✨博主：命运之光
✨专栏：概率论期末速成（三套卷）
目录
- ✨一、填空题（在下列各题填写正确答案，不填、填错，该题无分，每小题3分，共36分）
- ✨二、计算题(本大题6小题，每小题9分，共54分)。
- ✨三、应用题（10分）
- ✨附上原笔记图片（祝大家考试顺利）
前言：第一次尝试打数学公式，我是用语雀记得笔记然后直接导入了CSDN但导入后格式和公式都发生了变化，之后我会直接用图片写题解这样格式不会乱，而且比打公式效率高许多。
✨✨为了让大家看的清楚，我在文章的最后附上了导入前笔记的样子，供大家参考。
✨一、填空题（在下列各题填写正确答案，不填、填错，该题无分，每小题3分，共36分）
1、设 A , B , C A,B,C A,B,C为3个事件，则表示 A , B , C A,B,C A,B,C中至少两个发生的事件是____.
第一题比较简单，我们通过答案就可以理解，所以这里就不过多阐述。
解题：
A
ˉ
B
C
+
A
B
ˉ
C
+
A
B
C
ˉ
+
A
B
C
\={A}BC+A\={B}C+AB\={C}+ABC
AˉBC+ABˉC+ABCˉ+ABC
2、设事件
A
,
B
A,B
A,B独立，且
P
(
A
)
=
0.4
P(A)=0.4
P(A)=0.4，
P
(
B
)
=
0.2
P(B)=0.2
P(B)=0.2，则
P
(
A
∪
B
ˉ
)
=
P(A \cup \={B})=
P(A∪Bˉ)=____.
知识点：
P
(
A
∪
B
)
=
{
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
B
)
P
(
A
)
+
P
(
B
)
if
A
B
=
∅
P(A \cup B)=\begin{cases} P(A)+P(B)-P(AB) \\ P(A)+P(B) &\text{if } AB=\emptyset \end{cases}
P(A∪B)={P(A)+P(B)−P(AB)P(A)+P(B)if AB=∅
解题：套用上面知识点
P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
ˉ
)
−
P
(
A
B
ˉ
)
=
0.4
+
0.8
−
0.4
×
0.8
=
1.2
−
0.32
=
0.88
\begin{aligned} P(A \cup B) &= P(A)+P(\={B})-P(A\={B}) \\ &= 0.4+0.8-0.4×0.8 \\ &= 1.2-0.32\\ &= 0.88 \end{aligned}
P(A∪B)=P(A)+P(Bˉ)−P(ABˉ)=0.4+0.8−0.4×0.8=1.2−0.32=0.88
3、设在全部产品中有20%是废品，而合格品有85%是一级品，则任意抽出一个产品是一级品的概率为_____.
这题也较简单看答案就能理解
解题：
合格品：
1
−
20
%
=
80
%
1-20\%=80\%
1−20%=80%
任取一个产品是一级品的概率为：
80
%
×
85
%
=
0.8
×
0.85
=
0.68
80\%×85\%=0.8×0.85=0.68
80%×85%=0.8×0.85=0.68
4、设在一次试验中，事件A发生的概率为0.6.现进行3次独立试验，则A至少发生概率为_____.
这题也较简单看答案就能理解
分析这题采用反证法：
A
A
A至少发生概率为：
1
−
A
1-A
1−A一次也不发生的概率。
题解：
A
A
A至少发生概率为：
1
−
P
ˉ
=
1
−
(
0.4
×
0.4
×
0.4
)
=
0.936
1-\={P}=1-(0.4×0.4×0.4)=0.936
1−Pˉ=1−(0.4×0.4×0.4)=0.936
5、设离散型随机变量的
X
X
X分布函数为
F
(
x
)
{
0
,
x
<
−
1
0.1
,
−
1
≤
x
＜
0
0.5
,
0
≤
x
＜
2
F(x)\begin{cases} 0,&x<-1\\ 0.1,&-1≤x＜0\\ 0.5,&0≤x＜2 \end{cases}
F(x)⎩
⎨
⎧0,0.1,0.5,x<−1−1≤x＜00≤x＜2则
P
{
x
=
0
}
=
P\begin{Bmatrix}x=0 \end{Bmatrix}=
P{x=0}=_____.
