【每日一题Day211】LC1079活字印刷 | 回溯 计数dp

news2024/12/23 16:29:14

活字印刷【LC1079】

你有一套活字字模 tiles,其中每个字模上都刻有一个字母 tiles[i]。返回你可以印出的非空字母序列的数目。

**注意:**本题中,每个活字字模只能使用一次。

我反正是写的相当暴力

计数+回溯

  • 思路:

    为了构成不同的字母序列,每一个位置相同的字母只能使用一次。

    • 因此可以预处理每个字符出现的次数,然后使用回溯枚举每个位置字母的使用情况,并使用全局变量记录结果。
    • 每层有一个选择时,数量加1
  • 实现

    class Solution {
        public int numTilePossibilities(String tiles) {
            int[] cnt = new int[26];
            for (char c : tiles.toCharArray()) {
                ++cnt[c - 'A'];
            }
            return dfs(cnt);
        }
    
        private int dfs(int[] cnt) {
            int res = 0;
            for (int i = 0; i < cnt.length; ++i) {
                if (cnt[i] > 0) {
                    ++res;
                    --cnt[i];
                    res += dfs(cnt);
                    ++cnt[i];
                }
            }
            return res;
        }
    }
    
    作者:ylb
    链接:https://leetcode.cn/problems/letter-tile-possibilities/solutions/2275545/python3javacgotypescript-yi-ti-yi-jie-ji-cxp7/
    来源:力扣(LeetCode)
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。
    
    • 复杂度

      • 时间复杂度: O ( m ∗ m ! ) O(m*m!) O(mm!),m为字符串中的字符种类数量
      • 空间复杂度: O ( m ) O(m) O(m)

计数dp

  • 思路

    考虑每一长度的序列,取哪几种字符每种字符又放多少个组成的序列有多少种,可以找到子问题,因此可以使用dp解决

    • 子问题:

      image-20230519095929292

    • 定义状态: d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]表示用前 i i i种字符构造长为 j j j的序列的方案数

    • 状态转移:设第 i i i种字符有 c n t cnt cnt

      • 如果一个也不选,那么 d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i][j]=dp[i-1][j] dp[i][j]=dp[i1][j]

      • 如果选 k k k个,那么需要从 j j j个位置中选 k k k个放第 i i i种字符,其余位置就是用前 i − 1 i-1 i1种字符构造长为 j − k j-k jk的序列的方案数,于是有
        d p [ i ] [ j ] = ∑ k = 0 m i n ( j , c n t ) d p [ i − 1 ] [ j − k ] ∗ ( j k ) dp[i][j]= \sum _{k = 0} ^{min(j,cnt)} dp[i-1][j-k]* \left( \begin{array}{lc} {j} \\{k} \end{array} \right) dp[i][j]=k=0min(j,cnt)dp[i1][jk](jk)

    • 初始值: d p [ 0 ] [ 0 ] = 1 dp[0][0]= 1 dp[0][0]=1

    • 最终答案: ∑ j = 1 n d p [ m ] [ j ] \sum _{j=1} ^{n} dp[m][j] j=1ndp[m][j]

  • 实现

    • 首先预处理组合数,通过选或者不选有以下性质
      $$
      \left( \begin{array}{lc} {n} \{k} \end{array} \right)

      \left( \begin{array}{lc} {n-1} \{k-1} \end{array} \right)+\left( \begin{array}{lc} {n-1} \{k} \end{array} \right)
      $$

    • 然后统计每种字符的数目

    • 然后进行dp

    class Solution {
        private static final int MX = 8;
        private static final int[][] c = new int[MX][MX];
    
        static {
            for (int i = 0; i < MX; i++) {
                c[i][0] = c[i][i] = 1;
                for (int j = 1; j < i; j++)
                    c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]; // 预处理组合数
            }
        }
    
        public int numTilePossibilities(String tiles) {
            int[] counts = new int[26];// 统计每个字母的出现次数
            for (var c : tiles.toCharArray())
                counts[c - 'A']++;
            int m = counts.length, n = tiles.length();
            var f = new int[m + 1][n + 1];
            f[0][0] = 1; // 构造空序列的方案数
            int i = 1;
            for (var cnt : counts) { // 枚举第 i 种字母
                for (int j = 0; j <= n; j++) // 枚举序列长度 j
                    for (int k = 0; k <= j && k <= cnt; k++) // 枚举第 i 种字母选了 k 个
                        f[i][j] += f[i - 1][j - k] * c[j][k];
                i++;
            }
            int ans = 0;
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                ans += f[m][j];
            return ans;
        }
    }
    
    作者:灵茶山艾府
    链接:https://leetcode.cn/problems/letter-tile-possibilities/solutions/2275356/on2-ji-shu-dppythonjavacgo-by-endlessche-hmez/
    来源:力扣(LeetCode)
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。
    
    • 复杂度

      • 时间复杂度: O ( n ) \mathcal{O}(n) O(n),n为字符串的长度。虽然写了个三重循环,但换个角度,对于一个固定的 j j j,最内层的循环次数之和,约为所有字母的出现次数之和,即 O ( n ) \mathcal{O}(n) O(n)。相当于最外层和最内层合起来是一个 O ( n ) \mathcal{O}(n) O(n)的循环。所以三重循环的时间复杂度为 O ( n 2 ) \mathcal{O}(n^2) O(n2)
      • 空间复杂度: O ( n 2 ) \mathcal{O}(n^{2}) O(n2),忽略预处理组合数的时间和空间

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