线段树-哈工大数据结构与算法作业

news2024/11/27 8:10:29

title: 线段树-哈工大作业
date: 2023-05-16 11:42:26
tags: 数据结构与算法

  1. 线段树

问题：

区间查询求和问题:给定一个含有n个整数序列的数组A，查询任意区间最大值与区间和的复杂度为O(n)，若进行m次查询，则总的复杂度为O(mn)。

设计一个数据结构(线段树)，优化区间查询与求和操作，使其时间复杂度为O(logn)。举例描述说明:

1该数据结构的节点与结构;
2建立与更新（数组A中某一个元素值更新时）数据结构的具体步骤;
3任意区间查询与求和操作的具体步骤。

提示:更新数据结构时，采用延迟更新策略，即，更新时，不立即进行更新操作，只标记这个点需要更新，真正使用时（如查询时）才进行更新。

git地址：https://github.com/944613709/HIT-Data-Structures-and-Algorithms

举例说明：（代码在最后一起展示）

1、该数据结构的节点与结构;

1****结点：

typedef long long ll;

struct TREE

{

int l,r;//代表节点维护的区间范围;代表了a[l]->a[r] 

ll SUM; 代表了a[l]->a[r]的值的sum总和 

ll lazy; //涉及lazy标记的东西;

ll Max;//代表了a[l]->a[r]的值的最大值

}t[MAXN << 2];

L,r代表的是区间Data[l]->Data[r]

SUM代表的是这个区间的所有值的总和

Lazy标记用于采用延迟更新策略

Max代表的是这个区间的所有值的最大值

2****结构：

采用线段树来优化区间查询，每一个结点储存着Data[L]->Data[R]的信息，其中叶节点的L=R，不断地将大区间划分为小区间，利用递归建立线段树，

举例A【1】到A【6】的线段树

扫描全能王 2021-11-23 18.24_2扫描全能王 2021-11-23 18.24_3

2、建立与更新（数组A中某一个元素值更新时）数据结构的具体步骤;

建立：

若为叶子结点，直接赋值；否则根据构造左右子树得到该结点的值

1. 建立线段树

\1. 如果l == r情况则直接将SUM和Max 赋值为a[l]

\2. 如果l！=r情况，则递归建立线段树

(1) 定义Mid = t[p].l + t[p].r >> 1;

(2) 递归调用build(lson§,l,mid);处理左子树

(3) 递归调用build(rson§,mid + 1,r);处理右子树

(4) 回溯后将子节点信息保存下来t[p].SUM = t[lson§].SUM + t[rson§].SUM；t[p].Max = max(t[lson§].Max,t[rson§].Max);

举例A[1]=1,A[2]=2,A[3]=3,A[4]=4建立线段树

扫描全能王 2021-11-23 18.24_4

更新：

(1) 单个数值修改线段树（数组A中某一个元素值更新时），可以借助于已有的区间修改，不如想要将令A[L]的值变成y，利用区间更新函数等价于将从A[L]到A[L]的值都加入value =y-A[L]

而区间更新具体方法：

1、如果当前区间被完全覆盖在目标区间里，修改sum和max

2.如果没有完全覆盖，则先下传lazy

3、如果这个区间的左儿子和目标区间有交集，那么搜索左儿子

​ 4、如果这个区间的右儿子和目标区间有交集，那么搜索右儿子

\2. 区间更新线段树update函数

(1) 如果区间被覆盖的情况

① 直接进行修改

② t[p].SUM += value * (t[p].r - t[p].l + 1);

③ t[p].Max += value;

④ t[p].lazy += value;

⑤ Return结束

(2) 如果区间没有被覆盖的情况

① 执行push_down（p）函数，执行向下更新左右儿子结点的数据

\1) 当lazy不为零的时候，将左右儿子的值利用lazy修改左右儿子的SUM和Max

\2) 将当前p的lazy下传给左右儿子的lazy

\3) 当前p的lazy清零

② 定义mid = t[p].l + t[p].r >> 1便于后续判断

\1) 如果覆盖了左儿子就修改左儿子update(lson§,l,r,value)

\2) 如果覆盖了右儿子就修改右儿子update(rson§,l,r,value)

③ 更新当前p结点的Sum和Max数据

\3. 单个数值修改线段树（数组A中某一个元素值更新时）

(1) 令Data[L]的值变成y，利用区间更新函数等价于将Data[L]->Data[L]的值都加入value =y-Data[L]

