一：图像复原概述

图像复原：在图像生成、记录、传输过程中，由于成像系统、设备或外在的干扰，会导致图像质量下降，称为图像退化，如大气扰动效应、光学系统的像差、物体运动造成的模糊、几何失真等。图像复原是指通过使用图像处理技术来恢复受损图像的原始信息，使其尽可能接近或恢复到原始图像的状态。图像复原的目标是消除或减轻图像中的噪声、模糊、失真或其他损坏，并尽量还原图像的细节和清晰度。图像复原的过程通常涉及以下几个步骤

• 损坏分析：首先，需要对受损的图像进行分析，了解图像损坏的类型和原因。常见的图像损坏包括噪声、模糊、运动模糊、伪影等
• 恢复方法选择： 根据图像的损坏类型和特点，选择合适的图像复原方法。常见的复原方法包括滤波、去噪、去模糊、去振铃等
• 处理技术应用： 根据选择的复原方法，应用相应的图像处理技术进行图像恢复。这可能包括频域滤波、空域滤波、图像修复、插值等技术
• 参数调整和优化： 在应用处理技术时，通常需要调整一些参数来优化图像复原效果。这些参数可能包括滤波器类型、阈值、平滑度等
• 结果评估： 最后，需要评估复原后的图像质量。可以使用一些评估指标如**峰值信噪比（PSNR）、结构相似性指数（SSIM）**等来量化评估图像复原的效果

图像复原在许多领域都有应用，如医学影像、遥感图像、监控图像等。通过图像复原，我们可以提高图像质量，恢复图像的细节和清晰度，以便更好地进行图像分析、视觉识别和人工智能等任务

二：图像退化模型

图像退化模型：是描述图像损失或退化过程的数学模型。它用于模拟和理解图像在获取、传输或存储过程中所遭受的各种损失和变化。通过建立适当的退化模型，我们可以更好地理解图像退化的原因，并设计相应的图像复原算法。常见的图像退化模型包括以下几种

• 噪声模型：噪声是图像中不希望的随机干扰。图像在捕捉、传输或处理过程中常常会受到各种噪声的影响，如高斯噪声、椒盐噪声等。噪声模型用于描述噪声对图像的影响，通常使用统计方法或概率模型来建模噪声的特性和分布
• 模糊模型：模糊是指图像中的细节变得不清晰或模糊不清。图像在采集或传输过程中，可能会受到镜头的散焦、摄像机或对象的运动等因素的影响而导致模糊。模糊模型用于描述这些因素对图像的影响，例如点扩散函数（PSF）模型用于描述模糊的程度和类型
• 压缩模型：图像压缩是为了减小图像文件的大小以便于存储和传输。压缩过程中可能会引入压缩伪影和信息丢失。压缩模型用于描述压缩算法对图像质量的影响，例如JPEG压缩模型可以模拟JPEG算法对图像的失真过程
• 几何变换模型：几何变换是指图像在旋转、缩放、平移或扭曲等操作下的形状变化。这些变换可能会导致图像的形状和结构发生改变。几何变换模型用于描述这些变换对图像的影响，例如仿射变换模型或投影变换模型

（1）连续退化模型

连续退化模型：一种描述图像退化过程的数学模型，它考虑了图像在连续时间或空间中的变化。这些模型通常基于物理原理或实验观察，并用数学公式表示图像在退化过程中的变化

• 模糊模型：模糊是指图像中细节变得不清晰或模糊不清。模糊可以由光学系统的散焦问题、运动模糊、大气湍流等因素引起。模糊模型使用点扩散函数（PSF）来描述图像中物体的模糊效应。典型的模糊模型包括线性运动模糊模型、高斯模糊模型、盲模糊模型等
• 噪声模型：噪声是图像中的随机干扰。图像在获取、传输和处理过程中可能会受到各种噪声的影响，例如高斯噪声、椒盐噪声等。噪声模型使用概率分布函数来描述噪声的统计特性，如高斯噪声模型使用高斯分布描述
• 曝光模型：曝光是指图像的亮度过程，包括光照条件和相机的曝光设置。过曝光和欠曝光会导致图像的细节丢失和对比度变差。曝光模型通常考虑光源的强度、反射率和相机的曝光参数，使用曝光函数来描述图像的亮度变化
• 色彩模型：色彩模型用于描述图像的颜色变化，包括颜色偏移、饱和度变化等。色彩模型考虑光源的光谱分布和物体的反射特性，使用颜色转换函数来描述图像的色彩变化

