概述

博文的一，二部分为基础知识的铺垫。分别从密码学，数论两个方面为理解RSA算法做好了准备。第三部分是对RSA加密过程的具体介绍，主要涉及其密钥对（key-pair）的获取。前三个部分与编程实践无关，可以当作独立的关于RSA加密算法的介绍。第四部分开始介绍在编程层面实现RSA算法的基础知识，主要涉及一些算法，如拓展欧几里得算法，米勒-拉宾素性检验算法，是为C++中实现RSA加密所作的铺垫。第五部分阐述了面向初学者实现RSA算法的思路，以及其局限，可改善之处。第六部分为提供的参考代码。

一. RSA算法的密码学基础

密钥：将明文转换为密文，对于窃听者来说，密钥和明文等价。

对称加密（symmetric cryptograph），特征在于加密和解密使用同一个密钥。

非对称加密（asymmetric cryptography)，也被称作公钥加密（public-key cryptography)。最主要的特征在于使用公钥加密，私钥解密。

下面我们通过一个例子，来简述非对称加密的过程，假设A，B两人进行公钥加密通信，则整个通信的过程，由信息接受者B启动（A为信息发出者）。

B首先通过一定算法生成包含公钥，私钥的密钥对（key-pair），然后将公钥发送给A，自己保留私钥，请求A利用这个公钥对信息进行加密。

A利用该公钥对信息进行加密后，将密文传送给B，B利用自己的私钥对密文进行解密。

值得注意的是：首先公钥是可公开的，因为光凭借公钥只能加密，而并不能解密，所以不用担心公钥传输过程中被窃听者截获，同理也不用担心密文被截获，因为唯一能够破解密文的密钥在信息接收者处。

RSA算法（Rivest-Shamir-Adleman 取自开发者首字母），正是一种公钥密码算法。

二. RSA算法的数论基础

（看之前需要理解同余符号的含义）

1.欧拉函数：

对于正整数n，不大于n，且与n互素的数的个数记为 $\phi (n)$

2.欧拉定理：

$a^{\phi (n)}\equiv 1(mod n)$ （其弱化形式，即在n为素数时，变为费马小定理）

证明需要用到群论知识，与RSA算法关联不大，故在此不加赘述，可参考：

欧拉定理证明及推论_有钱哥哥家的的博客-CSDN博客_欧拉定理证明

3.同余的一些基本性质：

/1：乘积同余：即两数乘积，与两数模n的余数的乘积，关于模n同余，证明可以通过将两数写作kn+q（q为余数）的形式，比较其乘积与q1，q2乘积在模n时的结果。

/2：幂运算同余：若 $a\equiv b(mod n)$ ，则 $a^{p}\equiv b^{p}(mod n)$ ，证明可以通过移项，由因式定理可知，其必有a-b这个因式

4.逆元：

若 $ab\equiv 1(mod n)$ ，则称a为b，关于模n的逆元

三.RSA算法介绍

我们用A来代表明文，B代表经过RSA算法加密后的密文。则可以用一个等式来阐明A,B间的关系： $B\equiv A^{e}(mod n)$ ,且 $B< n$ ，即B为A的e次方后除以n的余数。其中（e,n)为公钥。