(2) update(1,l,l,value);

举例：

更新A【1】修改为2（假定A[1]=1,A[2]=2,A[3]=3,A[4]=4建立线段树）****扫描全能王 2021-11-23 19.15_1

举例：

更新A【1】到A【3】的值都加入1（假定A[1]=1,A[2]=2,A[3]=3,A[4]=4建立线段树）

扫描全能王 2021-11-23 18.45_1

**3、**任意区间查询与求和操作的具体步骤。

1、如果当前区间被完全覆盖在目标区间里，直接return

2、如果没有完全覆盖，则先pushdown执行向下更新左右儿子结点的数据

3、如果这个区间的左儿子和目标区间有交集，那么处理左儿子

​ 4、如果这个区间的右儿子和目标区间有交集，那么处理右儿子

\4. 查询区间和querySum函数

(1) 如果区间被覆盖

① 直接返回区间的数据Returnt [p].SUM

(2) 如果区间没有被覆盖

① 执行push_down（P），执行向下更新左右儿子结点的数据

\1) 当lazy不为零的时候，将左右儿子的值利用lazy修改左右儿子的SUM和Max

\2) 将当前p的lazy下传给左右儿子的lazy

\3) 当前p的lazy清零

② 定义mid = t[p].l + t[p].r >> 1;方便后续判断

③ 如果(l <= mid)需要查询左儿子，就加入整理左儿子的数据sum += querySum(lson§,l,r)

④ 如果(r > mid)，如要查询右儿子，就加入整理右儿子的数据sum += querySum(rson§,l,r);

⑤ 返回return sum

\5. 查询区间最大值query_Max函数

(1) 如果区间被覆盖

① 直接return t[p].Max

(2) 如果区间没有被覆盖

① 定义mid = t[p].l + t[p].r >> 1;方便后续判定

② 定义maxL = -inf,maxR = -inf;

③ 如果(l <= mid)需要查询左儿子，则查左儿子的最大值maxL = max(maxL,query_Max(lson§,l,r));

④ 如果(r > mid)需要查询右儿子，则查询右儿子最大值maxR = max(maxR,query_Max(rson§,l,r));

(3) 返回 左右子树的最大值

举例：

查询A【2】到A【4】的区间和，最大值（假定，A[1]=1,A[2]=2,A[3]=3,A[4]=4建立线段树，并且已经更新A【1】到A【3】的值都加入1）

扫描全能王 2021-11-23 18.45_3扫描全能王 2021-11-23 18.45_4

得到查询结果

算法思想： 采用线段树来优化区间查询，每一个结点储存着Data[L]->Data[R]的信息，其中叶节点的L=R，不断地将大区间划分为小区间，利用递归建立线段树，在利用这些区间进行修改和查询。而在进行更新数据时候利用延迟标记lazy标记，如果当前区间需要被修改的区间被完全覆盖就用lazy标记，在下一次查询或者更新时候才调用lazy下传和清零修改

算法步骤

\6. 结点：

struct tree

{

int l,r;//代表节点维护的区间范围;代表了a[l]->a[r] 

ll SUM; //代表该节点维护的值;//!!!!!!!!!sum总和 

ll lazy; //涉及lazy标记的东西;

ll Max;//最大值

}t[MAXN << 2];

L,r代表的是区间Data[l]->Data[r]

SUM代表的是这个区间的所有值的总和

Lazy标记用于采用延迟更新策略

Max代表的是这个区间的所有值的最大值

ll Data[MAXN];，数组Data代表这每一个区间的一块地点存储的值

7. 建立线段树

\3. 如果l == r情况则直接将SUM和Max 赋值为a[l]

\4. 如果l！=r情况，则递归建立线段树

(1) 定义Mid = t[p].l + t[p].r >> 1;

(2) 递归调用build(lson§,l,mid);处理左子树

(3) 递归调用build(rson§,mid + 1,r);处理右子树

(4) 回溯后将子节点信息保存下来t[p].SUM = t[lson§].SUM + t[rson§].SUM；t[p].Max = max(t[lson§].Max,t[rson§].Max);

\8. 区间更新线段树update函数

(1) 如果区间被覆盖的情况

① 直接进行修改

② t[p].SUM += value * (t[p].r - t[p].l + 1);

③ t[p].Max += value;

④ t[p].lazy += value;

