包围盒算法

说白了就是给物体装进一个盒子里，该盒子可以装下物体。目的是为了进行碰撞检测。

种类：

1. 球状碰撞体
2. 立方体碰撞体
3. 胶囊碰撞体
4. Mesh碰撞体

实现原理是OBB包围盒。

经常使用的两种碰撞算法是OBB包围盒和AABB包围盒算法。

OBB包围盒算法

方向包围盒（Oriented bounding box），简称为OBB。

OBB包围盒特点：始终沿着物体的主方向生成最小的一个矩形包围盒，并且可以随物体旋转，这就决定了它可以用来做精准的碰撞检测。

判断碰撞条件：两个多边形，在所有轴的投影都发生了重叠，则认为发生了碰撞；否则，认为没有发生碰撞。

OBB有很多中表达的方式。

cocos2dx中定义的表达方式为：

Vec3 _center;   // obb center
Vec3 _xAxis;    // x axis of obb, unit vector
Vec3 _yAxis;    // y axis of obb, unit vector
Vec3 _zAxis;    // z axis of obb, unit vector
Vec3 _extentX;  // _xAxis * _extents.x
Vec3 _extentY;  // _yAxis * _extents.y
Vec3 _extentZ;  // _zAxis * _extents.z
Vec3 _extents;  // obb length along each axis

_center ：中心点

_xAxis ：包围盒X轴方向单位矢量

_yAxis ：包围盒Y轴方向单位矢量

_zAxis ：包围盒Z轴方向单位矢量

_xAxis、_yAxis、_zAxis 为正交单位向量，定义了当前OBB包围盒的x，y，z轴，用来计算矢量投影的

_extentX ：包围盒X轴坐标

_extentY ：包围盒Y轴坐标

_extentZ ：包围盒Z轴坐标

_extents ：定义了OBB包围盒的长、宽、高

这里可以看出来，每一个OBB包围盒需要24个float类型的变量来存储，占了96个字节。这样相比AABB来说，的确会需要额外的内存空间。

减少开销的办法：只存储旋转矩阵的两个轴，只是在测试的时候，利用叉积计算第三个轴。

创建 OBB

cocos2dx 使用了两种创建方式

利用AABB

由一个AABB包围盒来确定最终OBB包围盒。

OBB::OBB(const AABB& aabb)
{
    reset();
    
    _center = (aabb._min + aabb._max);
    _center.scale(0.5f);
    _xAxis.set(1.0f, 0.0f, 0.0f);
    _yAxis.set(0.0f, 1.0f, 0.0f);
    _zAxis.set(0.0f, 0.0f, 1.0f);
    
    _extents = aabb._max - aabb._min;
    _extents.scale(0.5f);
    
    computeExtAxis();
}

协方差矩阵

利用协方差矩阵来确定一个方向包围盒。

通俗点就是将原基下的坐标转换到新基上，然后依照新基算出AABB包围盒，然后再转换到原基，这个时候就是原基的OBB包围盒了。

关于协方差和PCA的知识点可以参考：

PCA

里面讲得非常详细。

大部分引擎都使用到了该算法，cocos2dx中也使用了这个算法。如下：

//生成协方差矩阵

static Mat4 _getConvarianceMatrix(const Vec3* vertPos, int vertCount)
{
    int i;
    Mat4 Cov;

    double S1[3];
    double S2[3][3];

    S1[0] = S1[1] = S1[2] = 0.0;
    S2[0][0] = S2[1][0] = S2[2][0] = 0.0;
    S2[0][1] = S2[1][1] = S2[2][1] = 0.0;
    S2[0][2] = S2[1][2] = S2[2][2] = 0.0;

    // get center of mass
    for(i=0; i<vertCount; i++)
    {
        S1[0] += vertPos[i].x;
        S1[1] += vertPos[i].y;
        S1[2] += vertPos[i].z;

        S2[0][0] += vertPos[i].x * vertPos[i].x;
        S2[1][1] += vertPos[i].y * vertPos[i].y;
        S2[2][2] += vertPos[i].z * vertPos[i].z;
        S2[0][1] += vertPos[i].x * vertPos[i].y;
        S2[0][2] += vertPos[i].x * vertPos[i].z;
        S2[1][2] += vertPos[i].y * vertPos[i].z;
    }

    float n = (float)vertCount;
    // now get covariances
    Cov.m[0] = (float)(S2[0][0] - S1[0]*S1[0] / n) / n;
    Cov.m[5] = (float)(S2[1][1] - S1[1]*S1[1] / n) / n;
    Cov.m[10] = (float)(S2[2][2] - S1[2]*S1[2] / n) / n;
    Cov.m[4] = (float)(S2[0][1] - S1[0]*S1[1] / n) / n;
    Cov.m[9] = (float)(S2[1][2] - S1[1]*S1[2] / n) / n;
    Cov.m[8] = (float)(S2[0][2] - S1[0]*S1[2] / n) / n;
    Cov.m[1] = Cov.m[4];
    Cov.m[2] = Cov.m[8];
    Cov.m[6] = Cov.m[9];

    return Cov;
}

碰撞检测

关于碰撞检测，在另一篇中有提到，利用分离轴定理(separating axis theorem) 来进行检测。

cocos2dx 3D物理相关知识点汇总

cocos2dx中相关代码：

//将点映射到坐标上
float OBB::projectPoint(const Vec3& point, const Vec3& axis)const
{
    //点积的方式
    float dot = axis.dot(point);
    float ret = dot * point.length();
    return ret;
}