这题套用知识点直接解就行
知识点：
P
{
x
=
0
}
=
P
{
X
≤
0
}
−
P
{
x
<
0
}
P\{x=0\}=P\{X≤0\}-P\{x<0\}
P{x=0}=P{X≤0}−P{x<0}
解题：套用上面知识点
P
{
x
=
0
}
=
P
{
X
≤
0
}
−
P
{
x
<
0
}
=
0.5
−
0.1
=
0.4
P\{x=0\}=P\{X≤0\}-P\{x<0\}=0.5-0.1=0.4
P{x=0}=P{X≤0}−P{x<0}=0.5−0.1=0.4
6、设随机变量X的分布函数为
F
(
x
)
=
A
+
1
π
a
r
c
t
a
n
x
F(x)=A+\frac 1 \pi arctanx
F(x)=A+π1arctanx,则
A
=
A=
A=.
知识点：
F
(
+
∞
)
=
1
F(+\infty)=1
F(+∞)=1
F
(
−
∞
)
=
0
F(-\infty)=0
F(−∞)=0
解题：套用上面知识点
KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.
解得：
A
=
1
2
A=\frac1 2
A=21
7、设随机变量
X
∽
N
(
1
,
4
)
X\backsim N(1,4)
X∽N(1,4)，且
Φ
(
2
)
=
0.9772
\Phi(2)=0.9772
Φ(2)=0.9772，则
P
{
1
≤
x
≤
5
}
=
P\{1≤x≤5\}=
P{1≤x≤5}=.
知识点：
正态分布
X
∽
N
(
μ
,
δ
2
)
X\backsim N( \mu , \delta^2)
X∽N(μ,δ2)
密度
P
(
X
)
=
1
(
2
π
δ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
δ
2
P(X)={\frac 1 { \sqrt{\mathstrut 2\pi} \delta}}e^{\frac {-({x-\mu})^2} {2\delta^2}}
P(X)=(2πδ1e2δ2−(x−μ)2
期望
E
(
x
)
=
μ
E(x)=\mu
E(x)=μ
方差
D
(
x
)
=
δ
2
D(x)=\delta^2
D(x)=δ2
P
{
a
<
x
<
b
}
=
P
{
a
−
μ
δ
<
x
−
μ
δ
<
b
−
μ
δ
}
=
Φ
(
b
−
μ
δ
)
−
Φ
(
a
−
μ
δ
)
P\{a<x<b\}=P\{\frac {a-\mu} \delta<\frac {x-\mu} \delta<\frac {b-\mu} \delta\}=\Phi(\frac {b-\mu} \delta)-\Phi(\frac {a-\mu} \delta)
P{a<x<b}=P{δa−μ<δx−μ<δb−μ}=Φ(δb−μ)−Φ(δa−μ)
Φ
(
0
)
=
0.5
\Phi(0)=0.5
Φ(0)=0.5
解题：套用上面知识点
8.设随机变量
X
∽
P
(
λ
)
X\backsim P(\lambda)
X∽P(λ)，且
E
[
X
(
X
−
2
)
]
=
6
E[X(X-2)]=6
E[X(X−2)]=6，则
λ
\lambda
λ.
知识点：
分布律：
P
=
{
x
=
k
}
=
λ
2
k
!
e
−
λ
，
(
k
=
0
,
1
,
2...
,
n
)
P=\{x=k\}=\frac {\lambda^2} {k!}e^{-\lambda}，(k=0,1,2...,n)
P={x=k}=k!λ2e−λ，(k=0,1,2...,n)
E
(
x
)
=
D
(
x
)
=
λ
E(x)=D(x)=\lambda
E(x)=D(x)=λ
E
(
x
2
)
=
D
(
x
)
+
E
2
(
x
)
=
λ
+
λ
2
E(x^2)=D(x)+E^2(x)=\lambda+\lambda^2
E(x2)=D(x)+E2(x)=λ+λ2
解题：套用上面知识点
KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.
解得：
λ
=
3
\lambda=3
λ=3
9、设二维随机变量
(
X
,
Y
)
∽
N
(
−
1
,
0
,
4
,
9
,
0.2
)
(X,Y)\backsim N(-1,0,4,9,0.2)
(X,Y)∽N(−1,0,4,9,0.2)，则
c
o
v
(
X
,
Y
)
=
cov(X,Y)=
cov(X,Y)=.
