张量的代数操作

张量的性质

张量迹 Tensor Trace

定义 $\hat e_i \bigotimes \hat e_j$ 的迹:

$Tr(\hat e_i \bigotimes \hat e_j) = \hat e_i \cdot \hat e_j = \delta_{ij}$

所以，可以定义二阶张量的迹为：对角线元素加和

$Tr(A_{ij}\hat e_i \bigotimes \hat e_j) = A_{ij}Tr(\hat e_i \bigotimes \hat e_j) = A_{ij}\delta_{ij} = A_{ii}$

并矢的迹为：
$Tr(\vec u \bigotimes \vec v) = \vec u_i \vec v_jTr(\hat e_i \bigotimes \hat e_j)= \vec u_i \vec v_j\delta_{ij} = \vec u_i \vec v_i = \vec u \cdot \vec v$

NOTE: 张量的迹是一个不变量，是独立于坐标系的

张量的迹的性质：

张量转置的迹等于张量的迹： $Tr(A^T) = Tr(A)$
加法： $T r (A + B) = T r (A) + T r (B)$
点积：

对于另一个双收缩( : ） , 有

所以， 两个张量进行双收缩( $\cdot \cdot$ )操作，等价于求两个张量点积后的迹
两个张量进行双收缩(:)操作，等价于求一个张量与另一个张量转置点积后的迹

同样地，可以验证：

$\cdot B \cdot C) = Tr(B \cdot C \cdot A) =Tr(C \cdot A \cdot B) = A_{ij}B_{jk}C_{ki}$
$Tr(A) = A_{ii}$
$KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: …A)=A_{ii}A_{jj]$
$Tr(A\cdot A) =Tr(A^2)=A_{il}A_{li}$
$Tr(A\cdot A \cdot A)=Tr(A^3) = A_{ij}A_{jk}A_{ki}$

问题1.19 证明： $T^m)^T=(T^T)^m$ 以及 $Tr(T^T)^m=Tr(T^m)$

在这里插入图片描述

特殊张量

单位张量：
$\delta_{ij}\hat e_i \bigotimes \hat e_j = \hat e_i \bigotimes \hat e_i = 1 \hat e_i \bigotimes \hat e_j$

四阶单位张量的定义：
在这里插入图片描述
可以计算：
$(\delta_{ik}\delta_{jl}\hat e_i \bigotimes \hat e_j \bigotimes \hat e_k\bigotimes\hat e_l ): (A_{pq}\hat e_p \bigotimes \hat e_q) \\ =\delta_{ik}\delta_{jl}A_{pq} \delta_{kp} \delta_{lq} \hat e_i \bigotimes \hat e_j \\ =\delta_{ik}\delta_{jl}A_{kl} \hat e_i \bigotimes \hat e_j \\ =A_{ij} \hat e_i \bigotimes \hat e_j \\= A$

$\bar I:A = (\delta_{il}\delta_{jk}\hat e_i \bigotimes \hat e_j \bigotimes \hat e_k\bigotimes\hat e_l ): (A_{pq}\hat e_p \bigotimes \hat e_q) \\ =\delta_{il}\delta_{jk}A_{pq} \delta_{kp} \delta_{lq} \hat e_i \bigotimes \hat e_j \\ =\delta_{il}\delta_{jk}A_{kl} \hat e_i \bigotimes \hat e_j \\ =A_{ji} \hat e_i \bigotimes \hat e_j \\= A^T$

$\overline{\overline{I}} :A = (\delta_{ij}\delta_{kl}\hat e_i \bigotimes \hat e_j \bigotimes \hat e_k\bigotimes\hat e_l ): (A_{pq}\hat e_p \bigotimes \hat e_q) \\ =\delta_{ij}\delta_{kl}A_{pq} \delta_{kp} \delta_{lq} \hat e_i \bigotimes \hat e_j \\ =\delta_{ij}\delta_{kl}A_{kl} \hat e_i \bigotimes \hat e_j \\ =A_{kk}\delta_{ij}\hat e_i \bigotimes \hat e_j \\= Tr(A) 1$

四阶单位张量的对称部分：
在这里插入图片描述

张量乘积符号 $\overline{\bigotimes}$ 的定义如下：
在这里插入图片描述
与以下是一样的：

张量乘积符号 $\underline{\bigotimes}$ 的定义如下:
在这里插入图片描述
四阶单位张量的反对称部分：

以下等式成立：
$\vec b \cdot 1 = \vec b$
$I : A = A$
$I^{sym}:A = A^{sym}$
$A:1 = Tr(A) =A_{ii}$
$A^2:1 = Tr(A^2)=Tr(A\cdot A) = A_{il}A_{li}$
$A^3:1 = Tr(A^3)=Tr(A\cdot A \cdot A)=A_{ij}A_{jk}A_{kl}$