抽象为一个退化系统$H$以及加性噪声的影响

$$g(x,y)=H[f(x,y)]+n(x,y)$$

用线性、空间不变系统模型来模拟实际中的非线性和空间变化模型

$$H[f(x,y)]=f(x,y)\ast h(x,y)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\alpha ,\beta )h(x-\alpha ,y-\beta )d\alpha d\beta$$

退化模型如下所示，$h(x,y)$称为点扩散函数（PSF），其傅里叶变换$H(u,v)$也称为光学传递函数（OTF）

$$g(x,y)=f(x,y)\ast h(x,y)+n(x,y)$$

（2）离散退化模型

离散退化模型：是一种描述图像退化过程的数学模型，它考虑了图像在离散领域中的变化。这些模型基于采样和量化等离散操作，并使用离散的数学表示来描述图像的退化过程。以下是几个常见的图像离散退化模型

• 采样模型：采样是指将连续域中的图像转换为离散域中的图像。在采样过程中，连续域的图像被离散地采样成像素网格。采样模型通常使用采样函数或插值方法来描述离散采样对图像的影响，例如最近邻插值、双线性插值等
• 量化模型：量化是指将连续的像素值映射到离散的像素值。在量化过程中，图像的像素值被限制为有限的离散级别。量化模型使用量化函数来描述图像中像素值的离散化过程，例如均匀量化、非均匀量化等
• 噪声模型：噪声是图像中的随机干扰。离散图像在获取、传输和处理过程中可能会受到各种类型的噪声影响，如加性噪声、椒盐噪声等。噪声模型使用概率分布函数来描述噪声的统计特性，例如高斯噪声模型、均匀噪声模型等
• 压缩模型：图像压缩是为了减小图像文件的大小以便于存储和传输。压缩过程中会引入压缩伪影和信息丢失。压缩模型使用压缩算法来描述压缩对图像的影响，例如基于变换的压缩模型如JPEG压缩

如下为采样延拓

$$\begin{array}{l}{f}_e(x,y)=\{\begin{array}{cc}f(x,y)& 0\le x\le A-1,0\le y\le B-1\\ 0& A\le x\le M-1,B\le y\le N-1\end{array}\\ h_e(x,y)=\{\begin{array}{cc}h(x,y)& 0\le x\le C-1,0\le y\le D-1\\ 0& C\le x\le M-1,D\le y\le N-1\end{array}\end{array}$$

如下为二维离散卷积退化模型

$$g_e(x,y)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}{f}_e(m,n)h_e(x-m,y-n),x=0\sim M-1;y=0\sim N-1$$

三：图像退化函数的估计

（1）基于模型的估计法

基于模型的估计法：若已知引起退化的原因，根据基本原理推导出其退化模型，称为基于模型的估计法

（2）运动模糊退化估计

运动模糊图像：景物和摄像机之间的相对运动，曝光时间内，景物在不同时刻产生多个影像，叠加而导致的模糊，称为运动模糊

• $x_0(t),y_0(t)$为$x,y$方向上的运动分量，$T$为曝光时间

$$g(x,y)={\int }_0^{T}f\left[x-x_0(t),y-y_0(t)\right]dt$$

运动模糊传递函数：

• 匀速直线运动，$T$时间内$x,y$方向上运动$a$和$b$

$$\begin{array}{rl}H(u,v)& ={\int }_0^T{e}^{-j2\pi [uat/T+vbt/T]}dt\\ & =\frac{T}{\pi (ua+vb)}\sin [\pi (ua+vb)]e^{-j\pi (ua+vb)}\end{array}$$

运动模糊的点扩散函数：景物在$x-y$平面沿$\theta$方向做匀速直线运动（$\theta$是运动方向和$x$轴夹角），移动$L$个像素，点扩散函数为

$$h(x,y)=\{\begin{array}{cc}1/L& y=x\tan \theta ,0\le x\le L\cos \theta \\ 0& y\ne x\tan \theta ,-\infty <x<\infty \end{array}$$