知识点：
二维正态分布
(
X
,
Y
)
∽
N
(
μ
1
，
μ
2
，
δ
1
2
，
δ
2
2
，
p
)
(X,Y)\backsim N(\mu_1，\mu_2，\delta^2_1，\delta^2_2，p)
(X,Y)∽N(μ1，μ2，δ12，δ22，p)
其中
μ
1
=
E
(
X
)
μ
2
=
E
(
Y
)
δ
1
2
=
D
(
X
)
δ
2
2
=
D
(
Y
)
P
=
P
X
Y
\begin{aligned} &\mu_1=E(X) \\&\mu_2=E(Y) \\&\delta^2_1=D(X) \\&\delta^2_2=D(Y) \\&P=P_{XY} \end{aligned}
μ1=E(X)μ2=E(Y)δ12=D(X)δ22=D(Y)P=PXY
c
o
v
(
X
,
Y
)
=
(
(
D
(
X
)
×
(
D
(
Y
)
)
×
P
cov(X,Y)=(\sqrt{\mathstrut D(X)}×\sqrt{\mathstrut D(Y)} )×P
cov(X,Y)=((D(X)×(D(Y))×P
X
∽
N
(
μ
,
δ
1
2
)
，
Y
∽
N
(
μ
,
δ
2
2
)
X\backsim N(\mu,\delta^2_1)，Y\backsim N(\mu,\delta^2_2)
X∽N(μ,δ12)，Y∽N(μ,δ22)
解题：套用上面知识点
c
o
v
(
X
,
Y
)
=
(
(
D
(
X
)
×
(
D
(
Y
)
)
×
P
=
2
×
3
×
0.2
=
1.2
cov(X,Y)=(\sqrt{\mathstrut D(X)}×\sqrt{\mathstrut D(Y)} )×P=2×3×0.2=1.2
cov(X,Y)=((D(X)×(D(Y))×P=2×3×0.2=1.2
10.设
X
∽
U
(
0
，
2
)
，
Y
∽
E
x
p
(
1
)
X\backsim U(0，2)，Y\backsim E_{xp}(1)
X∽U(0，2)，Y∽Exp(1)，且
X
X
X与
Y
Y
Y相互独立，则
D
(
2
X
−
3
Y
+
4
)
=
D(2X-3Y+4)=
D(2X−3Y+4)=_____.
知识点：
均匀分布
X
∽
U
(
a
，
b
)
X \backsim U(a，b)
X∽U(a，b)
密度
p
(
x
)
=
{
1
b
−
a
,
a
<
x
<
b
0
,
其他
p(x)=\begin{cases} \frac 1 {b-a},&a<x<b \\0,&其他 \end{cases}
p(x)={b−a1,0,a<x<b其他
方差
D
(
x
)
=
(
b
−
a
)
2
12
D(x)=\frac {(b-a)^2} {12}
D(x)=12(b−a)2
期望
E
(
x
)
=
a
+
b
2
E(x)=\frac {a+b} 2
E(x)=2a+b
指数分布
X
∽
E
x
p
(
λ
)
X\backsim E_{xp}(\lambda)
X∽Exp(λ)
密度
P
(
x
)
=
{
1
b
−
a
，
a
<
x
<
b
0
,
其他
P(x)=\begin{cases} \frac 1 {b-a}，&a<x<b\\ 0,&其他 \end{cases}
P(x)={b−a1，0,a<x<b其他
方差
D
(
x
)
=
1
λ
2
D(x)=\frac 1 {\lambda^2}
D(x)=λ21
期望
E
(
x
)
=
1
λ
E(x)=\frac 1 \lambda
E(x)=λ1
解题：套用上面知识点
μ
1
=
E
(
X
)
μ
2
=
E
(
Y
)
δ
1
2
=
D
(
X
)
δ
2
2
=
D
(
Y
)
P
=
P
X
Y
\begin{aligned} &\mu_1=E(X) \\&\mu_2=E(Y) \\&\delta^2_1=D(X) \\&\delta^2_2=D(Y) \\&P=P_{XY} \end{aligned}
μ1=E(X)μ2=E(Y)δ12=D(X)δ22=D(Y)P=PXY
11.设
X
1
,
X
2
,
X
3
X_1,X_2,X_3
X1,X2,X3是来自总体
X
X
X的样本，且
E
(
X
)
=
μ
,
μ
ˆ
=
1
4
X
1
+
k
X
2
+
1
8
X
3
E(X)=\mu,\^{\mu }=\frac 1 4X_1+kX_2+\frac 1 8 X_3
E(X)=μ,μˆ=41X1+kX2+81X3是
μ
\mu
μ的无偏估计，则
k
=
k=
k=.
