583、两个字符串的删除操作
给定两个单词 word1 和 word2，找到使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数，每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。
示例：
- 输入: "sea", "eat"
- 输出: 2
- 解释: 第一步将"sea"变为"ea"，第二步将"eat"变为"ea"
动规五部曲：
1、dp数组下标及含义：dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。
2、递推公式：当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});
3、dp数组初始化：dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i
4、遍历顺序
5、举例
class Solution {
public int minDistance(String word1, String word2) {
int[][] dp = new int[word1.length() + 1][word2.length() + 1];
for (int i = 0; i < word1.length() + 1; i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j < word2.length() + 1; j++) dp[0][j] = j;
for (int i = 1; i < word1.length() + 1; i++) {
for (int j = 1; j < word2.length() + 1; j++) {
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}else{
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1] + 2,
Math.min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1));
}
}
}
return dp[word1.length()][word2.length()];
}
}72、编辑距离
给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
你可以对一个单词进行如下三种操作：
-
插入一个字符
-
删除一个字符
-
替换一个字符
-
示例 1：
-
输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
-
输出：3
-
解释： horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r') rorse -> rose (删除 'r') rose -> ros (删除 'e')
-
示例 2：
-
输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
-
输出：5
-
解释： intention -> inention (删除 't') inention -> enention (将 'i' 替换为 'e') enention -> exention (将 'n' 替换为 'x') exention -> exection (将 'n' 替换为 'c') exection -> execution (插入 'u')
提示：
- 0 <= word1.length, word2.length <= 500
- word1 和 word2 由小写英文字母组成
动规五部曲：
1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。
2. 确定递推公式：在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
增
删
换
如果word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同，则dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];;
如果word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同，此时就需要编辑了：
操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离再加上一个操作。即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
这里有同学发现了，怎么都是删除元素，添加元素去哪了。
word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd'，变成word1="a", word2="ad"， 最终的操作数是一样！ dp数组如下图所示意的：
a a d
+-----+-----+ +-----+-----+-----+
| 0 | 1 | | 0 | 1 | 2 |
+-----+-----+ ===> +-----+-----+-----+
a | 1 | 0 | a | 1 | 0 | 1 |
+-----+-----+ +-----+-----+-----+
d | 2 | 1 |
+-----+-----+
操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增删加元素。
可以回顾一下，word1[i - 1] == word2[j - 1]的时候我们的操作是dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。那么只需要一次替换的操作，就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]+1;综上，当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
递归公式代码如下：
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}
3. dp数组如何初始化
再回顾一下dp[i][j]的定义：
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。
那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢？
dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。
那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;
同理dp[0][j] = j;
4. 确定遍历顺序
从如下四个递推公式：
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1
可以看出dp[i][j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：
所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。
代码如下：
for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}
}
}
5. 举例推导dp数组
以示例1为例，输入：word1 = "horse", word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：
public int minDistance(String word1, String word2) {
int m = word1.length();
int n = word2.length();
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
// 初始化
for (int i = 1; i <= m; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 1; j <= n; j++) {
dp[0][j] = j;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
// 因为dp数组有效位从1开始
// 所以当前遍历到的字符串的位置为i-1 | j-1
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j]) + 1;
}
}
}
return dp[m][n];
}
