【DP】学习之背包问题

news2024/11/17 21:39:14

01背包

2. 01背包问题 - AcWing题库

记忆化搜索

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n,m;
int v[N],w[N]; 
int res;
int mem[N][N];
int dfs(int x,int spv)
{
	if(mem[x][spv]) return mem[x][spv];
	if(x>n) return mem[x][spv]=0;
	if(spv>=v[x])
	{
		return mem[x][spv]=max(dfs(x+1,spv),dfs(x+1,spv-v[x])+w[x]);
	}else return mem[x][spv]=dfs(x+1,spv);
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
	res=dfs(1,m);
	cout<<res;
	return 0;
}

 这里补个图，DFS是自顶向下推的

dp的递推是从下往上

 倒序递推

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n,m;
int v[N],w[N]; 
int res;
int mem[N][N];
int f[N][N];
int dfs(int x,int spv)
{
	if(mem[x][spv]) return mem[x][spv];
	if(x>n) return mem[x][spv]=0;
	if(spv>=v[x])
	{
		return mem[x][spv]=max(dfs(x+1,spv),dfs(x+1,spv-v[x])+w[x]);
	}else return mem[x][spv]=dfs(x+1,spv);
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
//	res=dfs(1,m);
//	cout<<res;
	
//	倒序递推f[i][j]
//	从第i个物品开始，选总体积<=j的物品的总价值的最大值 
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		for(int j=0;j<=m;j++)
		{
			if(j<v[i]) f[i][j]=f[i+1][j];
			else f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j-v[i]]+w[i]);
		}
	} 
	cout<<f[1][m];
	return 0;
}

正序递推

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n,m;
int v[N],w[N]; 
int res;
int mem[N][N];
int f[N][N];
int dfs(int x,int spv)
{
	if(mem[x][spv]) return mem[x][spv];
	if(x<1) return mem[x][spv]=0;
	if(spv>=v[x])
	{
		return mem[x][spv]=max(dfs(x-1,spv),dfs(x-1,spv-v[x])+w[x]);
	}else return mem[x][spv]=dfs(x-1,spv);
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
//	res=dfs(n,m);
//	cout<<res;
	
//	正序递推f[i][j]
//	从前i个物品中选，选总体积<=j的物品的总价值的最大值 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=m;j++)
		{
			if(j<v[i]) f[i][j]=f[i-1][j];
			else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
		}
	} 
	cout<<f[n][m];
	return 0;
}

空间优化递推

用一维数组代替二维数组 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n,m;
int v[N],w[N]; 
int res;

int f[N],g[N];
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];

	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=m;j++)
		{
			if(j<v[i]) g[j]=f[j];
			else g[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
		}
		memcpy(f,g,sizeof(f));
	} 
	cout<<f[m];
	return 0;
}

进一步优化

这里m从m走到0，的原因是只让每个物品最多拿一次。

如果正序枚举体积，就会让物品被拿多次，从而违反规则，

但完全背包不用考虑这个问题，因为它本身就能拿多次~

所以完全背包优化到一维可以正序枚举。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n,m;
int v[N],w[N]; 
int res;

int f[N];
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];

	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=m;j>=0;j--)
		{
            //if(j<v[i])  f[j]=f[j];//可以省略
			if(j>=v[i]) f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
		}
	} 
	cout<<f[m];
	return 0;
}

二维费用背包问题(本质是01背包）

8. 二维费用的背包问题 - AcWing题库

记忆化搜索

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n,cap,we;
int v[N],m[N],w[N];
int mem[N][110][110];
int dfs(int x,int spv,int spm)
{
    if(mem[x][spv][spm]) return mem[x][spv][spm];
    
    if(x>n) return 0;
    if(spv>=v[x]&&spm>=m[x]) return mem[x][spv][spm]=max(dfs(x+1,spv,spm),dfs(x+1,spv-v[x],spm-m[x])+w[x]);
    else return mem[x][spv][spm]=dfs(x+1,spv,spm);
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>cap>>we;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>m[i]>>w[i];
    int res=dfs(1,cap,we);
    cout<<res;
    return 0;
}