解题：这题不懂得直接记着就行，题一变就变了比较麻烦
k
=
1
−
1
4
−
1
8
=
5
8
k=1-\frac1 4-\frac1 8=\frac5 8
k=1−41−81=85
12.设
X
1
,
X
2
,
X
3
,
X
4
X_1,X_2,X_3,X_4
X1,X2,X3,X4是总体
X
∽
N
(
0
，
2
)
X \backsim N(0，2)
X∽N(0，2)的随机样本，
Y
=
X
1
2
+
X
2
2
+
X
3
2
C
X
4
2
∽
F
(
3
,
1
)
Y=\frac{{X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2} {{CX_4}^2}\backsim F(3,1)
Y=CX42X12+X22+X32∽F(3,1)，则
C
=
C=
C=.
解题：这题不懂得直接记着就行，题一变就变了比较麻烦，反正我问的人都已经选择放弃这一题了/(ㄒoㄒ)/~~所以没有人给我讲这道题。。。。。。
答案：3
✨二、计算题(本大题6小题，每小题9分，共54分)。
| X X X | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| P P P | 2a | a | 1/8 | a/2 | 5a |
- 试求（1） a a a；（2）概率 P { − 1 < X < 2 } P\{-1<X<2\} P{−1<X<2}；（3） Y = 2 X 2 + 1 Y=2X^2+1 Y=2X2+1的分布律.
解题：
（1）
因为
2
a
+
a
+
1
8
+
a
2
+
5
=
1
2a+a+\frac 1 8+\frac a 2+5=1
2a+a+81+2a+5=1，故
a
=
7
68
a=\frac7 {68}
a=687
（2）
P
{
−
1
<
X
<
2
}
=
P
{
X
=
0
}
+
P
{
X
=
1
}
=
1
8
+
7
136
=
3
17
\begin{aligned} P\{-1<X<2\}&=P\{X=0\}+P\{X=1\} \\&=\frac 1 8+\frac7 {136} \\&=\frac 3 {17} \end{aligned}
P{−1<X<2}=P{X=0}+P{X=1}=81+1367=173
（3）
Y
=
2
X
2
+
1
Y=2X^2+1
Y=2X2+1取值为1，3，9
| Y Y Y | 1 | 3 | 9 |
|---|---|---|---|
| P P P | 1 8 \frac 1 8 81 | 21 136 \frac {21} {136} 13621 | 49 68 \frac{49}{68} 6849 |
14、已知随机变量的
X
X
X密度函数为：
p
(
x
)
=
{
2
x
2
+
a
,
0
<
x
<
1
0
,
其他
p(x)=\begin{cases} 2x^2+a,&0<x<1\\ 0,&其他 \end{cases}
p(x)={2x2+a,0,0<x<1其他试求（1）常数
a
a
a；（2）
E
(
2
X
+
1
)
E(2X+1)
E(2X+1)；（3）
X
X
X的分布函数
F
(
x
)
F(x)
F(x).
解题：
（1）
因为
∫
0
1
(
2
x
2
+
a
)
d
x
=
2
3
+
a
=
1
\int_0^1(2x^2+a)dx=\frac 2 3+a=1
∫01(2x2+a)dx=32+a=1
故
a
=
1
3
a=\frac 1 3
a=31
（2）
E
(
2
x
+
1
)
=
∫
0
1
(
2
x
+
1
)
(
2
x
2
+
1
3
)
d
x
=
7
3
\begin{aligned} E(2x+1)&=\int_0^1(2x+1)(2x^2+\frac1 3)dx \\&=\frac 7 3 \end{aligned}
E(2x+1)=∫01(2x+1)(2x2+31)dx=37
（3）
X
X
X的分布函数
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
p
(
x
)
d
x
=
{
0
,
x
≤
0
;
2
3
x
2
+
1
3
x
,
0
≤
x
＜
1
;
1
,
x
≥
1
F(x)=\int_{-\infty}^xp(x)dx=\begin{cases} 0,&x≤0;\\ \frac 2 3x^2+\frac 1 3x,&0≤x＜1;\\ 1,&x≥1 \end{cases}
F(x)=∫−∞xp(x)dx=⎩
⎨
⎧0,32x2+31x,1,x≤0;0≤x＜1;x≥1
15.设连续型随机变量
X
X
X的密度函数为：
P
x
(
x
)
=
{
2
π
(
1
+
x
2
)
,
x
>
0
0
,
x
<
0
P_x(x)=\begin{cases} \frac 2 {\pi(1+x^2)},&x>0\\ 0,&x<0 \end{cases}
Px(x)={π(1+x2)2,0,x>0x<0求：（1）求概率
P
{
X
2
≤
3
}
P\{X^2≤3\}
P{X2≤3}；（2）
Y
=
ln
X
Y=\ln X
Y=lnX的密度函数
p
Y
(
y
)
p_Y(y)
pY(y).
