张量的范数

张量的大小，使用Frobenius 范数：
$||\vec{v}||=\sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v}}=\sqrt{v_i{v}_i}（向量）$
$||T||=\sqrt{T:T}=\sqrt{T_{ij}{T}_{ij}}（二阶张量）$
$||A||=\sqrt{A:\cdot A}=\sqrt{A_{ijk}{A}_{ijk}}（三阶张量）$
$||C||=\sqrt{C::C}=\sqrt{C_{ijkl}{C}_{ijkl}}（四阶张量）$

在主空间，张量的特征值$T_1,T_2,T_3$，在主空间中：
$||T||=\sqrt{T:T}=\sqrt{T_{ij}{T}_{ij}}=\sqrt{T_1^2+T_2^2+T_3^3}=\sqrt{I_T^2-2I{I}_T}$

所以，$||T||$是一个不变量，$||T||$表示的在主空间下主方向的长度

各向同性和各向异性张量

各向同性：在任意坐标系下，张量的分量都是一样的，$T=T^{\prime }$

各向同性一阶张量：

在坐标系$(x_1,x_2,x_3)$ 的分量$(v_1,v_2,v_3)$
在坐标系$(x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime })$ 的分量$(v_1^{\prime },v_2^{\prime },v_3^{\prime })$
根据变换定律：
$$\vec{v}=v_i{\hat{e}}_i=v_j^{\prime }{\hat{e}}_j^{\prime }⟹v_i^{\prime }=a_{ij}{v}_j$$
由各向同性的定义，$v_i=v_j^{\prime }$，那么有： ${\hat{e}}_i={\hat{e}}_j^{\prime }$

所以，要么是坐标系根本没有变换，要么满足各向同性的一阶张量只能是零向量 $\vec{0}$

各向同性二阶张量：

例子：单位张量$1$, ${\delta }_{kl}$，根据二阶张量的变换定律：
$${\delta }_{ij}^{\prime }=a_{ik}{a}_{jl}{\delta }_{kl}=a_{ik}{a}_{jk}={\delta }_{ij}$$

所以，如果一个二阶张量是各向同性的，那么这个张量是球形张量

各向同性三阶张量：
Levi-Civita pseudo-tensor： ${ϵ}_{ijk}$ 不是真的张量
$${ϵ}_{ijk}^{\prime }=a_{il}{a}_{jm}{a}_{kn}{ϵ}_{lmn}=|A|{ϵ}_{ijk}={ϵ}_{ijk}$$

各向同性四阶张量：

${\overline{\overline{II}}}_{ijkl}={\delta }_{ij}{\delta }_{kl}$
$I{I}_{ijkl}={\delta }_{ik}{\delta }_{jl}$
${\overline{II}}_{ijkl}={\delta }_{il}{\delta }_{jk}$

所以，任意一个四阶各向同性张量可以表示为以上张量的线性组合：

问题1.37 四阶张量：$C_{ijkl}=\lambda {\delta }_{ij}{\delta }_{kl}+\mu ({\delta }_{ik}{\delta }_{jl}+{\delta }_{il}{\delta }_{jk})$，证明C是各向同性

同轴张量 Coaxial tensor

如果张量$T$和$S$有相同的特征向量，那么它们是同轴张量，也就是它们之间点积是可以交换的：
$T\cdot S=S\cdot T⟹S,T是同轴的$

如果张量$T$和$S$同轴且对称的，那么它们的谱表示：
$$T=\sum _{a=1}^3{T}_a{\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{n}}^{(a)};S=\sum _{a=1}^3{S}_a{\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{n}}^{(a)};$$

$S$和$S^{-1}$是同轴的：
$$S^{-1}\cdot S=S\cdot S^{-1}=1$$
$$S=\sum _{a=1}^3{S}_a{\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{n}}^{(a)};S^{-1}=\sum _{a=1}^3\frac{1}{S_a}{\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{n}}^{(a)};$$

如果$S$和$T$是同轴且对称的张量，那么$S\cdot T$的结果是另一个对称张量：
$$\begin{gathered} T\cdot S=S\cdot T \\ ⟹T\cdot S-S\cdot T=0 \\ ⟹T\cdot S-(T\cdot S{)}^T=0 \\ ⟹2(T\cdot S{)}^{skeew}=0 \end{gathered}$$

