一、被控对象

考虑这么一个被控对象
$$J\ddot{\theta }(t)=u(t)+d(t)$$
其中，$J$ 为转动惯量，$\theta$ 为角度，$u$ 为控制量，$d$ 为扰动，且 $d(t)<D$ 扰动有界

二、设计滑模面

2.1、传统快速Terminal滑模面

$$s=\dot{x}+\beta x^{q/p}=0$$

其中 $x\in R^1$ 属于状态变量，$\beta >0,p,q(p>q)$ 为正奇数。由上式可得
$$\frac{dx}{dt}=-\beta x^{q/p}$$

$$dt=-\frac{1}{\beta }{x}^{q/p}dx$$

$${\int }_0^{t}dt=-{\int }_{x_0}^0\frac{1}{\beta }{x}^{q/p}dx$$

从而得到从任意初始状态 $x(0)\ne 0$ 沿滑动模态到达平衡状态 $x=0$ 的时间为
$$t_s=\frac{p}{\beta (p-q)}|x(0){|}^{(p-q)/p}$$

2.2、非奇异Terminal滑模面

为了解决普通Terminal滑模控制中的奇异性问题，提出了非奇异的Terminal滑模控制，
$$s=x_1+\frac{1}{\beta }{x}_2^{p/q}$$

一些思考

我们可以看到上面的滑模面，有的是 $\dot{x}$ 与 $x$ ，有的是 $x_1$ 与 $x_2$ ，为什么呢？这里我有一些我的思考，其实他们都是一样的，他们的控制对象是下面这个不确定非线性动态系统，这个不确定非线性动态系统的状态 $x_1$ 就是 $x$ ，$x_2$ 就是 $\dot{x}$ 。
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=f(x)+g(x)u+d(x,t)\end{array}$$
其中跟踪误差及其导数为，${\theta }_d$ 为理想的角度信号
$$\{\begin{array}{l}e(t)=\theta (t)-{\theta }_d(t)\\ \dot{e}(t)=\dot{\theta }(t)-{\dot{\theta }}_d(t)\\ \ddot{e}(t)=\ddot{\theta }(t)-{\ddot{\theta }}_d(t)\end{array}$$

所以放在这个真实的系统中，状态 $x_1$ 就是 $e(t)$ ，$x_2$ 就是 $\dot{e}(t)$ 。

三、获得控制量

传统快速Terminal滑模的控制量为：
$$u=-g^{-1}(x)(f(x)+\beta \frac{q}{p}{x}_1^{q/p-1}{x}_2+(D+\epsilon )sgn(s))$$
非奇异Terminal滑模的控制量为：
$$u=-g^{-1}(x)(f(x)+\beta \frac{q}{p}{x}_2^{2-p/q}{x}_2+(D+\epsilon )sgn(s))$$

四、证明稳定性

4.1、传统快速Terminal滑模面

设LYapunov函数$V=\frac{1}{2}{S}^2$，则有
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =s\dot{s}\\ & =s({\dot{x}}_2+\beta \frac{q}{p}{x}_1^{\frac{q}{p}-1}{\dot{x}}_1)\\ & =s(f(x)+g(x)u+d(x,t)+\beta \frac{q}{p}{x}_1^{\frac{q}{p}-1}{\dot{x}}_1)\\ & =s(d(x,t)-(D+\epsilon )sgn(s))\\ & =sd(x,t)-(D+\epsilon )|s|\\ & \le -\epsilon |s|\end{array}$$
可见，当干扰$d(t) $ 有上界时，即 $d(t)<D$ 扰动有界，若$\epsilon$ 取值合理，则系统稳定。

4.2、非奇异Terminal滑模面

设LYapunov函数$V=\frac{1}{2}{S}^2$，则有
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =s\dot{s}\\ & =s({\dot{x}}_1+\frac{1}{\beta }\frac{p}{q}{x}_2^{\frac{p}{q}-1}{\dot{x}}_2)\\ & =s\frac{1}{\beta }\frac{p}{q}{x}_2^{\frac{p}{q}-1}{\dot{x}}_2(d(x,t)-(D+\epsilon )sgn(s))\\ & =\frac{1}{\beta }\frac{p}{q}{x}_2^{\frac{p}{q}-1}{\dot{x}}_2(sd(x,t)-(D+\epsilon )|s|)\end{array}$$
由于 $1<\frac{p}{q}<2$ 所以 $0<\frac{p}{q}-1<1$ ，$\beta >0$ ，所以 $x_2^{\frac{p}{q}-1}>0(x_2\ne 0)$ ，所以 $\dot{V}=-{\eta }^{\prime }|s|\le 0$ ，根据当 $\dot{V}\equiv 0$ 时， $s\equiv 0$，LaSalle不变形原理，$t\to \infty$ 时，$s\to 0$ ，根据快速滑动模态特性，$t\to \infty$ ，$x\to 0$ 。