//计算 最大、最小的投影值
void OBB::getInterval(const OBB& box, const Vec3& axis, float &min, float &max)const
{
    Vec3 corners[8];
    box.getCorners(corners);
    float value;
    min = max = projectPoint(axis, corners[0]);
    for(int i = 1; i < 8; i++)
    {
        value = projectPoint(axis, corners[i]);
        min = MIN(min, value);
        max = MAX(max, value);
    }
}

//取边的矢量
Vec3 OBB::getEdgeDirection(int index)const
{
    Vec3 corners[8];
    getCorners(corners);
    
    Vec3 tmpLine;
    switch(index)
    {
        case 0:// edge with x axis
            tmpLine = corners[5] - corners[6];
            tmpLine.normalize();
            break;
        case 1:// edge with y axis
            tmpLine = corners[7] - corners[6];
            tmpLine.normalize();
            break;
        case 2:// edge with z axis
            tmpLine = corners[1] - corners[6];
            tmpLine.normalize();
            break;
        default:
            CCASSERT(0, "Invalid index!");
            break;
    }
    return tmpLine;
}

// 取面的方向矢量
Vec3 OBB::getFaceDirection(int index) const
{
    Vec3 corners[8];
    getCorners(corners);
    
    Vec3 faceDirection, v0, v1;
    switch(index)
    {
        case 0:// front and back
            v0 = corners[2] - corners[1];
            v1 = corners[0] - corners[1];
            Vec3::cross(v0, v1, &faceDirection);
            faceDirection.normalize();
            break;
        case 1:// left and right
            v0 = corners[5] - corners[2];
            v1 = corners[3] - corners[2];
            Vec3::cross(v0, v1, &faceDirection);
            faceDirection.normalize();
            break;
        case 2:// top and bottom
            v0 = corners[1] - corners[2];
            v1 = corners[5] - corners[2];
            Vec3::cross(v0, v1, &faceDirection);
            faceDirection.normalize();
            break;
        default:
            CCASSERT(0, "Invalid index!");
            break;
    }
    return faceDirection;
}

利用分离轴定理判断两个OBB是否碰撞

第一个包围盒的3个坐标轴、第二个包围盒的3个坐标轴，以及垂直于某一个轴的9个轴。（一共是15个轴）

垂直于某一轴的9个轴 ： 取包围盒A的X轴方向的某一边矢量（不是X坐标轴，是x轴方向边的矢量），再取包围盒B的X轴方向的某一边矢量，对两个矢量做叉乘，叉乘结果就是垂直于A和B的矢量的方向矢量，这就是一个分离轴。如此重复，用包围盒A的X轴方向的某一边矢量依次叉乘包围盒B的X，Y，Z，然后再用包围盒A的Y和Z轴方向的某一边矢量再进行这一遍流程，总共得到9个轴。

bool OBB::intersects(const OBB& box) const
{
    float min1, max1, min2, max2;
    for (int i = 0; i < 3; i++)
    {
        getInterval(*this, getFaceDirection(i), min1, max1);
        getInterval(box, getFaceDirection(i), min2, max2);
        if (max1 < min2 || max2 < min1) return false;
    }
    
    for (int i = 0; i < 3; i++)
    {
        getInterval(*this, box.getFaceDirection(i), min1, max1);
        getInterval(box, box.getFaceDirection(i), min2, max2);
        if (max1 < min2 || max2 < min1) return false;
    }
    
    for (int i = 0; i < 3; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 3; j++)
        {
            Vec3 axis;
            Vec3::cross(getEdgeDirection(i), box.getEdgeDirection(j), &axis);
            getInterval(*this, axis, min1, max1);
            getInterval(box, axis, min2, max2);
            if (max1 < min2 || max2 < min1) return false;
        }
    }
    
    return true;
}

//检查点是否在OBB中
bool OBB::containPoint(const Vec3& point) const
{
    Vec3 vd = point - _center;

    float d = vd.dot(_xAxis);
    if (d > _extents.x || d < -_extents.x)
        return false;

    d = vd.dot(_yAxis);
    if (d > _extents.y || d < -_extents.y)
        return false;

    d = vd.dot(_zAxis);
    if (d > _extents.z || d < -_extents.z)
        return false;

    return true;
}

AABB包围盒算法

轴对称包围盒。

cocos2dx 中，为每一个Spite3D都提供了获取AABB包围盒的接口。

记得转换一次，因为获取的AABB包围盒的坐标系是自己，所以需要转换到世界坐标上。

const AABB& Sprite3D::getAABB() const
{
    Mat4 nodeToWorldTransform(getNodeToWorldTransform());
    
    // If nodeToWorldTransform matrix isn't changed, we don't need to transform aabb.
    if (memcmp(_nodeToWorldTransform.m, nodeToWorldTransform.m, sizeof(Mat4)) == 0 && !_aabbDirty)
    {
        return _aabb;
    }
    else
    {
        _aabb.reset();
        if (_meshes.size())
        {
            Mat4 transform(nodeToWorldTransform);
            for (const auto& it : _meshes) {
                if (it->isVisible())
                    _aabb.merge(it->getAABB());
            }
            
            _aabb.transform(transform);
            _nodeToWorldTransform = nodeToWorldTransform;
            _aabbDirty = false;
        }
    }
    
    return _aabb;
}

其他

碰撞算法用得最多的就是AABB和OBB，但也有其他的算法。比如Box2D，Bullet都有自己的一系列算法和检测机制。