所以张量的反对称部分是零张量，那么张量只由对称张量组成：
$$(T\cdot S)\equiv (T\cdot S{)}^{sym}$$

极分解

令$F$是非奇异的二阶张量，$\det F\ne 0⟹\exists F^{-1}$

张量满足： $F\cdot \hat{N}={\vec{f}}^{(\hat{N})}=||{\vec{f}}^{(\hat{N})}||\hat{n}={\lambda }_{\hat{n}}\hat{n}\ne \vec{0}$

给定一个正交基${\hat{N}}^{(a)}$， 可得：

以上$F$ 的表达式并不是$F$ 的谱表示，因为${\lambda }_a$不是$F$的特征值，并且${\hat{n}}^{(a)}$和${\hat{N}}^{(a)}$也都不是$F$的特征向量

可以发现，对于任意正交基${\hat{N}}^{(a)}$，新基${\hat{n}}^{(a)}$ 不一定是正交的

现在，我们希望找到一个基${\hat{N}}^{(a)}$，使得新基${\hat{n}}^{(a)}$是正交的，也就是：
$$\begin{gathered} {\vec{f}}^{({\hat{N}}^{(1)})}\cdot {\vec{f}}^{({\hat{N}}^{(2)})}=0 \\ {\vec{f}}^{({\hat{N}}^{(2)})}\cdot {\vec{f}}^{({\hat{N}}^{(3)})}=0 \\ {\vec{f}}^{({\hat{N}}^{(3)})}\cdot {\vec{f}}^{({\hat{N}}^{(1)})}=0 \end{gathered}$$

那么我们根据正交变换 ${\hat{n}}^{(a)}=R\cdot {\hat{N}}^{(a)}$ 来寻找一个空间，可以保证${\hat{n}}^{(a)}$ 的正交性，因为正交变换既不改变向量之间的角度，也不改变其大小

所以，假设有一个从${\hat{N}}^{(a)}$到${\hat{n}}^{(a)}$ 的变换，正交变换${\hat{n}}^{(a)}=R\cdot {\hat{N}}^{(a)}$，那么：
$$\begin{gathered} F=\sum _{a=1}^3{\lambda }_a{\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{N}}^{(a)}=\sum _{a=1}^3{\lambda }_{a}R\cdot {\hat{N}}^{(a)}⨂{\hat{N}}^{(a)} \\ =R\cdot \sum _{a=1}^3{\lambda }_a{\hat{N}}^{(a)}⨂{\hat{N}}^{(a)}=R\cdot U \end{gathered}$$

$F=R\cdot U⟹U=R^T\cdot F$

其中，$U={\hat{N}}^{(a)}⨂{\hat{N}}^{(a)}$，是一个对称张量，$U=U^T$

反过来，${\hat{N}}^{(a)}=R^T\cdot {\hat{n}}^{(a)}={\hat{n}}^{(a)}\cdot R$， 那么：
$$\begin{gathered} F=\sum _{a=1}^3{\lambda }_a{\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{N}}^{(a)}=\sum _{a=1}^3{\lambda }_a{\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{n}}^{(a)}\cdot R \\ =V\cdot R \end{gathered}$$

$F=V\cdot R⟹V=F\cdot R^T$

其中，$V={\hat{n}}^{(a)}⨂{\hat{n}}^{(a)}$

$U$ 和$V$有相同的特征值，但不同的特征向量

定义极分解：
$$\boxed{F=R\cdot U=V\cdot R^T}（极分解）$$

对$F^T$和$F$进行点积：

NOTE: 由于$\det F\ne 0$，所以$C$ 和$b$是正定对称张量，表示$C$和$b$的特征值是正实数，但是$\det F\ne 0$ 有以下两种情况：

• 如果$\det F>0$
  $\det F=\det R\det U=\det V\det R^T>0$，那么:
  
• 如果$\det F<0$
  $\det F=\det R\det U=\det V\det R^T<0$，那么: