题解 . 洛谷题单之动态规划的引入

news2024/11/20 23:35:48

前置知识：

数字三角形问题：动态规划之数字三角形模型_如何何何的博客-CSDN博客

01背包问题：动态规划之01背包模型_如何何何的博客-CSDN博客

完全背包问题：动态规划之完全背包模型_如何何何的博客-CSDN博客

多重背包问题：动态规划之多重背包模型_如何何何的博客-CSDN博客

题1. 数字三角形 Number Triangles

P1216 [USACO1.5][IOI1994]数字三角形 Number Triangles - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

数字三角形裸题。

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N = 510;
int g[N][N], f[N][N];//三角形，以每个点为终点的路径的最大值
int n;

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)//读入地图（其实可以在读入的时候就处理，这里将读入和处理分开了）
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            cin >> g[i][j];

    memset(f, -0x3f, sizeof f);//初始化
    f[1][1] = g[1][1];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            if (j - 1 >= 1)f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + g[i][j]);//如果左上角未越界
            if (j < n)f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j] + g[i][j]);//如果右上角未越界
        }

    int res = -0x3f3f3f3f;//在最后一行中找最大值
    for (int i = 1; i <= n; i++)res = max(res, f[n][i]);

    cout << res;
    return 0;
}

题2. 采药：

P1048 [NOIP2005 普及组] 采药 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

01背包裸题。

AC代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N];
int main(){
    int t,n;//读入时间和草药数量
    int v,w;//时间和价值
    cin>>t>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){//枚举前n株草药
        cin>>v>>w;//读入当前草药的时间和价值
        for(int j=t;j>=v;j--)//滚动数组
            f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
    }
    cout<<f[t];
    return 0;
}

题3. 挖地雷:

P2196 [NOIP1996 提高组] 挖地雷 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

数据范围较小，可以使用dfs；

dp做法：最长上升子序列模型，f[i]表示以 i 点为结尾的路径的最大值；

由题可知图为拓扑图，每一层所有点的状态都是由上一层的点更新得到，故按层次枚举即可；

由题可知编号小的点连向编号大的点，不存在编号大的点连向编号小的点，故根据编号从小到大枚举即可；

记录每个点的前驱即可得到路径。

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=25;
int p[N];//地雷数
int f[N];//状态
int pre[N][N];//每个点的前驱
int path[N];//前驱路径 

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	
	//地雷数 
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>p[i];
	
	//每个点的前驱 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			cin>>pre[j][i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i]=p[i];
		path[i]=i;
		
		for(int j=1;j<i;j++)
			//如果i点状态被更新 
			if(pre[i][j]) 
				if(f[i]<f[j]+p[i]){f[i]=f[j]+p[i];path[i]=j;}
	}
	
	int res=0,k=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(res<f[i]){res=f[i];k=i;}
	
	vector<int>v;
	bool flag=false;
	while(1){
		if(path[k]==k)flag=true;
		v.push_back(k);
		k=path[k];
		if(flag)break;
	} 
	
	for(int i=v.size()-1;i>=0;i--)cout<<v[i]<<" ";
	cout<<endl<<res;
	return 0;
}

题4. 滑雪：

P1434 [SHOI2002] 滑雪 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

类似数字三角形模型，f[i][j] 表示 ( i , j ) 点的最大长度；

f[i][j] 由上下左右四个方向转移得到，并且可知高度低的点一定由高度高的点转移得到；

故可以将所有点按照高度进行排序，然后两重循环进行状态更新，第一重从大到小枚举所有点，第二重枚举所有较高的点来做更新；

注意：相同高度的不能滑过去。

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int g[N][N];
int f[N][N]; 
int n,m;
//点的坐标及其高度 
struct pp{
	int x,y,h;
}p[N*N];
int dx[]={1,0,-1,0},dy[]={0,1,0,-1}; 

bool cmp(struct pp a,struct pp b){
	return a.h>b.h;
}

int main(){
	cin>>n>>m;
	int k=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			cin>>g[i][j];
			p[k].x=i,p[k].y=j,p[k++].h=g[i][j];
		}
	//从大到小排 
	sort(p,p+n*m,cmp);
		
	
	for(int i=0;i<n*m;i++){//从大到小枚举所有点 
		f[p[i].x][p[i].y]=1;
		//枚举所有较高的 
		for(int j=0;j<i;j++){
			//相同高度 
			if(p[j].h==p[i].h)continue;
			//该点是否可用 
			bool flag=false;
			for(int m=0;m<4;m++)
				if(p[j].x+dx[m]==p[i].x&&p[j].y+dy[m]==p[i].y)flag=true;
				
			if(flag)
				f[p[i].x][p[i].y]=max(f[p[j].x][p[j].y]+1,f[p[i].x][p[i].y]);
		}
	}
	
	int res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)res=max(res,f[i][j]);
		
	cout<<res;
	return 0; 
}

题5 . 最大食物链计数：

P4017 最大食物链计数 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

f[i] 表示以 i 号点结尾的食物链数量，f[i] 由 i 点上一层的点转移得到（上一层点的状态之和）；

食物网为拓扑图，但无法直接按层次遍历，存在如下反例，直接按层次遍历答案为1：

暂时未写，后续补充。

题6. 最大子段和：

P1115 最大子段和 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

双指针，DP；

DP解法：

f [i] 表示以 i 号位置的数字结尾的最大子段和；

状态转移方程：f[i] = max ( f[i-1] + a[i] , a[i] )。

AC代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=2*1e5+10;
int f[N];