问题1.20 证明： $T : 1 = T r (T)$

在这里插入图片描述

Levi-Civita 伪张量（置换张量）：

是一个三阶伪张量：

$\epsilon = \epsilon_{ijk} \hat e_i \bigotimes \hat e_j \bigotimes \hat e_k$

张量的行列式：

$\det (A) \equiv|A| = \epsilon_{ijk}A_{1i}A_{2j}A_{3k} = \epsilon_{ijk}A_{i1}A_{j2}A_{k3}$

张量的行列式也是一个不变量（独立于坐标系）
在这里插入图片描述

行列式的性质：
$\det 1 = 1$
$det A^T = \det A$
$\det (A \cdot B) =\det A \cdot \det B$
$\det (\alpha A) = \alpha^3 \det A$
如果 $\det A = 0$ ，则A是奇异的
如果交换两行或两列，则行列式的符号改变
如果某一行或某一列的所有元素为0，则行列式为0
如果对某一行或某一列所有元素乘以c，则行列式变为 $c ∣ A ∣$
如果两行（列）或以上是线性相关的，则行列式为0

问题1.21 证明 $|A|\epsilon_{tpq} = \epsilon_{rjk}A_{rt}A_{jp}A_{kq}$

在这里插入图片描述
以上用到：

问题1.22 证明： $\frac{1}{6}\epsilon_{rjk}\epsilon_{tpq}A_{rt}A_{jp}A_{kq}$

在这里插入图片描述

其中用到：

问题1.23 证明： $\det (\mu 1 + \alpha \vec a \bigotimes \vec b) = \mu^3 + \mu^2 \alpha \vec a \cdot \vec b$

在这里插入图片描述
由于以下等式也成立：
$\det [1 + \alpha (\vec a \bigotimes \vec b) + \beta (\vec b \bigotimes \vec a)] = 1 + \alpha (\vec a \cdot \vec b) +\beta (\vec a \cdot \vec b) + \alpha \beta [(\vec a \cdot \vec b)^2 - (\vec a \cdot \vec a)(\vec b \cdot \vec b)]$
令 $\beta = 0$ ，也可以得到 $\det (\mu 1 + \alpha \vec a \bigotimes \vec b) = \mu^3 + \mu^2 \alpha \vec a \cdot \vec b$

如果 $\alpha = \beta$ , 有：
$\det [1 + \alpha (\vec a \bigotimes \vec b) + \alpha (\vec b \bigotimes \vec a)] \\= 1 + \alpha (\vec a \cdot \vec b) +\alpha (\vec a \cdot \vec b) + \alpha^2 [(\vec a \cdot \vec b)^2 - (\vec a \cdot \vec a)(\vec b \cdot \vec b)] \\ = 1 + \alpha [2(\vec a \cdot \vec b) - \alpha (\vec a \wedge \vec b)^2]$
其中，用到：
在这里插入图片描述

以下等式成立：
$\det (\alpha A + \beta B) \\ =\alpha^3\det A + \alpha^2 \beta Tr(B \cdot adj(A))+ \alpha \beta^2 [A \cdot adj(B)] + \beta^3 \det B$
当 $\alpha = 1, A = 1, B = \vec a \bigotimes \vec b$ ，且由于 $\det (\vec a \bigotimes \vec b) = 0$ 以及 $cof(\vec a \bigotimes \vec b) = 0$ ，有

$\det (1 + \beta \vec a \bigotimes \vec b) = \det 1 + \beta Tr[\vec a \bigotimes \vec b \cdot 1] = 1+\beta Tr[a_ib_j] = 1+ \beta \vec a \cdot \vec b$

性质：
$\boxed{(A \cdot \vec a) \cdot [(A \cdot \vec b) \wedge (A \cdot \vec c)] = \det (A)[\vec a \cdot \vec b \wedge \vec c]}$
证明：
由于 $\vec a \cdot (\vec b \wedge \vec c) = \epsilon_{ijk} a_i b_j c_k$
两边同乘 $∣ A ∣$ ：
$\vec a \cdot (\vec b \wedge \vec c) |A| = \epsilon_{ijk} a_i b_j c_k |A|$
又由于 $|A|\epsilon_{ijk} = \epsilon_{pqr} A_{pi}A_{qj}A_{rk}$ ，因此：
$\vec a \cdot (\vec b \wedge \vec c) |A| = \epsilon_{ijk} a_i b_j c_k |A| \\=\epsilon_{pqr} A_{pi}A_{qj}A_{rk} a_i b_j c_k \\=\epsilon_{pqr} A_{pi}a_iA_{qj}b_jA_{rk}c_k \\ =(A \cdot \vec a) \cdot [(A \cdot \vec b) \wedge (A \cdot \vec c)] \\= [(A \cdot \vec b) \wedge (A \cdot \vec c)]\cdot (A \cdot \vec a)$

