问题引出

全排列问题

题目描述

按照字典序输出自然数 $1$ 到 $n$ 所有不重复的排列，即 $n$ 的全排列，要求所产生的任一数字序列中不允许出现重复的数字。

输入格式

一个整数 $n$。

输出格式

由 $1\sim n$ 组成的所有不重复的数字序列，每行一个序列。

每个数字保留 $5$ 个场宽。

样例 #1

样例输入 #1

3

样例输出 #1

1    2    3
    1    3    2
    2    1    3
    2    3    1
    3    1    2
    3    2    1

提示

$1\le n\le 9$。

方法一：DFS深度优先搜索+剪枝

我们以N=3为例，构造一棵搜索树（或说是状态树）来进行搜索。
同时构造出三个格子，用来存放搜索树中的结果。
现在，我们从第一格开始搜索。第一格填1的搜索树如下：

所以N=3的情况下，第一格填1的排列情况共有两种123,132.
第一格填2的搜索树如下：

所以N=3的情况下，第一格填2的排列情况共有两种 213,231
如果你看懂了，请你自己画画第一格填3的搜索树
我们总结一下在上一部分中的思路在程序中如何实现:

先定义两个数组，一个是用来存放解的，一个是用来标记该数是否用过。
我们可以先写一个用于打印的函数print()，每当深搜时找到一个符合条件的解时，则print()一下，输出这个解（注意题目输出要求）。
接下来就是写深搜的函数了。主要思路：先判断格子是否填满了，如果填满，则print()一下。
如果没有填满，则开始循环，在循环中先判断当前填的数是否用过，如果没有，则填入，搜索下一格。

程序实现如下：

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
int pd[11]={0};//pd数组用于记录某个数字是否被使用过
int used[11];//used数组用于记录一个序列，如1,3,2或者3,1,2等等
int n;
//提前定义一个print函数方便待会进行输出
void print()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cout<<setw(5)<<used[i];
    }
    cout<<endl;
}
//定义深度优先函数进行遍历搜索
void dfs(int k)
{
    if(k==n)
    {
        print();
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (!pd[i])//如果当前数没有用过
        {
            pd[i]=1;//标记一下
            used[k+1]=i;//把这个数填入数组
            dfs(k+1);//填下一个
            pd[i]=0;//回溯
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    dfs(0);
}

为了方便理解，我画出了第一格填1和第一格填2时函数的运行过程图：

方法二：利用 $C++<algorithm>$库自带函数

在$C++algorithm$库当中里有一个函数，全排列函数：
next_permutation！
我管他叫字典排函数；
这个函数每运行一次就可以把数组排成下一个字典排数列；与之对应的是prev_permutation，即排出上一个字典序； $algorithm$里有好多实用的函数，建议大家百度一下；
回到题上，我们怎样求出所有的组合呢？这是个组合排列问题，形如下图：

那么现在我们做的就是从n个数种拿n个数排列；也就是有n！种排列；理论完毕，代码如下：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
int main()
{
    int n,num=1,a[12];
    cin>>n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        num*=i;
        a[i]=n-i+1;//为了使用next_permutation函数，我们得倒着放
    }
    for (int i = 1; i <= num; i++)
    {
        next_permutation(a+1,a+n+1);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            cout<<setw(5)<<a[i];
        }
        cout<<endl;
    }
}