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关于AVL树的讲解

👍 AVL树的概念先了解一下

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• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1 (-1/0/1)

• 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 $O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度O($lo{g}_{2}n$)。

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😁AVL树节点的定义

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//AVL 树的节点
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	//左右子数的高度差
	int _bf;

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

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😊AVL树插入节点

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		// 1、搜索树的规则插入
		// 2、看是否违反平衡规则，如果违反就需要处理：旋转
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_bf = 0;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		cur->_parent = parent;

		// ...
		// 更新平衡因子
		while (parent) // 最远要更新根
		{
			if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}

			// 是否继续更新？
			if (parent->_bf == 0)  // 1 or -1  -》 0  插入节点填上矮的那边
			{
				// 高度不变，更新结束
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
				// 0  -》 1 或 -1  插入节点导致一边变高了
			{
				// 子树的高度变了，继续更新祖先
				cur = cur->_parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
				// -1 or 1  -》 2 或 -2  插入节点导致本来高一边又变高了
			{
				// 子树不平衡 -- 需要旋转处理
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) // 左单旋
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) // 右单旋
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) // 左右双旋
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) // 右左双旋
				{
					RotateRL(parent);
				}

				break;
			}
			else
			{
				// 插入之前AVL就存在不平衡子树，|平衡因子| >= 2的节点
				assert(false);
			}
		}

		return true;
	}

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🤞AVL树为什么要旋转

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当一个树左右高度差绝对值大于1 的时候就要进行旋转

这是一个简单的示范：

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😍AVL树的四种旋转

左单旋

图片演示(我自己纯手画):

代码:

void RotateL(Node* parent)//左单旋
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;
		parent->_right = SubRL;
		if (SubRL)
		{
			SubRL->_parent = parent;
		}
		Node* ppNode = parent->_parent;

		SubR->_left = parent;
		parent->_parent = SubR;
		if (_root == parent)
		{
			_root = SubR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = SubR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = SubR;
			}
			SubR->_parent = ppNode;
		}

		//旋转结束更新平衡因子
		parent->_bf = 0;
		SubR->_bf = 0;
		
	}

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右单旋

图片演示(我纯手画)

代码:

void RotateR(Node* parent)//右单旋
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;
		parent->_left = SubLR;
		if (SubLR)
		{
			SubLR->_parent = parent;
		}
		Node* ppNode = parent->_parent;
		SubL->_right = parent;
		parent->_parent = SubL;
		if (_root == parent)
		{
			_root = SubL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = SubL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = SubL;
			}
			SubL->_parent = ppNode;
		}
		
		//旋转结束更新平衡因子
		parent->_bf = 0;
		SubL->_bf = 0;
	}

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左右双旋

图片演示(我纯手画):

parent节点平衡因子和subL节点的平衡因子都与subLR有关

subLR	parent	subL
0	0	0
1	0	-1
-1	1	0

代码:

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		// 更新平衡因子
		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			// subLR->_bf旋转前就有问题
			assert(false);
		}
	}

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右左双旋

图片演示(我自己纯手画):

e?)]

parent节点平衡因子和subR节点的平衡因子都与subRL有关

subRL	parent	subR
0	0	0
1	-1	0
-1	0	1

代码:

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else
		{
			// subLR->_bf旋转前就有问题
			assert(false);
		}
	}

❤️结语

一起加油