张量的逆

张量的逆： $A^{-1}$
在这里插入图片描述
指标形式：

为了计算张量的逆，我们从伴随张量（Adjugate Tensor）开始：
$adj(A^T)\cdot (\vec a \wedge \vec b)=(A \cdot \vec a)\wedge (A \cdot \vec b)$

两边同乘以一个任意的向量 $\vec d$
在这里插入图片描述
上一节，证明了：
$\vec a \cdot (\vec b \wedge \vec c) |A| = [(A \cdot \vec b) \wedge (A \cdot \vec c)]\cdot (A \cdot \vec a)$
所以有：
$\vec c \cdot (\vec a \wedge \vec b) |A| = [(A \cdot \vec a) \wedge (A \cdot \vec b)]\cdot (A \cdot \vec c)$
因此：
$(adj(A))^T\cdot (\vec a \wedge \vec b) ] \cdot \vec d =[(A \cdot \vec a) \wedge (A \cdot \vec b)]\cdot (A \cdot A^{-1} \cdot \vec d) \\=A^{-1} \cdot \vec d \cdot (\vec a \wedge \vec b) |A| \\ =|A| (\vec a \wedge \vec b)\cdot A^{-1} \cdot \vec d$

令 $\vec p = \vec a \wedge \vec b$ ，上式可以重写为：
在这里插入图片描述
因此： $adj(A)] = |A| A^{-1}$
所以，张量的逆， $\boxed{A^{-1} = \frac{1}{|A|}[adj(A)] = \frac{1}{|A|}[cof(A)]^T}$

可逆张量，有以下性质：
$\cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
$A^{-1})^{-1} = A$
$(\beta A)^{-1} = \frac{1}{\beta}A^{-1}$
$det (A^{-1} = [\det A]^{-1})$

可逆转置：
$A^{-T} \equiv (A^{-1})^T \equiv (A^T)^{-1}$

证明 $\cdot B) = adj(A) \cdot adj(B)$ :
在这里插入图片描述
其中，用到了性质： $\cdot B| = |A| |B|$
同样的，可以证明： $\cdot B) = [cof(A)] \cdot [cof(B)]$

计算矩阵A的逆的步骤：

计算矩阵的余子式： cof(A)

定义一个矩阵M，其元素 $M_{ij}$ 为矩阵A消去第i行第j列之后的行列式：

所以，定义矩阵A的余子式为：
$cof (A) = (-1)^{i+j}M_{ij}$
计算伴随矩阵， adj(A),
$adj(A) = [cof(A)]^T$
计算矩阵的逆：
$A^{-1} = \frac{adj(A)}{|A|}$

由于：
在这里插入图片描述
可以将矩阵的余子式的每一行写成：
$M_{1i} = \epsilon_{ijk}A_{2j}A_{3k}$
$M_{2i} = \epsilon_{ijk}A_{1j}A_{3k}$
$M_{3i} = \epsilon_{ijk}A_{1j}A_{2k}$

问题1.24 证明：当且仅当 $\det A = 0$ ，存在非零向量 $\vec n \neq \vec 0$ 使得 $A\cdot \vec n = \vec 0$

在这里插入图片描述

正交张量

在连续介质力学，正交张量发挥了很重要的角色

若二阶张量 $Q$ 满足其转置与其逆相等： $Q^T = Q^{-1}$ ，则称 $Q$ 是正交张量
$\cdot Q^T = Q^T \cdot Q = 1$
$Q_{ik}Q_{jk} = Q_{ki}Q_{kj}= \delta_{ij}$
性质：

Q的逆等于Q的转置，正交性： $Q^{-1}=Q^T$
Q是旋转张量，如果： $\det Q \equiv |Q| = +1$
如果 $∣ Q ∣ = - 1$ 正交张量为反射张量

两个正交张量点积得到的张量也是正交的：
$C^{-1} = (A \cdot B)^{-1}= B^{-1} \cdot A^{-1} = B^T \cdot A^T= (A\cdot B)^T=C^T$

正交变换：
$\vec{\tilde a}=Q \cdot \vec a$
$\vec{\tilde b}=Q \cdot \vec b$
以上向量点积：
$\vec{\tilde a} \cdot \vec{\tilde b}=(Q \cdot \vec a) \cdot (Q \cdot \vec b)=\vec a\cdot Q^T\cdot Q\cdot \vec b=\vec a\cdot1\cdot \vec b = \vec a \cdot \vec b$
$\tilde a_i \tilde b_i=(Q_{ik}a_k) (Q_{ij}b_j)=a_k(Q_{ik}Q_{ij})b_j=a_k\delta_{kj}b_j=a_kb_k$