解题：
（1）
P
{
X
2
≤
3
}
=
P
{
−
(
3
≤
X
≤
(
3
}
=
∫
−
(
3
0
0
d
x
+
∫
0
(
3
2
π
(
1
+
x
2
)
d
x
=
2
π
arctan
∣
0
(
3
=
2
3
\begin{aligned} P\{X^2≤3\}&=P\{-\sqrt{\mathstrut 3}≤X≤\sqrt{\mathstrut 3}\} \\&=\int_{-\sqrt{\mathstrut 3}}^00dx+\int_0^{\sqrt{\mathstrut 3}}\frac 2 {\pi(1+x^2)}dx \\&=\frac 2 \pi \arctan|_0^{\sqrt{\mathstrut 3}} \\&=\frac 2 3 \end{aligned}
P{X2≤3}=P{−(3≤X≤(3}=∫−(300dx+∫0(3π(1+x2)2dx=π2arctan∣0(3=32
（2）
y
=
ln
x
y=\ln x
y=lnx在
0
<
x
<
+
∞
0<x<+\infty
0<x<+∞的反函数
x
=
e
y
x=e^y
x=ey，
−
∞
<
y
<
+
∞
-\infty<y<+\infty
−∞<y<+∞
且
x
、
=
e
y
x^、=e^y
x、=ey
Y
=
ln
X
Y=\ln X
Y=lnX的密度函数
P
Y
(
y
)
=
2
e
y
π
(
1
+
e
2
y
)
,
−
∞
<
y
<
+
∞
P_Y(y)=\frac {2e^y} {\pi(1+e^{2y})},-\infty<y<+\infty
PY(y)=π(1+e2y)2ey,−∞<y<+∞
16.设二维随变量
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)的密度函数为
p
(
x
,
y
)
=
{
1
8
(
6
−
x
−
y
)
0
<
x
<
2
,
2
<
y
<
4
0
其他
p(x,y)=\begin{cases} \frac 1 8(6-x-y)&0<x<2,2<y<4 \\0&其他 \end{cases}
p(x,y)={81(6−x−y)00<x<2,2<y<4其他求（1）边缘密度函数
p
X
(
x
)
p_X(x)
pX(x)；（2）
p
(
X
+
Y
≤
4
)
p(X+Y≤4)
p(X+Y≤4).
解题：
（1）边缘密度函数
p
X
(
x
)
=
∫
−
∞
+
∞
p
(
x
,
y
)
d
y
=
{
∫
2
4
1
8
(
6
−
x
−
y
)
d
y
,
0
<
x
<
2
′
0
,
其他，
=
{
1
4
(
3
−
x
)
,
0
<
x
<
2
;
0
,
其他，
\begin{aligned} p_X(x)&=\int_{-\infty}^{+\infty}p(x,y)dy \\&=\begin{cases}\int_2^4\frac1 8(6-x-y)dy,&0<x<2'\\0,&其他， \end{cases} \\&=\begin{cases} \frac 14 (3-x),&0<x<2;\\ 0,&其他， \end{cases} \end{aligned}
pX(x)=∫−∞+∞p(x,y)dy={∫2481(6−x−y)dy,0,0<x<2′其他，={41(3−x),0,0<x<2;其他，
（2）
p
{
X
+
Y
≤
4
}
=
∬
x
+
y
≤
4
p
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
2
4
d
y
∫
0
4
−
y
1
8
(
6
−
x
−
y
)
d
x
=
2
3
\begin{aligned} p\{X+Y≤4\}&=\small\iint_{\mathclap{x+y≤4}}p(x,y)dxdy\\&=\int_2^4dy\int_0^{4-y}\frac1 8(6-x-y)dx \\&=\frac2 3 \end{aligned}
p{X+Y≤4}=∬x+y≤4p(x,y)dxdy=∫24dy∫04−y81(6−x−y)dx=32
17.设随机变量
(
X
,
Y
)
(X,Y)
(X,Y)的分布律为
Y
/
X
1
2
3
0
0.2
0.1
0.1
−
1
0.15
0.2
0.25
\begin{array}{c|lcr} Y/X & \text{1} & \text{2} & \text{3} \\ \hline 0 & 0.2 & 0.1 & 0.1 \\ -1 & 0.15 & 0.2 & 0.25 \\ \end{array}
Y/X0−110.20.1520.10.230.10.25（1）求
X
X
X及
Y
Y
Y的边缘分布律，并判断
X
X
X与
Y
Y
Y的独立性；（2）求
Z
=
X
+
Y
Z=X+Y
Z=X+Y的分布律.
