Adam优化器及其变种的原理

news2024/12/28 3:07:06

本文将从SGD开始介绍Adam优化器的原理以及其变种的提出背景。

1、SGD的原理

SGD（随机梯度下降法）是基于最速梯度下降法的原理，假设我们存在损失函数 $L(\theta )$ ，其中 $\theta$ 是要学习参数，定义如下的优化路径 $\theta^{k+1}=\theta^{k}+t^k\Delta(\theta^{k}),\ k=0,1,2,... ...$ ，使得损失函数 $L(\theta )$ 值最小。这是一个不断更新迭代参数 $\theta$ 的过程，其中 $k$ 表示其中某一更新步， $t^k$ 表示更新步长（即学习率）， $\Delta(\theta^{k})$ 表示更新方向。

假设存在最优参数 $\theta^*$ ，当前参数为最优参数附近的 $\theta^k$ ，我们选择合适的参数更新步长，使得 $\theta^{k+1}=\theta^{k}+t^k\Delta(\theta^{k})$ 逼迫最优参数。我们对目标损失函数 $L(\theta )$ 进行泰勒展开：

$L(\theta^*) = L(\theta^k+v)\approx L(\theta^k) + \nabla L(\theta^k) v$

因为 $\theta^*$ 是最优参数，所以：

$L(\theta^*) < L(\theta^k) \rightarrow \nabla L(\theta^k) v< 0$

最速下降法是指在规范化 $v$ 的基础上，找到一个合适的值使得方向导数 $\nabla L(\theta^k) v$ 最小，或者说让 $L(\theta^k)$ 近可能逼近最优值 $L(\theta^*)$ ，假设是L2范式 $\left \| v \right \|\leq 1$ 时，当 $v = -\nabla L(\theta^k)$ 时，方向导数最小。因此最速下降法的更新路径可以表示为：

$\theta^{k+1}=\theta^{k} - t^k\nabla L(\theta^k),\ k=0,1,2,... ...$

其中 $t^k$ 表示更新步长，因为上述泰勒展开式包含要求是在参数附近进行更新，因此需要控制更新的步长，其在SGD中称之为学习率。

2、SGD with Momentum 动量SGD的原理

因为在SGD中方向梯度 $g_k = L(\theta^k)$ 可能会因为某些点偏差会造成参数学习的振荡，因此通过动量来添加平滑参数：

$m_k = \beta m_{k-1} + (1-\beta )g_k$

$\theta^{k+1}=\theta^{k} - t^k m_k,\ k=0,1,2,... ...$

3、Adam的原理

动量SGD解决了由于梯度在某些点偏差会带来学习的振荡，但同时学习率设置也会影响学习，当梯度较小时，学习率设置过小，会减缓训练速度，而当梯度较大，学习率如果设置过大，会造成训练的振荡，因为Adam在动量SGD基础上增加了自适应调整学习率（即更新步长）。

$m_k = \beta_1 m_{k-1} + (1-\beta_1 )g_k$

$v_k = \beta_2 v_{k-1} + (1-\beta_2 )g_k^2$

$\theta^{k+1}=\theta^{k} - t^k m_k / \sqrt{v_k},\ k=0,1,2,... ...$

Adam在动量SGD的基础上增加了二阶动量 $v^k$ ，通过其来自适应控制步长，当梯度较小时，整体的学习率 $t^k /\sqrt{v_k}$ 就会增加，反之会缩小，因此在一般情况下，Adam相较于SGD，其收敛速度要更快。

同时为了避免某些点梯度偏差带来学习率的振荡，因此通过 $\beta_2$ 引入动量特性（由于梯度二次情况下，一般 $\beta_2 > \beta_1$ ）。

4、AdamW的原理

但是Adam存在另外的问题，当loss函数中存在L2正则项时，采用Adam优化并不会有效，主要原因是Adam的学习率是变化的，而且当梯度变大时，其学习率会变小，因此会使梯度较大的权重参数同梯度较小的权重参数相差更大，这同L2正则是相违背的。我们通过公式来说明这个过程：

假设目标损失函数添加了L2正则项后，如下表示为：

$L(\theta ) = L(\theta ) + \frac{1}{2}\left \| \theta \right \|^2$

如果通过动量SGD作为优化器，此时参数的更新可以写为如下式，同时可以看出L2正则项同weight decay也是等价的。

$\hat{m_k} = \beta m_{k-1} + (1-\beta )(g_k + \theta^k) = m_k + (1-\beta )\theta^k$

$\theta^{k+1}=\theta^{k} - t^k \hat{m_k} = \beta \theta^{k} - t^k m_k,\ k=0,1,2,... ...$

但是当Adam应用时，weight decay系数当梯度较大时其值较小，使得Adam对于L2正则项的优化并不好。因此AdamW主要是在Adam中增加了weight decay项，来帮助优化L2正则项：

$\theta^{k+1}=\theta^{k} - t^k (m_k / \sqrt{v_k} + \omega \theta^{k}),\ k=0,1,2,... ...$

$\omega =\omega_{norm}\sqrt{\frac{b}{BT}}$

上式中的 $\omega$ 为weight decay的系数，其中b表示batch size，B表示epoch中训练的batch数，T表示总共的epoch数，可以看出weight decay系数同整个训练轮数有关系。

5、AdamWR的原理

AdamWR主要是添加了热重启warm restart功能，其解决的问题是避免模型训练陷入局部最优，因为学习率和梯度会一直收敛，当达成局部最优点时，很难或者要很长时间才能跳出来，因此AdamWR主要是通过周期性增大学习率，从而提升模型的探索空间。

这个周期性调整学习率的函数称为cosine annealing，可以表示为：

$t^k = t^i_{min} + 0.5(t^i_{max} - t^i_{min})(1 + cos(\pi T_{cur}/T_i))$

AdamWR将整个训练过程分为多个热重启过程，上式中的i表示为第i个热重启过程， $t^i_{min}$ 表示在该阶段中最小的学习率， $T_i$ 表示当前热重启轮中总共需要训练epoch数， $T_{cur}$ 表示当前已经训练的epoch数。

通过AdamWR的模型的探索空间更大，下图评估了在不同初始学习率和L2正则项权重值的情况下，AdamWR所能找到的优点空间更大。

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