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算法效率

如何衡量一个算法的好坏

算法的复杂度

时间复杂度

时间复杂度的概念

大O的渐进表示法  

常见时间复杂度计算举例                

例一：                                            

例二：

例三：

例四： 

 例五：

 例六：  

 例七： 

 例八： 

空间复杂度

 例一： 

 例二： 

 例三： 

常见复杂度对比 

复杂度的oj练习 

好题分享

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算法效率

如何衡量一个算法的好坏

        通过算法的时间复杂度和空间复杂度！

算法的复杂度

        算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度

时间复杂度的概念

        找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。 

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 }
}
 
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
 ++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
 ++count;
}
printf("%d\n", count);
}

        第一段执行n*n次

        第二段执行2*n次

        第三段执行10次

准确的实间复杂度函数式是：

 

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：

O(n） 

        随着n越大，后两项对结构影响几乎可以忽略不计！

        通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。    

常见时间复杂度计算举例                

例一：                                            

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

        实际：F(N) = 2*N+10  

        基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

例二：

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

        基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

ps:

• 不知道M和N的大小        O（N+M)
• N远大于M                      O（N）
• M远大于N                      O（M）
• M和N差不多                  O（M）或 O（N）

例三：

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

例四： 

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );

        这个函数是查找一个字符！

内部实现为：

while（*str）
{
    if(*str == character)
        return str;
    else
        ++str
}
return NULL;

 例五：

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

 例六：  

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
 while (begin <= end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid-1;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
}

 例七： 

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
 if(0 == N)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

         通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)

 例八： 

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

 例一： 

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

         使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

 例二： 

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
 if(n==0)
 return NULL;
 
 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 return fibArray;
}

        动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N) 

 例三： 

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

         递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

常见复杂度对比 

复杂度的oj练习 

面试题 17.04. 消失的数字 - 力扣（LeetCode）

int missingNumber(int* nums, int numsSize){
    int x = 0;
    for(int i = 0;i < numsSize;++i)
    {
        x ^= nums[i];        
    }
    for(int j = 0;j < numsSize+1;++j)
    {
        x ^=j;
    }
    return x;
}

 

189. 轮转数组 - 力扣（LeetCode）

void reverse(int* a, int left, int right)
{
    while(left < right)
    {
        int tmp = a[left];
        a[left] = a[right];
        a[right] = tmp;
        ++left;
        --right;
    }
}

void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
    k = k % numsSize;
    reverse(nums,numsSize - k, numsSize - 1);
    reverse(nums,0, numsSize - k - 1);
    reverse(nums, 0, numsSize - 1);
}

 

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1.下列有关大O表示法的说法错误的是

        A.大O表示法只是对程序执行时间的一个估算

        B.大O表示法只保留最高阶项

        C.大O表示法会保留一个系数来更准确的表示复杂度

        D.大O表示法一般表示的是算法最差的运行时间

 答案解析：

答案：C

解析：大O是一个渐进表示法，不会去表示精确的次数，cpu的运算速度很快，估计精确的没有意义。

2. 分析以下程序的时间复杂度

for(int i=0;i<n;i++)
  for(int j=0;j<n;j++)
    a[i][j]=i*j;

        A.O(n)

        B.O(n^2)

        C.O(nlogn)

        D.O(logn)

 答案解析：

答案：B

解析：

程序有两次循环，每个循环都有n次操作，所以时间复杂度为n^2

3.分析以下函数的时间复杂度 

void fun(int n) {
  int i=l;
  while(i<=n)
    i=i*2;
}

        A.O(n)

        B.O(n^2)

        C.O(nlogn)

        D.O(logn)

 答案解析：

答案：D

解析: 此函数有一个循环，但是循环没有被执行n次，i每次都是2倍进行递增，所以循环只会被执行log2(n)次。

4.下面算法的时间复杂度是（   ） 

 int f ( unsigned int n ) {
    if (n == 0 || n==1) 
      return 1;
    else 
      return n * f(n-1);
  }

        A.O(n)

        B.O(n^2)

        C.O(nlogn)

        D.O(logn)

 答案解析：

答案：A

解析：

此函数会被递归调用n - 1次，每次操作都是一次，所以时间复杂度为n

 5.给定一个整数sum，从有N个有序元素的数组中寻找元素a，b，使得a+b的结果最接近sum，最快的平均时间复杂度是（   ）

        A.O(n)

        B.O(n^2)

        C.O(nlogn)

        D.O(logn)

 答案解析：

答案：A

解析：

此题目中，数组元素有序，所以a,b两个数可以分别从开始和结尾处开始搜，根据首尾元素的和是否大于sum,决定搜索的移动，整个数组被搜索一遍，就可以得到结果，所以最好时间复杂度为n

6.设某算法的递推公式是T(n)=T(n-1)+n，T(0)=1，则求该算法中第n项的时间复杂度为（）

        A.O(n)

        B.O(n^2)

        C.O(nlogn)

        D.O(logn)

 答案解析：

答案：A

解析：

T(n)

=T(n-1)+n

=T(n-2)+(n-1)+n

=T(n-3)+(n-2)+(n-1)+n

...

=T(0)+1+2+...+(n-2)+(n-1)+n

=1+1+2+...+(n-2)+(n-1)+n

从递推公式中可以看到，第n项的值等于1到n的累加值，需要遍历n个元素

所以时间复杂度为n