二叉树概念博客：http://t.csdn.cn/XIW84
目录
1. 了解堆
1.1 堆的概念
1.2 堆的性质：
1.3 堆的结构图片
1.3.1 小堆
1.3.2 大堆
2. 堆的实现
2.1 插入数据进堆
2.2 向上调整函数
2.3 堆的删除
2.4 向下调整
3. 堆的应用
3.1 建堆（两种方式）
3.1.1 建堆方式1
3.1.2 建堆方式2
3.2 堆排序
3.3 堆的TOP—K问题
1. 了解堆
1.1 堆的概念
1.2 堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。
1.3 堆的结构图片
1.3.1 小堆
满足下面条件的是小堆
1.3.2 大堆
满足下面条件的是大堆
注意不一定是从大到小、从小到大存储的！！！
堆有什么作用呢？
下面来细讲，别走开！！！
2. 堆的实现
2.1 插入数据进堆
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
assert(php);
if (php->size == php->capacity)
{
int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType)*newcapacity);
if (tmp == NULL)
{
printf("realloc fail\n");
exit(-1);
}
php->a = tmp;
php->capacity = newcapacity;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;
AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}注意点！！！
假如一开始我们的堆是小堆，但是在插入数据以后要保持还是小堆，要将插入的数据的大小和它的父亲进行比较，比较的两种情况：
1. 如果插入的数据比父亲还要大，那就不需要调整
2. 如果插入的数据比父亲还要小，那就需要调整
如果需要调整，我们就要使用向上调整算法，保持插入数据后的堆还是小堆
2.2 向上调整函数
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;//求出插入数据的父亲位置下标
while (child > 0)
{
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;//将父亲的下标给孩子，向上调整
parent = (child - 1) / 2;//再算出此时插入数据的父亲下标
}
else
{
break;
}
}
}
2.3 堆的删除
能不能使用覆盖删除呢—不能！！！
使用覆盖删除，会打乱父子之间的下标关系，父子关系就会全部乱掉，因此我们使用下面的方法来删除数据
1. 先将下标为0位置的数据和下标最大的数据进行交换
2. 然后直接size--
3. 然后还需要使用向下调整算法，把堆再调整为小堆
void HeapPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
Swap(&(php->a[0]), &(php->a[php->size - 1]));1.交换
php->size--;//2. 删除堆顶元素
AdjustDwon(php->a, php->size, 0);//向下调整，保证还是小堆
}2.4 向下调整
void AdjustDwon(HPDataType* a, int size, int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child < size)
{
// 选出左右孩子中小那个
//这里的if里面的判断大小尽量写成小于是小堆，大于是大堆
if (child+1 < size && a[child+1] < a[child])
{
++child;
}
// 孩子跟父亲比较
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}3. 堆的应用
3.1 建堆（两种方式）
3.1.1 建堆方式1
利用插入元素的方式，向上调整建堆
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
//if (a[child] < a[parent])
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
/
void HeapSort(int* a, int n)//传一个数组过来，还有元素个数
{
// 建堆方式1：O(N*logN)
for (int i = 1; i < n; ++i)
{
AdjustUp(a, i);//从插入的第二个元素开始
}
}建堆方式1的时间复杂度 ——错位相减法
3.1.2 建堆方式2
利用向下调整建堆
方法：找到最后一个元素的父亲，并从这个位置开始向下调整
void HeapSort(int* a, int n)
{
// 建堆方式2：O(N)
for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; --i)
{
AdjustDwon(a, n, i);
}
// O(N*logN)
int end = n - 1;
while (end > 0)
{
Swap(&a[0], &a[end]);
AdjustDwon(a, end, 0);
--end;
}
}建堆方式2的时间复杂度——错位相减法
3.2 堆排序
排升序，建大堆，再向下调整
为什么建大堆呢？
建大堆，堆顶元素是最大的数，让堆顶元素和最后一个元素交换，再向下调整，注意：这里向下调整时是调整的数组大小-1个，也就是调整刚刚交换下来前面的数据
排降序，建小堆，再向下调整
void HeapSort(int* a, int n)
{
// 建堆方式2：O(N)
for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; --i)
{
AdjustDwon(a, n, i);
}
// O(N*logN)
int end = n - 1;
while (end > 0)
{
Swap(&a[0], &a[end]);//这里的end是9，传过去向下调整的元素个数也是9，
//就不会调整刚刚从堆顶传下来的数据
AdjustDwon(a, end, 0);
--end;
}3.3 堆的TOP—K问题
TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
实现思路：
这样空间复杂度非常小
注意：
求前k个最大的数，是建小堆
解释：由于建立的前k个数是小堆，后面n-k个数都可能比对顶的数值大，比堆顶的元素大，就替换堆顶的元素，然后再向下调整，保持前k个数是小堆，然后再比较····
求前k个最小的数，是建大堆（同上）
代码实现：
void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
// 1. 建堆--用a中前k个元素建堆
int* kMinHeap = (int*)malloc(sizeof(int)*k);
assert(kMinHeap);
for (int i = 0; i < k; ++i)//将a数组里面前10个数赋值给KMinHeap
{
kMinHeap[i] = a[i];
}
for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)//向下调整建堆，建立k个数的小堆
{
AdjustDwon(kMinHeap, k, i);
}
// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换
for (int j = k; j < n; ++j)
{
if (a[j] > kMinHeap[0])
{
kMinHeap[0] = a[j];
AdjustDwon(kMinHeap, k, 0);//再向下调整，保持前k个数是小堆
}
}
for (int i = 0; i < k; ++i)
{
printf("%d ", kMinHeap[i]);
}
printf("\n");
}
void TestTopk()
{
//随机生成一万个数字，每个数字%1百万，这一万都是比一百万小的数字，
//我们将其中的10个数改为比一百万大的值
int n = 10000;
int* a = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
srand(time(0));
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
a[i] = rand() % 1000000;
}
a[5] = 1000000 + 1;
a[1231] = 1000000 + 2;
a[531] = 1000000 + 3;
a[5121] = 1000000 + 4;
a[120] = 1000000 + 5;
a[99] = 1000000 + 6;
a[0] = 1000000 + 7;
a[76] = 1000000 + 8;
a[423] = 1000000 + 9;
a[3144] = 1000000 + 10;
PrintTopK(a, n, 10);
}
本文讲的是二叉树的顺序存储结构（堆）的实现，下期我们来讲二叉树的链式存储结构，到时候记得来支持小余哦！！！
如果觉得文章不错，期待你的一键三连哦，你个鼓励是我创作的动力之源，让我们一起加油，顶峰相见！！！