倒序递推

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n,cap,we;
int v[N],m[N],w[N];
int mem[N][110][110];
int f[N][110][110];
int dfs(int x,int spv,int spm)
{
    if(mem[x][spv][spm]) return mem[x][spv][spm];
    
    if(x>n) return 0;
    if(spv>=v[x]&&spm>=m[x]) return mem[x][spv][spm]=max(dfs(x+1,spv,spm),dfs(x+1,spv-v[x],spm-m[x])+w[x]);
    else return mem[x][spv][spm]=dfs(x+1,spv,spm);
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>cap>>we;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>m[i]>>w[i];
    // int res=dfs(1,cap,we);
    // cout<<res;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        for(int j=0;j<=cap;j++)
        {
            for(int k=0;k<=we;k++)
            {
                if(j<v[i]||k<m[i])
                {
                    f[i][j][k]=f[i+1][j][k];
                }
                else f[i][j][k]=max(f[i+1][j][k],f[i+1][j-v[i]][k-m[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    cout<<f[1][cap][we];
    return 0;
}

正序+二维优化

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n,cap,we;
int v[N],m[N],w[N];
int mem[N][110][110];
int f[110][110];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>cap>>we;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>m[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=cap;j>=v[i];j--)
        {
            for(int k=we;k>=m[i];k--)
            {
               f[j][k]=max(f[j][k],f[j-v[i]][k-m[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    cout<<f[cap][we];
    return 0;
}

完全背包

3. 完全背包问题 - AcWing题库

记忆化搜索

完全背包   和      01背包唯一不同就在于如果当前这个物品可以装入，在下一次选择中x不用+1（因为物品是无限多的，还可以再次选择）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;

int n,m;
int v[N],w[N];
int mem[N][N];
int dfs(int x,int spv)
{
    if(mem[x][spv]) return mem[x][spv];
    if(x>n) return 0;
    if(spv<v[x])  return mem[x][spv]=dfs(x+1,spv);
    else return mem[x][spv]=max(dfs(x+1,spv),dfs(x,spv-v[x])+w[x]);
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    int res=dfs(1,m);
    cout<<res;
    return 0;
}

正序递推 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            if(j<v[i]) f[i][j]=f[i-1][j];
            else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

优化成一维数组 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=v[i];j<=m;j++)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]) ;
        }
    }
    cout<<f[m];
    return 0;
}

01   背包优化到一维      ：逆序枚举体积

完全背包优化到一维      ：正序枚举体积

习题

云剪贴板 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

NASA的食物计划（二维费用背包问题）

P1507 NASA的食物计划 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

记忆化搜索

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=60;
int hh,tt,n;
int h[N],t[N],k[N];
int mem[55][410][510];
int dfs(int x,int sph,int spt)
{
	if(x>n) return 0;
	if(mem[x][sph][spt]) return mem[x][sph][spt];
	if(sph>=h[x]&&spt>=t[x])
	{
		return mem[x][sph][spt]=
		max(dfs(x+1,sph,spt),dfs(x+1,sph-h[x],spt-t[x])+k[x]);
	}else return mem[x][sph][spt]=dfs[x+1][sph][spt];
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>hh>>tt>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>h[i]>>t[i]>>k[i];
	int res=dfs(1,hh,tt);
	cout<<res;

	return 0;
}

优化后的二维数组递推

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=60;
int hh,tt,n;
int h[N],t[N],k[N];
int f[410][510];
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>hh>>tt>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>h[i]>>t[i]>>k[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=hh;j>=h[i];j--)
		{
			for(int l=tt;l>=t[i];l--)
			{
				f[j][l]=max(f[j][l],f[j-h[i]][l-t[i]]+k[i]);
			}
		}
	}
	cout<<f[hh][tt];
	return 0;
}

01背包求体积恰好为M的方案数

278. 数字组合 - AcWing题库

记忆化搜索

 Time Limit Exceeded   

要优化成递推

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int n,m;
int a[N];
int mem[N][10010];
int dfs(int x,int spm)
{
	if(spm==0) return 1;
	if(x>n) return 0;
	if(mem[x][spm]) return mem[x][spm];
	if(spm>=a[x]) return mem[x][spm]=dfs(x+1,spm-a[x])+dfs(x+1,spm);
	else return mem[x][spm]=dfs(x+1,spm);
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	int res=dfs(1,m);
	cout<<res;
	return 0;
}

一维数组递推

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int n,m;
int a[N];
int f[10010];//记录方案数 
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	
    f[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=m;j>=a[i];j--)
		{
			f[j]=f[j-a[i]]+f[j];
		}
	}
	cout<<f[m]; 
	return 0;
}

