Random Walk Approaches for Node Embeddings

一、随机游走基本概念

想象一个醉汉在图中随机的行走，其中走过的节点路径就是一个随机游走序列。

随机行走可以采取不同的策略，如行走的方向、每次行走的长度等。

二、图机器学习与NLP的关系

从图与NLP的类比关系可以看出，图机器学习和NLP相似度很高，了解两者的类比关系可以加深对图机器学习的理解。

随机游走的根本目标是对图中的各个节点进行编码，将图中的各个节点编码成可供下游任务使用的向量，即编码器。因此，随机游走是一个无监督/自监督算法，没有使用任何标签。

三、概念定义（可以先看后面，用到时再看概念）

1. ${\mathbf{z}}_u$：期望获得的节点$u$的嵌入向量，是算法的目标

2. $P(v|{\mathbf{z}}_u)$：从$u$节点出发的随机游走序列经过$v$节点的概率。

   如果$u$节点和$v$节点出现在同一个随机游走序列，那么$P$值应该高；如果$u$节点和$v$节点没有出现在同一个随机游走序列，那么期望$P$应该低，这也是之后优化算法的根本思路。

3. $P(v|{\mathbf{z}}_u)$的计算：本文使用softmax计算$P$值，具体计算方法在“五、优化算法”中，这里只介绍两个非线性函数

   • softmax：将k维的向量的值通过softmax改为k维的概率值，其中：
     $$\sigma (z)[i]=\frac{e^{z[i]}}{{\sum }_{j=1}^K{e}^{z[j]}}$$

   • sigmoid：将k维嵌入向量的值映射到0-1，其中：
     $$S(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

4. 相似度similarity：数量积（余弦相似度）

   因为嵌入向量$z$在最后都通过计算使其度量（向量长度）相同，所以可以直接求向量积来代表其相似度。
   $$similarity={\mathbf{z}}_u^T{\mathbf{z}}_v$$

5. $N_R(u)$：选定游走策略为R，在$u$节点为起点的条件下，访问得到的节点的集合。

四、随机游走算法

1、特征学习优化策略：

优化算法总目标：对于给定的图$G$，随机游走的目标是找到一个函数$f$，其可以将节点$u$映射为$d$维的向量${\mathbf{z}}_u$。

似然目标函数：如图，在确定出发节点$u$的条件下（即向量${\mathbf{z}}_u$），与$u$节点同一序列的节点集合$N_R(u)$中的节点出现的概率最大。可以看出其本质是极大似然估计。

2、随机游走优化策略：

1. 选定游走策略R，对每个节点$u$进行固定长度的随机游走。
2. 对每个节点$u$，收集$N_R(u)$。
3. 对于给定的节点$u$与$N_R(u)$，更新${\mathbf{z}}_u$，使优化目标函数最大。最终得到的${\mathbf{z}}_u$即维节点$u$的嵌入向量。

其中，优化目标函数在随机游走算法中等同于：

其中，第一个求和符号$u\in V$代表遍历图$G$的所有节点，第二个求和符号$v\in N_R(u)$代表遍历所有$N_R(u)$中的节点，$log$加负号使求最大变为求最小，这样，优化目标函数变为了损失函数。

$P(v|{\mathbf{z}}_u)$使用softmax进行求解。

进一步解释如图：

3、随机游走算法的优化—负样本：

从图中可以看出，在计算softmax时，需要遍历图$G$的顶点两次，时间复杂度为$O(|V{|}^2)$，这是不可接受的。

在此使用负采样解决softmax难算问题：

如图，在计算softmax时，对于分母，不用计算图中所有的节点，而是采样$k$个负节点进行计算。注意：图$G$中每个节点的采样概率是不同的，在Node2Vec中采用类似于Word2Vec中词频的方法。

此方法原理解释如下：

关于K的取值是一个超参数：

更高的K意味着采样更多的点，这回增加模型的健壮性。但是相同的更多的会引入更多的负样本，这回导致正负样本失衡，影响训练，因此一般来说K的取值在5到20之间。理论上，同一个随机游走序列中的节点不应被采样为负样本。

4、优化过程—随机梯度下降

因这里是机器学习的基础，故在此不做赘述：

五、总结

1. 选定游走策略R，对每个节点$u$进行固定长度的随机游走。
2. 对每个节点$u$，收集$N_R(u)$。
3. 利用损失函数，采用随机梯度方法对${\mathbf{z}}_u$进行优化。损失函数可以采用负样本算法简化计算。

本文只是将游走策略抽象为R，那么具体什么样的策略是真正有效的呢，Node2Vec提供了一个解决思路，下文将会其具体讨论。

图片截选自——斯坦福CS224W: Machine Learning with Graphs