解题：
(1)
X
X
X的边缘分布律
X
1
2
3
P
0.35
0.3
0.35
\begin{array}{c|lcr} X & \text{1} & \text{2} & \text{3} \\ \hline P & 0.35 & 0.3 & 0.35 \\ \end{array}
XP10.3520.330.35
Y
Y
Y的边缘分布律
Y
0
-1
P
0.4
0.6
\begin{array}{c|lcr} Y & \text{0} & \text{-1} \\ \hline P & 0.4 & 0.6\\ \end{array}
YP00.4-10.6
因为
P
{
X
=
1
,
Y
=
0
}
=
0.2
≠
P
{
X
=
1
}
P
{
Y
=
0
}
=
0.35
×
0.4
=
0.14
P\{X=1,Y=0\}=0.2≠P\{X=1\}P\{Y=0\}=0.35×0.4=0.14
P{X=1,Y=0}=0.2=P{X=1}P{Y=0}=0.35×0.4=0.14
故
X
X
X与
Y
Y
Y不独立
（2）
Z
=
X
+
Y
Z=X+Y
Z=X+Y的取值为0、1、2、3，其分布律
X
0
1
2
3
P
0.15
0.4
0.35
0.1
\begin{array}{c|lcr} X & \text{0} & \text{1} &\text{2}& \text{3} \\ \hline P & 0.15 & 0.4 & 0.35 & 0.1\\ \end{array}
XP00.1510.420.3530.1
18.设
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
X_1,X_2,...,X_n
X1,X2,...,Xn是取自总体
X
X
X的简单随机样本，且总体
X
X
X的密度函数为：
p
(
x
)
=
{
θ
x
θ
−
1
,
0
<
x
<
1
,
0
,
其他
p(x)=\begin{cases} \theta x^{\theta -1},&0<x<1,\\ 0,&其他 \end{cases}
p(x)={θxθ−1,0,0<x<1,其他其中
θ
>
0
\theta>0
θ>0未知，求（1）
θ
\theta
θ的矩估计量；（2）
θ
\theta
θ的极大似然估计量.
解题：
（1）
a
1
=
E
X
=
∫
0
1
x
p
(
x
)
d
x
=
∫
0
1
θ
x
θ
d
x
=
θ
1
+
θ
\begin{aligned} a_1=EX&=\int_0^1xp(x)dx\\&=\int_0^1\theta x^\theta dx \\&=\frac \theta {1+\theta} \end{aligned}
a1=EX=∫01xp(x)dx=∫01θxθdx=1+θθ
故
θ
=
a
1
1
−
a
1
\theta = \frac {a_1} {1-a_1}
θ=1−a1a1
则
θ
\theta
θ的矩估计量
θ
^
=
X
ˉ
1
−
X
ˉ
\hat{\theta}=\frac {\=X} {1-\=X}
θ^=1−XˉXˉ.
（2）
后面都用照片来写/(ㄒoㄒ)/~~，打公式太慢了~
✨三、应用题（10分）
19、设甲乙两袋，甲袋中有
n
n
n只白球，
m
m
m只红球，乙袋中有
N
N
N只白球，
M
M
M只红球，今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，(1)从乙袋取到白球的概率：(2)现发现从乙袋取到的球为红球，问从甲袋取的球放入乙袋也是红球的概率是多少？
✨附上原笔记图片（祝大家考试顺利）