完全背包求体积恰好为M的方案数

OpenJudge - 6049:买书

记忆化搜索

这个就能ac了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int n;
int mon[5]={0,10,20,50,100};
int mem[N][N];
int dfs(int x,int spn)
{
	if(spn==0) return 1;
	if(x>4) return 0;
	if(mem[x][spn]) return mem[x][spn];
	if(spn>=mon[x]) return mem[x][spn]=dfs(x+1,spn)+dfs(x,spn-mon[x]);
	else return mem[x][spn]=dfs(x+1,spn);
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	if(n==0)
	{
		cout<<"0";
		return 0;
	}
	int res=dfs(1,n);
	cout<<res;
	return 0;
}

优化一下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int n;
int mon[5]={0,10,20,50,100};
int f[N];

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	if(n==0)
	{
		cout<<"0";
		return 0;
	}
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=4;i++)
	{
		for(int j=mon[i];j<=n;j++)
		{
			f[j]=f[j]+f[j-mon[i]];
		}
	}
	cout<<f[n];
	return 0;
}

背包问题求具体方案

12. 背包问题求具体方案 - AcWing题库

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中文大模型安全性哪家强？清华团队新发布

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当前大型语言模型的火爆程度我们不用再进行赘述了&#xff0c;伴随着百度文心一言打响国内商业大模型第一枪&#xff0c;华为盘古&#xff0c;阿里通义千问&#xff0c;智谱ChatGLM,科大讯飞星火等国内公司纷纷开始布局。 另一方面由于众所周知的政策原因&#xff0c;和如火如荼…
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Threejs进阶之十三：CSS3DRenderer与Tween.js实现粒子小球按规律变化

Threejs进阶之十三：CSS3DRenderer与Tween.js实现粒子小球按规律变化

今天我们使用CSS3DRendererTween.js实现Threejs官方示例中的粒子小球按规律变化的效果&#xff0c;先看下最终实现的效果 先来分析下&#xff0c;这个页面的动画效果是由512个小球组合起来的四种不同变化&#xff0c;分别是曲面、立方体、随机和圆球四种变化&#xff1b;下面我…
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Linux——进程间通信(管道)

Linux——进程间通信(管道)

目录 进程通信的目的 管道 见见猪跑(举个例子) 文件描述符fd与管道的关系(深度理解管道) 什么是管道&#xff1f; 匿名管道 pipe函数概述 父子进程通信时与文件描述符的关系图(理解pipe函数的关键) pipe函数的使用 管道读写规则 管道的大小 自测 使用man 7 pipe查看 …
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Unity Timeline使用

Unity Timeline使用

Unity Timeline使用 1.创建Timeline&#xff1a;打开面板Window->Sequencing->Timeline (1.1)选择一个要添加 Timeline 的物体&#xff0c;我创建一个物体就叫 Timeline(可以随意命名)&#xff0c;选择Timeline&#xff0c;然后在面板上显示 Create 按钮&#xff0c;如…
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Arduino_STM32 之Arduino IDE开发配置

Arduino_STM32 之Arduino IDE开发配置

前言 由于选了物联网作为选修课&#xff0c;老师喜欢使用Arduino进行编程&#xff0c;但是也要教我们使用STM32。于是他就让我们使用Arduino IDE开发STM32&#xff08;用Keil 不好吗&#xff1f;&#xff1f;&#xff1f;&#xff09;。 第一章 软件下载 安装Arduino IDE&…
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springboot请求响应

springboot请求响应

SpringBootWeb请求响应 前言 在上一次的课程中&#xff0c;我们开发了springbootweb的入门程序。 基于SpringBoot的方式开发一个web应用&#xff0c;浏览器发起请求 /hello 后 &#xff0c;给浏览器返回字符串 “Hello World ~”。 其实呢&#xff0c;是我们在浏览器发起请求…
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环形链表 力扣

环形链表 力扣

题目描述 题目要求 判断一个单链表是不是环形链表&#xff0c;是就返回true 不是就返回false 思路 要搞清楚环形链表长啥样环形链表有哪些特征 环形链表顾名思义就是在链表中有一个类似环形的结构&#xff0c; 它和普通单链表的区别就是 你用遍历普通单链表的法子遍历一个环…
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