		}
		//值在BST中不存在值为data的节点
		if (cur == nullptr)
			return false;

		// 只有右孩子或者没有孩子
		if (cur->_left == nullptr)
		{
			// 1.双亲为空,说明为根节点
			if (parent == nullptr)
				_root = cur->_right;

			// 2.双亲非空,说明不是根节点
			else
			{
				//可能是双亲的左孩子
				if (cur = parent->_left)
					parent->_left = cur->_right;
				//也可能是双亲的右孩子
				else
					parent->_right = cur->_right;
			}
			delete cur;
		}
		//只有左孩子
		else if (cur->_right == nullptr)
		{
			// 1.双亲为空，是根节点
			if (parent == nullptr)
				_root = cur->_left;
			// 2.双亲不为空，不是根节点
			else
			{
				if (cur == parent->_left)
					parent->_left = cur->_left;
				else
					parent->_right = cur->_left;
			}
			delete cur;
		}

		//左右孩子均存在,
		//先在其右子树中找到最左边的节点，
		//将替代节点中的值赋给要删除的节点，
		//删除替代节点
		else
		{
			Node* tmp = cur->_right;
			parent = cur;
			//在cur的右子树中找替代节点
			while (tmp->_left)
			{
				parent = tmp;
				tmp = tmp->_left;
			}
			//用替代节点中的值替换待删除的节点
			cur->_data = tmp->_data;

			//删除替代节点
			if (parent->_left == tmp)
				parent->_left = tmp->_right;
			else
				parent->_right = tmp->_right;
			delete tmp;
		}
		return true;