内容来源
非参数统计（第2版）
清华大学出版社
王星 褚挺进 编著
符号秩检验
在符号检验的基础上，增加了数据绝对值大小的信息
检验统计量
用一个简单的例子来说明
样本数据 X i , i = 1 , ⋯ , 6 X_i,i=1,\cdots,6 Xi,i=1,⋯,6 如下
X 1 = 9 , X 2 = 13 , X 3 = − 7 , X 4 = 10 , X 5 = − 13 , X 6 = 4 X_1=9,X_2=13,X_3=-7,X_4=10,X_5=-13,X_6=4 X1=9,X2=13,X3=−7,X4=10,X5=−13,X6=4
取绝对值后排序得
∣ X 6 ∣ = 4 , ∣ X 3 ∣ = 7 , ∣ X 1 ∣ = 9 , ∣ X 4 ∣ = 10 , ∣ X 2 ∣ = 13 , ∣ X 5 ∣ = 13 |X_6|=4,|X_3|=7,|X_1|=9,|X_4|=10,|X_2|=13,|X_5|=13 ∣X6∣=4,∣X3∣=7,∣X1∣=9,∣X4∣=10,∣X2∣=13,∣X5∣=13
所以各样本的秩为
R 1 = 3 , R 2 = 5.5 , R 3 = 2 , R 4 = 4 , R 5 = 5.5 , R 6 = 1 R_1=3,R_2=5.5,R_3=2,R_4=4,R_5=5.5,R_6=1 R1=3,R2=5.5,R3=2,R4=4,R5=5.5,R6=1
2 2 2 和 5 5 5 绝对值相同，秩取平均
用 S ( x ) S(x) S(x) 表示示性函数 I ( x > 0 ) I(x>0) I(x>0)，有
S ( X 1 ) = 1 , S ( X 2 ) = 1 , S ( X 3 ) = 0 , S ( X 4 ) = 1 , S ( X 5 ) = 0 , S ( X 6 ) = 1 S(X_1)=1,S(X_2)=1,S(X_3)=0,S(X_4)=1,S(X_5)=0,S(X_6)=1 S(X1)=1,S(X2)=1,S(X3)=0,S(X4)=1,S(X5)=0,S(X6)=1
定义 W + = ∑ R i S ( X i ) W^+=\sum R_iS(X_i) W+=∑RiS(Xi)
在这个例子中 W + = 3 + 5.5 + 4 + 1 = 13.5 W^+=3+5.5+4+1=13.5 W+=3+5.5+4+1=13.5
把示性函数反过来，得 W − = 2 + 5.5 = 7.5 W^-=2+5.5=7.5 W−=2+5.5=7.5
与符号检验类似，在双边检验时的检验统计量是
W = min ( W + , W − ) W=\min(W^+,W^-) W=min(W+,W−)
在零假设下的分布
如果零假设成立，每个样本点为正为负的概率相同
n n n 个样本点相互独立，得总体的矩母函数
M n ( t ) = 1 2 n ∏ i = 1 n ( 1 + e t i ) M_n(t)=\frac{1}{2^n}\prod^n_{i=1}(1+e^{ti}) Mn(t)=2n1i=1∏n(1+eti)