设（d，n）为私钥，则私钥满足的关系为 $A\equiv B^{d}(mod n)$

下面我们来看如何得到公钥和私钥组成的密钥对（需要用到二.介绍的数学知识）。

1.得到公钥：

选取两个充分大的素数p，q，其乘积的值即为n，在得到n后，计算其欧拉函数的值，即在1到n-1中有多少数与n互素。

因为n包含两个质因子p，q，所以在1到n-1中包含p，q因子的数均与n不互素。

包含p因子的有p，2p，3p一直到p（q-1），同理含q的有q到q（p-1)。一共p+q-2个数

则在这n-1个数中与n互素的数一共有n-1-（p+q-2）=n-p-q+1，且n可以写作p*q，可以得到： $\phi (n)=(p-1)(q-1)$

我们选取与 $\phi (n)$ 互素的小于 $\phi (n)$ 的数e，则（e，n）组成公钥。

2.得到私钥：

取e关于 $\phi (n)$ 的逆元为d，则得到（d，n）私钥。

下面来证明为何（d，n）为私钥：

即证明： $A\equiv B^{d}(mod n)$

两侧同时取e次幂可以得到 $A^{e}\equiv B^{ed}(mod n)$

因为d为e的逆元，所以 $ed=k\phi (n)+1$ ，将该等式带入到上式中，我们可以得到：

$A^{e}\equiv B^{k\phi (n)}\times B(modn)$

由欧拉定理可知 $B^{\phi (n)}\equiv 1(modn)$ ，由同余的性质中的幂运算同余知，两侧同时取k次幂，可以得到：

$B^{k\phi (n)}\equiv 1(mod n)$ ,再由同余基本性质中的乘积同余，可知 $B\equiv A^{e}(mod n)$ ，此即为公钥的条件，于是我们发现在d取e 关于 $\phi (n)$ 的逆元时，两者等价，即私钥条件成立。

上述生成的公钥与密钥组成的密钥对便可用于加密。

RSA算法的核心在于，对于一个大数的质因数分解是很困难的，一旦能够发现对于大数质因数的高效算法，RSA就能够被破译。

四.RSA在C++实现的算法基础

在利用c++实现RSA加密时，含需要一些补充的算法知识：

1.裴蜀定理（Bezout’s lemma）：

一定存在整数x，y，使得线性方程组ax+by=gcd（a，b）成立。而ax+by=gcd（a，b）则称为裴蜀等式。

2.拓展欧几里得算法（extended Euclidean algorithm）：

欧几里得算法（辗转相除法）常用于求算最大公约数（gcd），而拓展欧几里得算法则是在具备欧几里得算法的功能前提下，增加了求解裴蜀等式的功能。而在我们通过公钥（e，n）计算私钥（d，n）时，就需要用到拓展欧几里得算法。

因为 $ed\equiv 1(mod \phi (n))$ ，可以写作 $(e)d+(-k)\phi (n)=1$

又因为 $gcd(e,\phi (n))=1$ ，故上式可化为 $(d)e+(-k)\phi (n)=gcd(e,\phi (n))$ ，符合裴蜀等式。

d与-k分别为欲求的x，y，故可以使用拓展欧几里得算法来求解

关于拓展欧几里得算法的细节可以参考：扩展欧几里得算法详解__Warning_的博客-CSDN博客_扩展欧几里得

3.米勒-拉宾素性检验（Miller-Rabin prime test）

RSA加密的关键在于其最初生成的两个充分大的素数p，q，其大小决定了密码破译的难度。但是要随机生成两个大素数是比较困难的，所以RSA算法中大多都采用通过米勒-拉宾素性检验的伪素数来作为p，q。

米勒-拉宾素性检验是基于费马小定理，对给定的任意奇数进行检验，检验通过则代表其有概率为素数，在进行多次检验后，若都通过，则其为素数的概率会非常高，可以作为素数使用。

五.RSA算法在C++中的实现

基本思路：

1.随机素数p，q的获取：利用数组，生成一定范围内一定质数的数表，产生随机数i，j对应素数数组的下标，由此达到在数表中随机选取素数的功能。

2.密钥的获取：利用拓展欧几里得算法获取d的值。

3.加密过程：将输入字符的ASCII码值进行RSA加密，密文为一串数字，实现方法是用字符数组与整型数组间的值传递。

局限与改善：

1.没有使用米勒-拉宾素性检验来获取大素数，而是用素数数表产生的素数对，其构成的密钥空间小，一旦数表范围被获取，则密钥极有可能被破解。

2.加密文本的读入没有涉及文件的读写层面，需要依靠人为输入，较为不方便。

3.部分计算没有考虑在选取充分大的素数时可能产生的数据溢出问题。

六.C++代码

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;