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	
	int res=-0x3f3f3f3f;
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>f[i];
		f[i]=max(f[i],f[i-1]+f[i]);
		res=max(res,f[i]);
	}
	
	cout<<res;
}

题7. 5倍经验日：

P1802 5 倍经验日 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

01背包问题；

f[i][j] 表示打 第 i 个人，且有 j 瓶药的最大经验；

状态转移：f[i][j] = max( f[i-1][j] + l[i]，f[i-1][j-1] + w[i] )。

AC代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int w[N],s1[N],s2[N];
long long f[N][N];

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>s1[i]>>s2[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j]+s1[i];
            if(j>=w[i])f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]]+s2[i]);
        }
        
    cout<<f[n][m]*5;
    
}

题8. 过河卒：

P1002 [NOIP2002 普及组] 过河卒 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

f[i][j] 表示走到 ( i , j ) 的路径数量；

状态转移：只能从左上角走到，f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]。

AC代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,x1,y1;
const int N=25;
long long f[N][N];
int main(){
    f[0][1]=1;
    cin>>n>>m>>x1>>y1;
    n++,m++,x1++,y1++;   
int dx[] = { -2, -1, 1, 2, 2, 1, -1 ,- 2,0 }, dy[] = {  1,2, 2, 1, -1,- 2,- 2, -1,0 };
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            int st=0;
            for(int u=0;u<9;u++)
                if(i==x1+dx[u]&&j==y1+dy[u])st=1;
            if(st==1)f[i][j]=0;
            else f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1];
        }
    f[1][1]=0;
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

题9. 装箱问题：

P1049 [NOIP2001 普及组] 装箱问题 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

01背包裸题。

AC代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=20010;
int f[N];
int n,V;

int main(){
	cin>>V>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int v;
		cin>>v;
		for(int j=V;j>=v;j--)
			f[j]=max(f[j],f[j-v]+v);
	}
	cout<<V-f[V];
	return 0;
}

题10. 疯狂的采药：

P1616 疯狂的采药 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

完全背包问题裸题。

AC代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=1e7+10;
long long f[N];

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;//时间与数量
    
    int t,s;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>t>>s;
        
        for(int j=t;j<=n;j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-t]+s);
    }
    
    cout<<f[n];
    
    return 0;

}

题11. 小A点菜：

P1164 小A点菜 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

01背包问题：

f[i][j] 表示只考虑前 i 道菜，花掉 j 元的方案数；

状态转移方程 f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j-w[i]]。

AC代码如下:

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N][N];
int a[N];
int n,m;//n种菜m元钱
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    
    f[0][0]=1;
        
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++){
            if(j>=a[i])f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-a[i]];
            else f[i][j]=f[i-1][j];
        }
        
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

题12. 摆花：

P1077 [NOIP2012 普及组] 摆花 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

多重背包问题；

f[i][j] 表示只选前 i 种花，共有 j 盆花的选法；

状态转移方程：f[i][j] += ( f[i-1][j] + f[i-1][j-1] + f[i-1][j-2] + …… + f[[i-1][j-a[i]] ) 。

AC代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=110,mod=1e6+7;
int f[N][N];

int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){//前i种花 
		int a;
		cin>>a;
		for(int j=0;j<=m;j++){//总共j盆花 
			for(int k=0;k<=a&&k<=j;k++){//选k盆i种花
			    f[i][j]+=f[i-1][j-k];	 
			    f[i][j]%=mod;
			}
		}
	}
	
	cout<<f[n][m];	
	return 0;
}

题12. 线段：

P3842 [TJOI2007]线段 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

f[i][0] 表示走完第 i 行的线段后停在线段左端的最短步数，f[i][1] 表示走完第 i 行的线段后停在线段右端的最短步数；

假设 a[i][0] 表示第 i 行的线段左端点，a[i][1] 表示第 i 行的线段右端点；

状态转移：第 i 行的端点状态由第 i-1 行的左端点或右端点转移得到，一共两种情况，取最小值即可。

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e4*2;
int f[N][2],g[N][2];

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	
	f[0][0]=f[0][1]=0;//初始0步 
	g[0][0]=g[0][1]=1;//初始位置为1 
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>g[i][0]>>g[i][1];
		
		f[i][0]=min(
					//上一层左端点转移得到
					f[i-1][0] + 1 + (g[i][1]-g[i][0]) + abs(g[i-1][0]-g[i][1]), 
					//上一层右端点转移得到
					f[i-1][1] + 1 + (g[i][1]-g[i][0]) + abs(g[i-1][1]-g[i][1])
					);
		f[i][1]=min(
					//上一层左端点转移得到 
					f[i-1][0] + 1 + (g[i][1]-g[i][0]) + abs(g[i-1][0]-g[i][0]),
					//上一层右端点转移得到 
					f[i-1][1] + 1 + (g[i][1]-g[i][0]) + abs(g[i-1][1]-g[i][0])
					);
		
	}
	
	int res;
	res=min( f[n][0]+abs(g[n][0]-n),f[n][1]+abs(g[n][1]-n) );
	cout<<res-1;
	return 0; 
}

题13. 金明的预算方案：

P1064 [NOIP2006 提高组] 金明的预算方案 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

暂时未写，后续补充。

题14. kkksc03考前临时抱佛脚：

P2392 kkksc03考前临时抱佛脚 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路：

搜索、DP；

DP解法：

01 背包问题，对于每个题目有写与不写两种情况；

对于每个科目，尽量平均分为两部分；

将做题时间看做体积和价值，即求一半容量下能装下的物品的最大价值是多少；

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>>
using namespace std;
const int N=25;
int f[N][N*60];
int a[N];
int b[N];

int main(){
	//每组题目的数量 
	for(int i=0;i<4;i++)cin>>a[i];
	
	int res=0;
	//4组物品 
	for(int i=0;i<4;i++){
		//总体积为v 
		int v=0;
		for(int j=1;j<=a[i];j++){cin>>b[j];v+=b[j];}
		
		//01背包
		memset(f,0,sizeof f);
		
		for(int j=1;j<=a[i];j++)
			for(int k=0;k<=v;k++){
				f[j][k]=f[j-1][k];
				if(k>=b[j])f[j][k]=max(f[j][k],f[j-1][k-b[j]]+b[j]);
			} 
		res+=(v-f[a[i]][v/2]);
		
	}
	
	cout<<res;
	return 0;
}

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文章目录 缓存的概念Nginx的web缓存服务Nginx缓存设置的相关指令Nginx缓存设置案例Nginx缓存的清除方式一:删除对应的缓存目录方式二:使用第三方扩展模块 Nginx设置资源不缓存 缓存的概念 缓存就是数据交换的缓冲区(称作:Cache),当用户要获取数据的时候&#xff0c;会先从缓存…
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DOUBLETROUBLE 1

DOUBLETROUBLE 1

文章目录 DOUBLETROUBLE: 1实战演练一、前期准备1、相关信息 二、信息收集1、nmap探测目标靶机端口2、扫描目标网址目录3、访问网站&#xff0c;发现secret下有个图片4、将图片下载5、查看图片所含内容6、破解密码并查看7、登陆邮箱8、创建反弹shell9、上传反弹shell10、监听11…
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【云计算架构】通过新的优化视角查看云架构

【云计算架构】通过新的优化视角查看云架构

仅仅让云部署工作不再是目标。关注构建和部署最佳解决方案的新指标和方法。 随着云计算架构的成熟&#xff0c;我们定义成功的方式也应该成熟。在2021&#xff0c;我指出&#xff0c;优化云计算更多的是二进制过程&#xff0c;而不是模拟过程。 我当时所说的仍然是正确的&#…
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【医学图像】图像分割系列.1

【医学图像】图像分割系列.1

医学图像分割是一个比较有应用意义的方向&#xff0c;本文简单介绍三篇关于医学图像分割的论文&#xff1a; UNeXt&#xff08;MICCAI2022&#xff09;&#xff0c;PHTrans&#xff08;MICCAI2022&#xff09;&#xff0c;DA-Net&#xff08;MICCAI2022&#xff09;。 目录 …
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目标追踪---deepsort原理讲解

目标追踪---deepsort原理讲解

目录 一、多目标追踪的主要步骤 二、sort流程 三、Deepsort算法流程 一、多目标追踪的主要步骤 获取原始视频帧利用目标检测器对视频帧中的目标进行检测将检测到的目标的框中的特征提取出来&#xff0c;该特征包括表观特征&#xff08;方便特征对比避免ID switch&#xff0…
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SQL语句练习附带答案

SQL语句练习附带答案

首先创建数据库filmclub DROP DATABASE IF EXISTS filmclub;CREATE DATABASE filmclub;USE filmclub;CREATE TABLE category (cid INT PRIMARY KEY AUTO_INCREMENT,cname VARCHAR(20) )CHARSETutf8; CREATE TABLE film (fid INT PRIMARY KEY AUTO_INCREMENT,fname VARCHAR(20)…
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