二、证明等式（3.16）：a ^ {\log_b c} = c ^ {\log_b a}。

文心一言：

chatgpt：

我们需要证明的等式为：$a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$。

首先，将 ${\log }_{b}c$ 看作一个变量 $x$，那么原式可表示为 $a^x=c^{\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}}$。

然后，我们将 $c^{\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}}$ 进一步拆分，得到：

$$\begin{array}{rl}{c}^{\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}}& =c^{{\log }_{c}b}\\ & =b\end{array}$$

最后，将上述结果代入原式中，有：

$$\begin{array}{rl}{a}^{{\log }_{b}c}& =a^x\\ & =c^{\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}}\\ & =b^{{\log }_{c}b}\\ & =c^{{\log }_{b}a}\end{array}$$

因此，我们证明了等式 $a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$ 成立。

三、证明等式（3.19）：\lg(n!) = \Theta(n \lg n)。并证明 n! = \omega(2 ^ n) 且 n! = o(n^n)。

文心一言：

chatgpt：

首先，我们证明等式 $\lg (n!)=\Theta (n\lg n)$。

由斯特林公式（Stirling’s formula），可得：

$$\ln n!=n\ln n-n+\mathcal{O}(\ln n)$$

两边同时取以 2 为底的对数，则有：

$$\begin{array}{rl}{\log }_{2}n!& =\frac{\ln n!}{\ln 2}\\ & =\frac{n\ln n-n+\mathcal{O}(\ln n)}{\ln 2}\\ & =n\frac{\ln n}{\ln 2}-\frac{n}{\ln 2}+\mathcal{O}\left(\frac{\ln n}{\ln 2}\right)\end{array}$$

因为 $\frac{\ln n}{\ln 2}$ 等于 $\Theta (\log n)$，所以可得：

$${\log }_{2}n!=\Theta (n\log n)$$

因此，$\lg (n!)=\Theta (n\lg n)$ 得证。

接下来，我们证明 $n!=\omega (2^n)$。根据定义，需要证明：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!}{2^n}=\infty$$

考虑到：

$$\begin{array}{rl}\frac{(n+1)!}{n!}& =n+1\\ & >2\end{array}$$

因此，$n!$ 至少每乘以 2 次就要增长一倍，即：

$$\begin{array}{rl}n!& =1\times 2\times 3\times \cdots \times n\\ & >2\times 2\times 2\times \cdots \times 2\\ & =2^n\end{array}$$

因此，$n!=\omega (2^n)$ 成立。

最后，我们证明 $n!=o(n^n)$。根据定义，需要证明：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!}{n^n}=0$$

将 $n!$ 展开，则有：

$$\begin{array}{rl}n!& =1\times 2\times 3\times \cdots \times n\\ & <n\times n\times n\times \cdots \times n\\ & =n^n\end{array}$$

因此，$\frac{n!}{n^n}<1$，即 $\frac{n!}{n^n}\to 0$ 当 $n\to \infty$。因此，$n!=o(n^n)$ 成立。

综上所述，我们证明了等式 $\lg (n!)=\Theta (n\lg n)$，以及 $n!=\omega (2^n)$ 和 $n!=o(n^n)$。