⑤ Return结束

(2) 如果区间没有被覆盖的情况

① 执行push_down（p）函数，执行向下更新左右儿子结点的数据

\1) 当lazy不为零的时候，将左右儿子的值利用lazy修改左右儿子的SUM和Max

\2) 将当前p的lazy下传给左右儿子的lazy

\3) 当前p的lazy清零

② 定义mid = t[p].l + t[p].r >> 1便于后续判断

\1) 如果覆盖了左儿子就修改左儿子update(lson§,l,r,value)

\2) 如果覆盖了右儿子就修改右儿子update(rson§,l,r,value)

③ 更新当前p结点的Sum和Max数据

\9. 单个数值修改线段树（数组A中某一个元素值更新时）

(1) 令Data[L]的值变成y，利用区间更新函数等价于将Data[L]->Data[L]的值都加入value =y-Data[L]

(2) update(1,l,l,value);

\10. 查询区间和querySum函数

(1) 如果区间被覆盖

① 直接返回区间的数据Returnt [p].SUM

(2) 如果区间没有被覆盖

① 执行push_down（P），执行向下更新左右儿子结点的数据

\1) 当lazy不为零的时候，将左右儿子的值利用lazy修改左右儿子的SUM和Max

\2) 将当前p的lazy下传给左右儿子的lazy

\3) 当前p的lazy清零

② 定义mid = t[p].l + t[p].r >> 1;方便后续判断

③ 如果(l <= mid)需要查询左儿子，就加入整理左儿子的数据sum += querySum(lson§,l,r)

④ 如果(r > mid)，如要查询右儿子，就加入整理右儿子的数据sum += querySum(rson§,l,r);

⑤ 返回return sum

\11. 查询区间最大值query_Max函数

(1) 如果区间被覆盖

① 直接return t[p].Max

(2) 如果区间没有被覆盖

① 定义mid = t[p].l + t[p].r >> 1;方便后续判定

② 定义maxL = -inf,maxR = -inf;

③ 如果(l <= mid)需要查询左儿子，则查左儿子的最大值maxL = max(maxL,query_Max(lson§,l,r));

④ 如果(r > mid)需要查询右儿子，则查询右儿子最大值maxR = max(maxR,query_Max(rson§,l,r));

(3) 返回 左右子树的最大值

测试样例：img

imgimg

具体代码

\#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

\#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))

\#define IOS ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);

const double PI = acos(-1.0);

const ll MAXN = 2e5 + 10;

const ll mod = 998244353;

const ll inf = 1e18;

const ll mo = 1e9+7;

int n,m,mx;

ll Data[MAXN];//代表这每一个区间的一块地点存储的值 

struct TREE

{

  int l,r;//代表节点维护的区间范围;代表了a[l]->a[r] 

  ll SUM; !!!!!!!!!sum总和 

  ll lazy; //涉及lazy标记的东西;

  ll Max;//最大值

}t[MAXN << 2];

inline int lson(int p){return p << 1;}//左儿子;

inline int rson(int p){return p << 1 | 1;}//右儿子;

void build(int p,int l,int r)//建线段树 

{

  t[p].l = l,t[p].r = r;

  if(l == r)//叶子节点

  {

​    t[p].SUM = Data[l];

​    

​    t[p].Max = Data[l];// 

​    return;

  }

  int mid = t[p].l + t[p].r >> 1;

  build(lson(p),l,mid);

  build(rson(p),mid + 1,r);

  t[p].SUM = t[lson(p)].SUM + t[rson(p)].SUM;

  t[p].Max = max(t[lson(p)].Max,t[rson(p)].Max);//递归建树!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

}

 

void push_down(int p)

{

  if(t[p].lazy)

  {

​    //如果lazy标记不为0

​    t[lson(p)].SUM += t[p].lazy * (t[lson(p)].r - t[lson(p)].l + 1);

​    t[rson(p)].SUM += t[p].lazy * (t[rson(p)].r - t[rson(p)].l + 1);

​          t[lson(p)].Max += t[p].lazy;//!!!!

​          t[rson(p)].Max += t[p].lazy;//!!!!

