这一章讲移动机器人相关的内容。许久没有更新了，有人私聊我是不是烂尾了。写的这几篇屁文我本来是拿来当自己的笔记本的，不以为有人会认真看。没想到居然还有人追，真是受宠若惊。在这里深表感谢！一直没更新其实是因为年后的工作实在是太忙了，连休息的时间都没有，更何谈写这些博客。另外我还看到之前写的一些内容甚至我自己都没有印象了，看来还得抽时间再回顾一遍。

话不多说，开始吧：

开篇放了一个这样的公式：意为讲固定系s下的角速度、沿xy方向的线速度变换到body系下并用旋量表示。在2维平面中，角速度其实无所谓哪个系，因为尽管是body系，瞬间来说也是固定的，其旋转的角速度瞬间而言是相同的。而线速度，可以看出从s系到b系，是乘了一个二维的旋转矩阵Rbs，而从b系是乘了一个Rsb。

这要注意一下：标准的Rsb，第一列是cos，sin。回顾一下以前的知识：对绕轴旋转得到的旋转矩阵而言，对x，z轴旋转，除了把对应位置填成1，行和列其他位置填成0，剩下的第一列就是填cos，sin。写出了第一列，另一列就自然把sin取反即可。y则相反，头一列是cos，-sin。

 轮式机器人类型

主要分为非完整（nonholonomic）类型和全向（omnidirectional）类型。

非完整类型主要受到Pfaffian速度约束，大意就是速度约束无法通过积分来转换成一个等效的位形约束，参见：【现代机器人学】学习笔记一：位形空间_grubler公式_zkk9527的博客-CSDN博客

而全向类型的又分为全向轮和麦克纳姆轮，书上有明确的图，就是一圈轮胎上还挂着横向的轮，全向轮的话横向的轮的旋转轴在车轮平面上，而麦克纳姆轮的旋转轴和轮的平面有一个夹角。

实际上，要实现全向移动，机器人底盘上至少需要有三个轮子，绕起来是一个圆，通过控制三个轮子的转速，才能实现全向功能。（为什么呢？因为我们移动机器人实际上是想生成三维底盘速度，即角速度和xy方向的线速度。我们既然不是非完整约束的轮子，三个自由度的输出，那我们就得需要三个自由度的输入，即三个轮子的转速）而我们图上的轮子：

 它这个横向的轮子只是确保能横着转，这样不会对主动轮造成横向摩擦，并不是说上位机可以控制主动轮上面的一个一个小的滚轮主动运动，这点要注意。

和机械臂不同，轮式机器人的运动学，主要考虑车轮速度如何映射为机器人本体速度，而动力学则考虑车轮的扭矩如何映射为机器人的加速度。这章只考虑运动学的内容。实际上按我的工程经验而言，好像对移动机器人而言一般并不是很在意动力学，更重要的是避开障碍物。也许这些内容做自动驾驶的朋友们更关注，但目前我还没有接触过。

全向轮式机器人

建模

这本书很好，好就好在讲内容以前总是从宏观角度先说明，自己打算讲什么东西。让读者带着问题去继续读，总比稀里糊涂读下去好一些。

这里列出了两个关键问题：

1.车轮怎么转，才能使得底盘达到期望的速度？

2.根据车轮转速的极限，怎么得到底盘速度的极限？

好那让我们带着问题继续读下去。

单个全向轮是怎么运动的

 在说三个全向轮子组成的机器人的运动之前，我们需要先考虑单个轮子转起来会怎么样。如左一图所示，这个麦克纳姆轮上的被动轮，和主动轮的轴之间存在一个夹角γ，被动轮在转起来的时候，可能会发生一个“滑动”，这是被允许的。假设滑动的方向沿着左图的方向，因此我们可以得到如下的公式：

 相信上面的公式大家都可以看明白，就是一个简单的几何关系。但是这个问题中呢，我们是想分清主次。我们事实上是想控制Vx,Vy的，但是我们这里只能控制主动速度Vdrive，因此需要解方程：

滑动速度Vslide是被动轮在转的，我们管不了，我们只能通过控制轮子的驱动角速度，来控制主动速度Vdrive：

 