同样的，对于 $\vec{\tilde a} = \vec{\tilde b}$ ,，有： $\vec{\tilde a} \cdot \vec{\tilde a}=||\vec{\tilde a}||^2=\vec a \cdot \vec a=||\vec a||^2$
因此，在一个正交变换中，向量的大小和它们之间的角度不会改变。
在这里插入图片描述

正定张量、负定张量和半正定张量

正定的 positive definite: 对于所有 $\hat x \neq \vec 0$
张量表示： $\hat x \cdot T \cdot \hat x >0$
指标表示： $x_i T_{ij}x_j > 0$

负定的 negative definite: 对于所有 $\hat x \neq \vec 0$
张量表示： $\hat x \cdot T \cdot \hat x <0$
指标表示： $x_i T_{ij}x_j < 0$

半正定的 semi-positive definite: 对于所有 $\hat x \neq \vec 0$
张量表示： $\hat x \cdot T \cdot \hat x \geq 0$
指标表示： $x_i T_{ij}x_j \geq 0$

负定的 negative definite: 对于所有 $\hat x \neq \vec 0$
张量表示： $\hat x \cdot T \cdot \hat x \leq 0$
指标表示： $x_i T_{ij}x_j \leq 0$

若 $\alpha =\hat x \cdot T \cdot \hat x = T:(\hat x \bigotimes \hat x) = T_{ij}x_ix_j$ ，则 $\alpha$ 关于 $\hat x$ 的导数为：
$\frac{\partial \alpha}{\partial x_k} = T_{ij}\frac{\partial x_i}{\partial x_k}x_j+T_{ij}x_i\frac{\partial x_j}{\partial x_k}\\= T_{ij}\delta_{ik}x_j+T_{ij}x_i\delta_{jk} \\ =T_{kj}x_j+T_{ik}x_j \\ =(T_{ki}+T_{ik})x_i$

所以：
$\frac{\partial \alpha}{\partial \hat x}=2T^{sym}\cdot \hat x \implies \frac{\partial^2\alpha}{\partial \hat x \bigotimes \partial \hat x} = 2T^{sym}$
同样的，以下等式成立：
$\hat x \cdot T \cdot \hat x = \hat x \cdot T^{sym} \cdot \hat x$
因为如果张量的对称部分是正定的，那么该张量也是正定的

NOTE: T的特征值必须为正，T才能为正定的

问题1.25 证明： $F^T \cdot F$ 和 $\cdot F^T$ 都是对称半正定张量。并确定什么条件下 $C 和 b$ 是正定张量

在这里插入图片描述

张量的加性分解

任意两个张量 $T\neq 0$ ，将 $S$ 表示成张量的加性分解：
$\alpha T + U，其中 U = S - \alpha T$

所以， $S$ 由 $KaTeX parse error: Undefined control sequence: \lpha at position 2: a\̲l̲p̲h̲a̲$ 决定，有无穷多种分解方式
然而，当 $\cdot U^T) = Tr(U \cdot T^T)=0$ ，则加性分解是唯一的

$S\cdot T^T =\alpha T \cdot T^T+U\cdot T^T \\ \implies Tr(S\cdot T^T ) = \alpha Tr(T \cdot T^T) +Tr(U \cdot T^T)=\alpha Tr(T\cdot T^T)$
$\implies\alpha = \frac{Tr(S\cdot T^T ) }{Tr(T\cdot T^T)}$

假设 $T = 1$
$\alpha = \frac{Tr(S\cdot 1 ) }{Tr(1\cdot 1)} =\frac{Tr(S ) }{Tr(1)} = \frac{Tr(S ) }{3}$
$\alpha T=S - \frac{Tr(S ) }{3} 1 \equiv S^{dev}$

所以：
$\frac{Tr(S ) }{3} 1 + S^{dev} =S^{sph} + S^{dev}$

NOTE:
$S^{sph} = \frac{Tr(S ) }{3} 1$ 是球形张量；
$S^{dev} = S - \frac{Tr(S ) }{3} 1$ 是偏张量

如果 $\frac{1}{2}(S + S^T)$ ，则
$\alpha = \frac{}{} = \frac{Tr(S\cdot T^T ) }{Tr(T\cdot T^T)} = \frac{\frac{1}{2}Tr(S\cdot (S + S^T)^T ) }{\frac{1}{4}Tr((S + S^T)\cdot (S + S^T)^T)}=1$
可以定义 $\alpha T=S-T=S-\frac{1}{2}(S + S^T)=\frac{1}{2}(S-S^T)$