2023年美国大学生数学建模竞赛

A题 受干旱影响的植物群落

原题再现：

  背景介绍
  不同种类的植物以不同的方式对压力作出反应·例如，草场对干旱相当敏感，干旱发生的频率和严重程度各不相同。
  许多观察表明不同物种的数量对植物群落在连续几代人暴露于干旱周期时的适应性起作用。在一些只有一种植物的群落中，随后的几代人对干旱条件的适应性不如有四个或更多物种的群落中的单个植物，这些观察结果提出了许多问题。例如，一个植物群落从这种局部生物多样性中受益所需的最小物种数量是多少?随着物种数量的增加，这种现象是如何扩展的?这对一个植物群落的长期生存能力意味着什么?
  要求
  考虑到干旱适应性与植物群落中物种数量的关系，你的任务是探索并更好地理解这一现象。具体来说，你应该
  建立一个数学模型，预测一个植物群落在各种不规则的天气周期中如何随时间变化。在降水丰富的时候﹐要包括干旱的时候·该模型应考虑到干旱周期中不同物种之间的相互作用。
  就植物群落与大环境的长期相互作用，探讨你能从你的模型中得出什么结论。请考虑以下问题。
  社区需要多少种不同的植物物种才能受益，随着物种数量的增加会发生什么?
  社区中的物种类型如何影响你的结果?
  在未来的天气周期中，干旱发生的频率更高，变化更广。会有什么影响?如果干旱发生的频率降低﹐物种的数量对总人口的影响是否相同?
  污染和栖息地减少等其他因素如何影响你的结论?
  你的模型表明，为确保-一个植物群落的长期生存能力，应该做些什么，对大环境有什么影响?

整体求解过程概述(摘要)

  随着全球变暖以来严重干旱的增加，许多植物群落因缺水而死亡，而其他植物群落可以在干旱后恢复。为了探索这一现象，我们开发了GIID模型来描述群落对干旱的反应，并分析物种多样性是否可以帮助群落抵御干旱。

  在建立所有模型之前，我们选择五种典型的植物物种，并根据其固有生长速度和最佳土壤湿度将它们分为三类。此外，我们估计模型中使用的参数。

  对于任务1：为了模拟植物生长和种间竞争，我们首先开发了Lotka-Volterra竞争模型。然后，考虑到每个物种的最佳土壤湿度，我们将它们的环境容量设置为土壤湿度的函数。最后，对土壤水分变化进行建模，以描述植物与环境之间的相互作用。我们考虑植物的吸水率、不规则的降雨和其他因素。我们总结了这些分析并设计了我们的GIID模型。然后，我们验证模型的正确性。结果如图 7 所示。

  对于任务2：首先，我们进行定性分析，发现五种群落在干旱中更稳定。为了量化群落如何从物种多样性中受益，我们计算了总生物量、总生物量变异系数和S-W指数，分别评估生态系统的活力、稳定性和均匀性。实验结果表明，随着物种数量的增加，群落总生物量先增加后减少，稳定性和均匀性不断提高。此外，社区需要两个物种才能受益。结果如图 10 至 13 所示。

  对于任务3：为了探索物种类型的影响，我们选择了三种典型的物种组合，并分别模拟每种组合。我们发现，最佳土壤湿度适度差异的组合可以增加群落的总生物量和稳定性。如果物种的最佳土壤湿度差异太小或太大，社区将不会受益。

  对于任务4：我们调整干旱的幅度和频率，实验结果表明：当干旱越来越强、越来越频繁时，物种间的互补效应也越来越强。群落的生物量随着物种数量的增加而增加。当干旱不那么频繁时，物种之间的竞争更激烈，物种数量的增加导致总生物量的减少。物种数量的增加总是增强群落的稳定性。

  对于任务5和6：我们将栖息地丧失和环境污染的影响归因于环境能力的下降。所以我们设置了一个阶跃函数来模拟这个过程。我们发现，生境丧失和环境污染将导致群落总生物量的减少，而多物种群落在这一过程中仍将具有很高的稳定性。接下来，我们将说明确保社区长期生存能力的措施。我们还根据上述发现描述了社区对环境的影响。

  最后，我们改变了植物竞争强度、吸水率和气候条件，以便对这些参数进行敏感性分析。我们发现我们的模型对所有这些都很敏感。我们还分析了模型的优缺点，并讨论了如何改进它。