int exgcd(int a, int b,int *x,int *y) //拓展欧几里得算法
{
if(b==0)
{
*x=1;
*y=0;
return a;
}
int gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
int temp=*x;
*x=*y;
*y=temp-a/b*(*y);
return gcd;
}

int isprime(int a) //素数判断
{
int i;
for(i=2;i<1+(a/2);i++){
if(a%i==0)return 1;
}
return 0;
}

void primegenerator(int prime[10]) //生成素数表
{
int i,j=0;
for(i=91;i<=1000;i++){
if(isprime(i)==0){
prime[j]=i;
j++;
}
if(j>9)break;
}
}

int main()
{
int prime[10];
primegenerator(prime);
int seed,p,q;
seed=time(0);
srand((unsigned int)seed); //生成在范围内的随机素数p，q
p=rand()%9;
do{
q=rand()%9;
}while(q==p);
int e,d,n,fi_n,r,nu,w1,w2;

int a;
cout<<"请选择加密/解密"<<endl;
cout<<"输入0代表加密"<<' '<<"输入1代表解密"<<endl;
cin>>a;
char minwen[1000];

int i,j,mi;
if(a==0){
n=prime[p]*prime[q];
fi_n=(prime[p]-1)*(prime[q]-1);
for(r=fi_n/2;n>=1;r--){ //求得公钥
if(exgcd(r,fi_n,&w1,&w2)==1){
e=r;
break;
}
}
r=exgcd(e,fi_n,&d,&nu);
cout<<"请输入明文"<<endl;
scanf("%s",minwen);
int shuma_minwen[strlen(minwen)];
for(i=0;i<strlen(minwen);i++){
shuma_minwen[i]=minwen[i];
}
int shuma_miwen[strlen(minwen)]; //录入结束，开始加密
for(i=0;i<strlen(minwen);i++){
mi=shuma_minwen[i];
shuma_miwen[i]=1;
for(j=1;j<=e;j++){
shuma_miwen[i]=(shuma_miwen[i]*mi)%n;
}
}
cout<<"密文为"<<endl;
for(i=0;i<strlen(minwen);i++){
cout<<shuma_miwen[i]<<' '; //加密结束，输出密文，私钥
}
cout<<endl<<"密文长度为"<<i<<endl;
cout<<endl<<"解密私钥为"<<endl;
cout<<d<<' '<<n<<endl;
}
else if(a==1){
int shuma_jiemiwen[10000];

cout<<"请输入密文长度"<<endl;
int k;
cin>>k;
cout<<"请输入密文"<<endl; //录入密文
int t=0;
for(i=0;i<k;i++){
cin>>shuma_jiemiwen[i];
}
int sizel=k;

cout<<"请输入私钥（d，n）（分别输入d，n用空格隔开）"<<endl;
int d1,n1;
cin>>d1>>n1;
int ming;
int shuma_jieminwen[sizel]; //开始解密
for(i=0;i<sizel;i++){
ming=shuma_jiemiwen[i];
shuma_jieminwen[i]=1;
for(j=0;j<d1;j++){
shuma_jieminwen[i]=shuma_jieminwen[i]*ming%n1;
}
}

char jieminwen[sizel];
for(i=0;i<sizel;i++){
jieminwen[i]=shuma_jieminwen[i];
}
cout<<"明文为"<<endl; //输出明文
for(i=0;i<sizel;i++){
cout<<jieminwen[i];
}
}
return 0;
}

这里提供的代码部分参考于以下链接：

C语言实现简单的RSA加解密算法_♡Starry.的博客-CSDN博客_rsa加密算法代码c语言

但是做了一些改善：

1.由随机数与素数表的对应关系，给出素数对（p，q），无需人为输入

2.计算逆元d时，采用拓展欧几里得算法，时间复杂度更低

但仍有一些点可以继续改进：

1.没有使用米勒-拉宾素性检验来获取大素数，密码安全性较低

2.加密文本的读入没有涉及文件的读写层面，较为不方便。

此代码可以供初学者简单体会RSA加密的基本过程，以及主要算法，进一步优化有待探讨。