储氢合金/金属氢化物床层有效导热系数的数学模型

news2025/1/20 18:29:51

最近看到一篇有关“储氢合金/金属氢化物床层有效导热系数的数学模型”的论文，文章DOI：10.1016/j.energy.2023.127085，文章提到的数学物理模型还算好理解一些，特意分享给各位感兴趣的大佬。

一、物理模型简图和假设

文章里，对储氢合金床层作了以下几个假设：

金属合金颗粒是球型，储氢合金床层是简单的立方堆积；
颗粒之间为点接触；
忽略上述点接触的热传导，这是因为真空中床层有效导热系数非常低；
传热过程为稳态。

下面是设想的特征单元体，也就是本次文章储氢合金床层的数学模型，其特点就是一个边长为颗粒直径D的立方体中，有两个半径为R的半球形，D=L=2R。通过截面图分析，导热路径经过固体颗粒的路径长度为Ls，经过气体路径长为Lg，Lg+Ls=D=L。

二、一些热流量等物理量的数学推导

根据截面图，通过几何数学关系，得到以下关系，但是根据原文，在算的时候，本人得不到文章里面的结果，而是它的倒数。

由于文章后面很多都是基于结果展开的，因此先按文章结果来吧。

再根据傅立叶定律，得到以下等式：

通过dФ从0到θ（0≤θ≤π/2）的积分，得到文章里面的等式

分析纯气体的导热路径，易得以下等式

特征单元体中总的热流量是以下两者的和Qall，并定义η1、η2和η3，η1和η2是超越方程。注意η3中，是指η2=0.9时的有效气体的圆柱体体积/特征单元体总气体体积。

通过带人具体的λs和λg的值，可解出η1的值，在Excel中输入公式，便可获得与文献表格中的η1数据。同时可以看到，η1均大于0.95，由于λs一般都大于1W/(m·K)，因此，可以说是等效传热路径中，纯气路传热只占<5%，而95%以上均是“颗粒—气膜——颗粒”路径。

根据文献，η2的公式简化成如下表达式，η2=0.9时，求出θ，得到对应Vgas,eff的值，再用η3的定义式求出η3的值。对于Vgas,eff的几何体积如下，我是圆柱体减去球缺的体积，Vgas,all是正方体减去球型的体积。

由于本人不太会解lnx-x=C的方程，因此借助数学工具desmos，当η2=0.9,、λs=1，λg=0.0258时，解得1-cosθ=0.5563，(sinθ)^2=1-(1-(1-cosθ))^2=0.80313031。因此得η3=0.321，与文献里表格1的η3=0.306接近，但不相近。我们在算一下 λs=5，λg=0.0258时，η3=2.00，文献η3=1.98； λs=10，λg=0.0258时，η3=0.166，文献η3=1.65； λs=20，λg=0.0258时，η3=0.139，文献η3=1.41。

三、等效导热系数的计算

根据上面这个图的分析，有三种导热路径，情况(b)是通过颗粒之间接触的纯颗粒之间导热，情况(a)是“颗粒-气膜-颗粒”路径，根据之前分析，这种情况占据主要地位(>95%)，最后的情况(c)是纯气体路径。

热流密度q=λΔT/Δx，假设床层孔隙率为ε，颗粒之间接触比为δ，α为床单元中纯气体占总气体的比例。当接触比为1时，等效导热系数为λs，由于接触比为δ，因此路径体积比为λs*δ，由于孔隙率为ε，即有ε的比例非纯颗粒之间传递热量，又由于ε的比例的体积中，有α比例为纯气体，因此折算有αε为真正纯气体的导热比例，颗粒之间为(1-αε)的比例，所以总的路径体积比为δ*(1-αε)，所以情况(b)：q_b=λs*δ*(1-αε)*ΔT/L=λs(1-αε)δΔT/L。同理，情况(c)：q_c=λg*αε*ΔT/L=λgαεΔT/L。

情况(a)中，根据之前分析，，因为非接触比为(1-δ)，颗粒之间为(1-αε)的比例，所以该情况总的路径体积比为(1-αε)*(1-δ)，所以情况(a)：q_a=λe*(1-δ)*(1-αε)*ΔT/L=(1-αε)(1-δ)/(Ls/L/λs+Lg/L/λg)ΔT/L。

总热流密度q=q_a+q_b+q_c，根据之前分析，q_a占95%以上，纯气体路径合并到路径(a)中，所以路径(a)的总路径体积比为1-(1-ε)δ，真空中，纯靠颗粒之间导热量很低，推断δ≈0，因此还是得到,。