模型假设：

  假设1：每种植物的吸水率与其生物量成正比。
  理由：根据相关资料显示，当植物之间发生激烈竞争时，植物获得的每种资源都与其生物量成正比。

  假设2：影响植物生长的主要因素是土壤湿度。不同的植物生长有不同的最佳土壤湿度。
  合理性：影响植物生长的因素，如温度、湿度和阳光，在现实世界中是耦合的。然而，我们只关注极端干旱下植物群落的生长。因此，为了简化我们的模型，我们忽略了其他因素，只考虑了土壤湿度。当植物在适度的土壤湿度下生长时，它会生长得很快，但在缺水或淹没时就不能生长。所以有一个最佳的土壤湿度。

  假设3：在适当的条件下，所有植物都具有共同的环境能力。
  理由：大多数植物都是生产者，并以相同的方式获取能量（全部来自光合作用）。在适当的条件下，它们都有机会吸收栖息地中的所有太阳能。因此，它们可以达到相同的最大生物量，这意味着它们具有相同的环境容量。

  假设4：在我们的研究中，没有考虑植物入侵和气候模式突然变化等意外事件的影响。
  合理性：虽然植物生长在自然环境中，为了简化我们的模型，我们假设植物群落处于相对封闭的环境中。因此，没有入侵物种，也没有气候模式的大规模快速变化。

  假设5：在植物群落中，唯一的水源是降水。
  合理性：社区可能有多种方式获得水，例如露水、雾和降水。由于露水和雾携带的水很少，我们忽略了它们的影响，只考虑降水。

问题重述：

  根据要求，我们首先应该开发一个数学模型，以预先判断植物群落在暴露于各种不规则天气周期时如何随时间变化。我们需要考虑干旱周期中不同植物物种之间的相互作用。

  其次，我们应该将我们的模型扩展到长期和更大的环境。

  第三，我们需要进一步讨论植物物种数量与植物群落获得的效益之间的关系，并探讨物种数量增加时会发生什么。此外，我们应该注意物种类型对我们之前获得的结果的影响。

  我们还需要研究干旱下物种数量是否会对植物总种群产生相同的影响，频率或更低，变化范围更大。然后我们应该考虑其他因素，如污染和栖息地减少等。考虑。

  最后，根据上述所有结果，我们应该弄清楚需要做些什么来确保群落的生存能力以及植物群落对更大环境的影响是什么。

模型的建立与求解整体论文缩略图

全部论文请见下方“ 只会建模 QQ名片” 点击QQ名片即可

部分程序代码：(代码和文档not free)

f u n c t i o n D=k5 (m, n )
D = n ;
Q1 = w e a t h e r 1 ( ) ;
Q2 = w e a t h e r 2 ( ) ;
o p t i o n s = o d e s e t ( ’ RelTol ’ ,1E−4, ’ AbsTol ’ , [ 1 E−5 ,1E−5 ,1E−5 ,1E−5 ,1E−5])
;
[ T ,XYZPQ] = ode45 (@( t , y ) zq5 ( t , y , Q1 , Q2 ) ,m, D, o p t i o n s ) ;
p l o t ( T ,XYZPQ ( : , 1 ) , ’ c o l o r ’ , ’ #B395DF ’ , ’ LineWidth ’ , 1 . 5 ) ;
hold on
p l o t ( T ,XYZPQ ( : , 2 ) , ’ c o l o r ’ , ’ #86A8E5 ’ , ’ LineWidth ’ , 1 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−−
’ ) ;
hold on
p l o t ( T ,XYZPQ ( : , 3 ) , ’ c o l o r ’ , ’ #CD5C5C ’ , ’ LineWidth ’ , 1 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−’
) ;
hold on
p l o t ( T ,XYZPQ ( : , 4 ) , ’ c o l o r ’ , ’ #E79FA6 ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’
) ;
hold on
p l o t ( T ,XYZPQ ( : , 5 ) , ’ c o l o r ’ , ’ #A6B9A1 ’ , ’ LineWidth ’ , 1 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ −.
’ ) ;
x0 = XYZPQ( end : end , 1 ) ;
y0 = XYZPQ( end : end , 2 ) ;
z0 = XYZPQ( end : end , 3 ) ;
p0 = XYZPQ( end : end , 4 ) ;
q0 = XYZPQ( end : end , 5 ) ;
D = [ x0 , y0 , z0 , p0 , q0 ] 

全部论文请见下方“ 只会建模 QQ名片” 点击QQ名片即可