​    //下传;

​    t[lson(p)].lazy += t[p].lazy;

​    t[rson(p)].lazy += t[p].lazy;

 

​    t[p].lazy = 0;//下传完成,更新lazy为0;

  }

}

void update(int p,int l,int r,ll value)//将区间 [x, y][x,y] 内每个数加上 k

{

  if(l <= t[p].l && r >= t[p].r)//1.区间被覆盖,就修改;

  {

​    t[p].SUM += value * (t[p].r - t[p].l + 1);

​    t[p].Max += value;

​    t[p].lazy += value;

​    return;

  }

  push_down(p);     

  int mid = t[p].l + t[p].r >> 1;

  if(l <= mid)

​          update(lson(p),l,r,value);//覆盖了左儿子就修改左儿子;

​    if(r > mid)

​          update(rson(p),l,r,value);

 

  t[p].SUM = t[lson(p)].SUM + t[rson(p)].SUM;

  t[p].Max = max(t[lson(p)].Max,t[rson(p)].Max);//!!!!!!!!!!!!!!

}

 

ll querySum(int p,int l,int r)//输出区间 [x, y][x,y] 内每个数的和

{

  if(l <= t[p].l && r >= t[p].r)

​          return t[p].SUM;//覆盖了该区间就直接返回整个数据;

 

  push_down(p);

 

  ll sum = 0;

  int mid = t[p].l + t[p].r >> 1;

  if(l <= mid)

​          sum += querySum(lson(p),l,r);

  if(r > mid)

​          sum += querySum(rson(p),l,r);

 

  return sum;

}

ll query_Max(int p,int l,int r)

{

  if(l <= t[p].l && r >= t[p].r)

​          return t[p].Max;

 

  int mid = t[p].l + t[p].r >> 1;

  ll maxL = -inf,maxR = -inf;

  if(l <= mid)maxL = max(maxL,query_Max(lson(p),l,r));

  if(r > mid)maxR = max(maxR,query_Max(rson(p),l,r));

 

  return max(maxL,maxR);

 

}

 

void update_point(int l,ll y)//l y ->代表a[l]的值变成y\n

{//等将于 将区间[l,l]内每个数加上 value = y-a[l] 

​     ll value = y- Data[l];

​     update(1,l,l,value); 

}

int main()

{

​     printf("请输入一共有多少个数n,以及有多少次操作m\n");

  scanf("%d%d",&n,&m);

  printf("请依次输入这n个数的值,a[1]到a[n]\n");

  for(int i = 1;i <= n;i ++)

​          scanf("%lld",&Data[i]);

  build(1,1,n);//建立线段树 a[1]->a[n]

​     //执行操作

​     printf("输入格式为\n");

​     printf("0 L y ->代表Data[L]的值变成y\n");

​     printf("1 L r x ->代表Data[L]->Data[r]每个值都加x\n");

​     printf("2 L r  ->代表输出DataL]->Data[r]每个数的和\n");

​     printf("3 L r  ->代表输出Data[L]->Data[r]每个数的最大值\n");

​     int l,r;

​     ll y;

​     ll value;

  for(int i = 1;i <= m;i ++)

  {

​    int oporate;

​              scanf("%d",&oporate);

​    if(oporate == 0)

​    {

​              scanf("%d",&l);

​              scanf("%lld",&y);

​              value = y-Data[l];

​      update(1,l,l,value);

​      printf("Data[%d]的值变为%lld，更新完毕\n",l,y);

​          }

​    else if(oporate == 1)

​    {

​              scanf("%d%d",&l,&r);

​              scanf("%lld",&value);

​      update(1,l,r,value);

​      printf("Data[%d]->Data[%d]的值都加上%lld 更新完毕\n",l,r,value);

​    }

​    else if(oporate ==2)

​    {

​      scanf("%d%d",&l,&r);

​      printf("sum = %lld\n",querySum(1,l,r));

​    }

​    else

​    {

​         scanf("%d%d",&l,&r);

​         mx = query_Max(1,l,r);//输入l,r，找出a[l]到a[r]的最大值 

​          printf("MAX = %lld\n",mx);//出最大值

​          }

  }

}

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目录 &#x1f4a5;1 概述 &#x1f4da;2 运行结果 &#x1f389;3 参考文献 &#x1f468;‍&#x1f4bb;4 Matlab代码 &#x1f4a5;1 概述 随着无线传感器网络的快速发展,其应用领域也越来越广。在诸多的应用环境中都需要大量已同步的传感器节点通过协同作用执行一个…
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Python 中IndexError: list assignment index out of range 错误解决

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文章目录 Python IndexError&#xff1a;列表分配索引超出范围修复 Python 中的 IndexError: list assignment index out of range修复 IndexError: list assignment index out of range 使用 append() 函数修复 IndexError: list assignment index out of range 使用 insert()…
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