可见，当$x_2\ne 0$ 时，控制器满足LYapunov稳定条件。

五、实验

这里我们仅验证非奇异Terminal滑模面，其实其他的是一样的

需要注意一件事，在编程时，$x^{\frac{5}{3}}$ 这种分数形式，不能直接写成

x ** (5 / 3)

这样写的话会出现虚数，需要写成下面的格式

np.abs(x) ** (5 / 3) * np.sign(x)

这里我的示例是python，但是其他的编程语言也一样，包括Matlab，C++等。

代码如下

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


class ControlModel():
    def __init__(self):
        self.T = 10
        self.times = 10 * 1000
        self.time_T = self.T / self.times

        self.pos = 0

        self.theta = np.zeros(self.times, dtype='float64')
        self.dot_theta = np.zeros(self.times, dtype='float64')
        self.u = np.zeros(self.times, dtype='float64')
        self.d = np.zeros(self.times, dtype='float64')
        self.J = 10

        self.Max_u = 30

    def reset(self):
        self.pos = 0
        self.dot_theta[0] = np.deg2rad(0)
        self.theta[0] = np.deg2rad(0)
        self.d[0] = 0

    def step(self, u):
        if self.pos >= self.times:
            return True

        if np.abs(u) > self.Max_u:
            u = np.sign(u) * self.Max_u

        self.u[self.pos] = u
        self.d[self.pos] = 2
        self.stepOnce()
        self.pos += 1

        return False

    def stepOnce(self):
        data = np.array([self.u[self.pos],
                         self.d[self.pos],
                         self.dot_theta[self.pos],
                         self.theta[self.pos],
                         self.J])

        k1 = self.time_T * self.iterateOnce(data)
        k2 = self.time_T * self.iterateOnce(data + 0.5 * k1)
        k3 = self.time_T * self.iterateOnce(data + 0.5 * k2)
        k4 = self.time_T * self.iterateOnce(data + k3)

        data = data + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

        self.dot_theta[self.pos + 1] = data[2]
        self.theta[self.pos + 1] = data[3]

    def iterateOnce(self, data):
        u = data[0]
        d = data[1]
        dot_theta = data[2]
        theta = data[3]
        J = data[4]

        _dot_theta = (u + d) / J
        _theta = dot_theta

        return np.array([0, 0, _dot_theta, _theta, 0])

    def get_theta(self):
        return self.theta[self.pos - 1]

    def get_dot_theta(self):
        return self.dot_theta[self.pos - 1]


class Control:
    def __init__(self):
        self.e = 0
        self.dot_e = 0
        self.ddot_e = 0
        self.T = 10
        self.times = 10 * 1000
        self.time_T = self.T / self.times

    def insert(self, e):
        self.ddot_e = (e - self.e - self.dot_e)
        self.dot_e = (e - self.e)
        self.e = e

    def get_e(self):
        return self.e

    def get_dot_e(self):
        return self.dot_e

    def get_ddot_e(self):
        return self.ddot_e


M = ControlModel()
M.reset()
C = Control()
T = Control()

theta_list = []
for i in range(M.times - 1):
    theta_d = np.sin(i / 1000)
    theta_list.append(theta_d)
    e = (M.get_theta() - theta_d) / M.time_T
    C.insert(e)
    T.insert(theta_d)

    c = 10
    varesplion = 3
    beta = 3
    q = 3
    p = 5
    T1 = np.abs(C.get_dot_e()) ** (p / q) * np.sign(C.get_dot_e())
    T2 = np.abs(C.get_dot_e()) ** (2 - p / q) * np.sign(C.get_dot_e())
    s = C.get_e() + 1 / beta * T1
    u = - M.J * (beta * q / p * T2 + varesplion * np.sign(s))

    M.step(u)

plt.figure(2)
plt.plot(M.theta)
plt.plot(theta_list)
plt.show()

plt.figure(3)
plt.plot(M.u)
plt.show()

跟踪效果如图所示

控制量

我们发现跟踪效果不错，但是控制量是存在抖振的，而这种抖振是需要我们在控制过程中去避免的。