确定性有限自动机（Deterministic Finite Avtomata）

一个简单的例子：计算一个全1字符串里有奇数个1还是偶数个1。
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状态机从 $q_0$ 开始。给定一串（有限长度的）111…111，每一次读一个字符（1），根据此时状态的转移规则进行状态转移，直到读完为止。

DFA详解：
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有一个入口（初始状态）和一个字符串。在字符满足条件的情况下，需要从状态A转化到状态B。有终止状态（用同心圆表述）。

如果从初始状态开始，状态遵循字符串中字符的顺序和状态转移逻辑进行转化，最后停在终止状态（同心圆状态），表示DFA接受这个字符串，否则，DFA拒绝这个字符串。

更正式的定义如下：
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一个DFA被定义为一个五元组。状态集、字符集 $\Sigma$ （比如{0, 1}、英文字母表、UTF-8）、起始状态、终止状态集、状态转移函数。

语言(Language)：语言是 $2^\Sigma$ 的子集。比如， $\Sigma$ 是英文字母表，语言L可以是英语中所有a开头的单词，或者所有包含sh*t的单词。

或者说，语言是一个接受一个字符串作为输入、输出0或1的函数。

L(M) = 由确定性有限状态机M定义的语言。
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注意这个 $\rightarrow q_0$ ，表示： $q_0$ 是一个初始状态，也是终止状态。

我们也可以对DFA的状态转移函数进行拓展，通过递归的方式定义输入为一个字符串的时候的“拓展”状态转移函数：
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对有限自动机的证明：
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这个自动机说了什么？（或者说，哪些语法是匹配上述自动机的？）
怎么证明我们得出的语法是对的？

上面这个自动机匹配的是有奇数个0，并且结尾为1的字符串。

证明：
$q_0$ 状态：有偶数个0
$q_1$ 状态：有奇数个0，且结尾为0
$q_2$ 状态：有奇数个0，且结尾为1

可以用数学归纳法解决剩下的事情。

定义：语言L’是常规(regular)的，如果L’可以用DFA来描述。即存在M使得：L’ = L(M)。

常规语言的求并定理：
给定两个正规语言 $L_i, i=1,2$ 。 $L_1 \cup L_2 = {w| w \in L_i, i=1 || i=2 }$ 。
于是， $L_1 \cup L_2$ 也是常规的。

证明思路：主要考虑两个DFA的并行运算。对于正规语言 $L_i$ ，我们考虑对应的DFA，分别记为 $M_i$ 。分别考虑 $M_i$ 的状态 $Q_i$ ，作笛卡尔积 $Q_1 \times Q_2$ 。然后构造符合两个DFA的转移规则即可。

常规语言的求交定理：
给定两个正规语言 $L_i, i=1,2$ 。 $L_1 \cap L_2 = {w| w \in L_i, i=1 \&\& i=2 }$ 。
于是， $L_1 \cap L_2$ 也是常规的。

证明思路：仍然是考虑两个DFA的并行运算。

求补定理：
给定正规语言 $L$ ， $L^c$ 也是正规语言。
证明：把终端集和非终端集翻过来就行了。

语言的反转 $L^R$ 。比如： ${0, 10, 110, 0101}^R = {0, 01, 011, 1010}$ 。

正规语言的反转定理。
反转后的正规语言也是正规语言。对于每一个可以从右往左读的、可被DFA描述的语言，都有从左往右读的、可被DFA描述的语言相对应。
但是怎么证明呢？
我们希望：给定DFA $M$ ，对应的正规语言是 $L$ ，能够构造一个 $M^R$ ，使得 $M^R$ 接受 $w^R$ 当且仅当 $M$ 接受 $w$ 。