牛客练习赛111 D青蛙兔子的约会

news2024/9/25 19:17:33

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示例1
输入
3
3 4 10 1 2
2 4 5 1 1
3 5 11 1 1
输出
YES
NO
NO
说明

第一问，青蛙晚上向右跳1次，白天无法与兔子相遇。青蛙向右跳2次，也就是2a=6的距离，白天兔子向左跳1次，可以相遇。所以在跳[1,2]次中，存在青蛙和兔子可以相遇。
第二问，青蛙晚上向右跳1次，然后无论白天兔子怎么跳，都无法和青蛙相遇。

解题思路：

青蛙白天休息，晚上行动，兔子相反。
题目给出了青蛙移动的限制，但兔子没有移动的限制
所有可以得出公式：存在x,y是整数有 ax = n-by
公式解释，因为兔子可以随意跳，那么只需要满足青蛙跳到兔子跳y次能跳到的地方即可（设青蛙跳x次）
公式变形 ax+by = n
由裴蜀定理可知，n一定是gcd(a,b)的倍数，也就是说 gcd(a,b)|n
可以用扩展欧几里得算法得出gcd(a,b)和满足ax+by=gcd(a,b)的x和y
如果记为x’和y’
ax’+by’=gcd(a,b)
如果要满足ax+by=n 需要gcd(a,b)|n. 那么 ax+by=(n/gcd(a,b))(ax’+by’)=n

设gcd(a,b)=d
可得 x=x’*n/d y=y’*n/d
ax+by=n 变成 (n/d)x’a+b(n/d)*y’=d(n/d)
这里还是特解，需要求通解继续变形
ax+by=n 变成 (a/d)x+(b/d)y=n/d 那么gcd(a/d,b/d)=1;
根据扩展欧几里得的一个常用定理来得到通解
设x0=(n/d)x’ ,y0=(n/d)y’
那么x0+b/d * t 和 y0+a/d *t 是ax+by=n 的一个通解
则最小正整数解为:(x’ * (n/d) % (b /d) + (b / d) )% (b / d);
既然最小正整数解出来了，这题就好做了

Heltion的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
i64 exgcd(i64 a, i64 b, i64 &x, i64 &y) {
    if (not b) {
        return x = 1, y = 0, a;
    }
    i64 d = exgcd(b, a % b, x, y);
    tie(x, y) = make_pair(y, x - a / b * y);
    return d;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int t;
    for (cin >> t; t; t -= 1) {
        i64 a, b, n, l, r, x, y;
        cin >> a >> b >> n >> l >> r;
        i64 d = exgcd(a, b, x, y);
        if (n % d) {
            cout << "NO\n";
        } else {
            b /= d;
            x = (x * (n / d) % b + b) % b;//最小正整数解
            i64 y = l / b * b + x;
            if (y < l) {
                y += b;
            }
            cout << (y <= r ? "YES\n" : "NO\n");
        }
    }
}