背包问题

1 01背包问题

我参考了文献背包九讲。https://github.com/tianyicui/pack/raw/master/V2.pdf 背包九讲的作者是ACM大牛崔天翼。

1.1 问题阐述

有$N$件物品和一个容量为$V$的背包，放入第$i$件物品所需的容量$C_i$, 得到的价值是$W_i$。求解将哪些物品放入背包可以使得价值总和最大。

1.2 问题分析

“最大”关键词表明本题是一个最优化问题。在本题中，我们通过做出一组选择”对于每一件物品是否放入背包“，来达到最优解。为了便于阐述，我们可以给每一种物品进行编号,1,2,3,…,N. 对于物品$i$，我们有两种选择，放或者不放。

在一个最优方案中，物品$i$被放入背包还是没有被放入背包，都有可能。因为最优方案可能不止一个，同时要注意到的是：最优值只有一个。

令$F[i,v]$为编号为1,2,3,$\dots$, i的物品放入容量为$v$的背包所能够获得的最大价值。

(1)假设在一个最优方案中，我们将物品N放入了背包，则问题就转化为”编号为1,2,…,N-1的物品放入剩下容量为$V-C_N$的背包中“，此时能够获得的最大价值就是$F[N-1,V-C_N]$再加上放入物品$N$获得的最大价值$W_i$,即$F[N,V]=F[N-1,V-C_i]+W_i$. ”编号为1,2,…,N-1的物品放入剩下容量为$V-C_N$的背包中“这个子问题只和物品$1,2,\dots ,N-1$相关，是一个独立的子问题。

(2) 假设在一个最优方案中，物品N没有被放入背包，那么问题就转化为”物品$1,2,3,\dots ,N-1$放入容量为$V$的背包中“。 价值为$F[N-1,V]$.

然而我们并不知道是放入$D$还是不放入$D$能够取得最优值。有可能放入$D$能够取得最优值，也有可能不放入$D$能够取得最优值，还有可能放入$D$或者不放入$D$都可以取得最优值。例如,物品种数为4, 4中物品的容量均为3, 价值均为5，背包的容量为9，则任选3个物品即为一个最优解。

我们知道的是：$F[N,V]=\max (F[N-1,V-C_N]+W_N,F[N-1,V)$

同时我个人对背包问题有一些理解。即背包问题的子问题几乎很少是重叠的子问题，使用自顶向下算法似乎更加高效。然而现有的算法大部分均是自底向上的。附上我自己推演的自顶向下的例子。

背包问题中我最初的一些疑惑

1 我们设F[i,j]考虑前i件物品，容量限制为j时背包所能装的最大价值。则递推公式需要考虑两种情况：

要么不放入第i件物品，则F[i,j] = F[i-1,j] 。

要么放入第i件物品，则F[i,j] = F[i-1, j-$C_i$]

我们需要取这两者的最大值才是最终的F[i,j]。

即F[i,j] = max(F[i-1, j], F[i-1, j-$C_i$]).

我的疑惑是：第i件物品后于第i-1件物品被考虑，是否会出现由于先装入了部分前i-1件物品所导致第i件非常有价值的物品无法被装入的情况？

答：之所以将N件物品进行一个先后的排序，主要是为了记录不同物品的重量和价值。然而，每当我们考虑一件新的物品时，该物品可以放，也可以不放。我们得到的最大价值是两种选择的最大值。所以不会出现返回的是非最优解。