 因此我们想控制一个轮子的速度vx，vy的话，只要通过上式，控制主动轮的驱动角速度就可以了。

多个全向轮是如何带动底盘运动的

我们假设是第i个轮子的驱动角速度，是期望的底盘速度，那么这里向做的就是计算出各个，从而实现。

书里二话不说，摆了一个公式。实际上这里摆快了，容易吓到读者。

现在我们不要急，从右到左一个一个看：

这一项是干嘛呢？别忘记我们开头的内容，是把s系下的线速度，通过Rbs，转换到body系下得到一个旋量速度。

这个公式难在第二个变换：

这是个什么玩意呢？看的让人一头雾水。

我们知道，这个东西得到一个3*1的向量，即代表底盘在body系下的旋量。

 那左边再乘以这样一个2*3的矩阵，会得到一个2*1的向量，目的是得到车轮在body系（也就是底盘坐标系）中xy方向的线速度。

那这里我不得不放一个图，否则说不清楚：

假如蓝色的v是底盘瞬时的角速度引起的垂直于半径方向的线速度，我们要做的就是把它给拆分，得到xy分量上的速度，然后和原本xy方向的速度叠加在一起，得到

 那么这时候 乘以的含义就很清楚了。就是得到了车轮在body系下的线速度，去除了角速度的影响。

然后我们把车轮在body系下的速度，变换到车轮坐标系下，我们根据左图，可以看出有一个β的夹角。我们知道如果从A系到B系，如果根据右手坐标系，从A转到B的夹角为θ，那么旋转矩阵RAB为：

 在上图中，从body系到车轮系的夹角为β，而我们已经有了body系下的线速度，因此，Rbody_steer  为

 

而Rsteer_body为：

即中的第三个变换。

这时得到了在车轮系下的线速度，我们要变成控制的驱动角速度，这是套用之前在 单个全向轮是怎么运动的 这部分的公式：，我们采用向量的形式来写，就是：

注意，这个里面它是一个1*2的向量，通过乘以右边的2*1的向量，得到一个1*1的角速度。可不能犯傻理解为这里是啊。

这时候难点攻克下来了，我们这里化简，把H矩阵算出来，这样编码的时候就是一劳永逸，直接就可以从底盘期望速度得到各个车轮的速度了：

 这个过程我就不想推了，毕竟不是在研究数学。

然后u就表示为：

这里的u就是各个车轮的转速了，而不只是之前的ui代表第i个车轮的转速。

如果我们想让H中没有角度变量，那就是把

 

 中的前三项合在一起，后两项合在一起：

 这个的作用是，对车辆的构型可以起到指导作用，即选择车轮在底盘坐标系的位置，滑动方向，就可以合理选择，使得H(0)的秩为3。

那么到现在来说，实际上就完成了开篇的内容中的第一个重要问题：如何通过底盘的期望速度，计算得到各个车轮的转速。

那么根据上面得到的方法，再配合实际的机器人构型：

 我们带入公式就可以得到实际的运动学模型：

 

 那么上面的推导实际上就是授人以渔。

对于图示的四个麦克纳姆轮的全向小车，如果想沿着+x方向运动，所有车轮需要相同速度向前行驶。如果想沿着+y移动，1和3后驱动，2和4前驱动。如果想旋转，就是同侧相同驱动，另一侧反向。这个想想就可以理解。

第二个重要问题：根据车轮转速的极限，怎么得到底盘速度的极限？

我们知道，车轮速度是受到约束的：

那么我们就可以得到两个约束平面，只要在它之间的Vb就可以满足。

多个轮子，就是多个约束平面，构成的多面体，内部空间实际上就意味着在凸多面体内部的运动旋量都是可行的。

运动规划和反馈控制 

对全向轮小车而言，好处就在于任何方向都可以直接移动。因此运动规划无需多讲，和前面的内容完全一致，参见：【现代机器人学】学习笔记九：运动规划_虚拟势场法_zkk9527的博客-CSDN博客

而反馈控制，也可以回顾一下：

通过这种方式来跟踪轨迹，其中q为传感器对实际位形的估计。我们在底层使用上面推导得到的公式，就可以把期望速度转化为车轮驱动速度进行控制了。

非完整约束轮式移动机器人 

这个今天没有时间写了，明天继续，占坑。。